初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试达标测试

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第23章　旋转习题课  旋转在解几何题中的九种常用技巧1．(2020·菏泽)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于(　　)A. B.αC．α D．180°－α2．(中考·毕节)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点按顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．3．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF.求证：EF<BF＋CE.  4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)如图①，DE交AB于M，DF交BC于N，求证：DM＝DN.(2)继续旋转至如图②所示的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．  5．(中考·日照)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.求证：(1)EA是∠QED的平分线；(2)EF2＝BE2＋DF2.  6．(中考·张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC.求△PCE的面积．  7．(2019·荆州)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(　　)A．(，1)   B．(，－1)C．(2，1)    D．(0，2)8．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为_______度时，边AD′落在边AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．       9．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°), 如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．   
参考答案1．(2020·菏泽)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于(　D　)A. B.αC．α D．180°－α2．(中考·毕节)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点按顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；证明：由旋转的性质，得∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE.又∵AB＝AC，∴AE＝AD.由∠BAC＝∠DAE得∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB(SAS)．(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：∵四边形ADFC是菱形，∴AC∥DF.又∵∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.∴∠BAD＝180°－∠BDA－∠DBA＝180°－45°－45°＝90°.∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形．∴BD2＝2AB2，即BD＝2.∵AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.3．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF.求证：EF<BF＋CE.证明：由题意可知BM＝MC，∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．∴BF＝CN，FM＝MN.连接EN，∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC中，EN<NC＋CE，∴EF<BF＋CE.4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)如图①，DE交AB于M，DF交BC于N，求证：DM＝DN. 证明：连接BD.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，∴BD⊥AC，∠A＝∠C＝45°，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，BD＝AD＝CD＝AC.∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝∠C＝45°.∵∠EDF＝90°＝∠MDB＋∠BDN，∠BDC＝90°＝∠BDN＋∠CDN，∴∠MDB＝∠CDN.又∵BD＝CD，∠ABD＝∠C，∴△BMD≌△CND(ASA)．∴DM＝DN.(2)继续旋转至如图②所示的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．解：DM＝DN仍然成立．证明如下：连接BD，由(1)知BD⊥AC，BD＝CD，∠ABD＝∠ACB＝45°.∵∠ABD＋∠MBD＝∠ACB＋∠DCN＝180°，∴∠MBD＝∠DCN.∵∠BDM＋∠MDC＝90°＝∠MDC＋∠CDN，∴∠BDM＝∠CDN.又∵BD＝CD，∴△BDM≌△CDN(ASA)．∴DM＝DN.5．(中考·日照)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.求证：(1)EA是∠QED的平分线；证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF.∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°.∴∠QAE＝∠BAQ＋∠BAE＝45°.∴∠QAE＝∠FAE.在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE(SAS)．∴∠AEQ＝∠AEF，即EA是∠QED的平分线．(2)EF2＝BE2＋DF2.证明：由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF.∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，∠ABQ＝∠ADF.易知∠ADF＝∠ABD＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°.∴在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2.∴EF2＝BE2＋DF2.6．(中考·张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC.求△PCE的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°.∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°.∴∠ABP＝60°.∴△ABP是等边三角形．∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝AD＝2.∵在Rt△ADE中，∠EAD＝90°－∠BAP＝30°，AD＝2，∴AE＝4，DE＝2. ∴CE＝2－2，PE＝4－2.过点P作PF⊥CD于点F.在Rt△PEF中，∠FPE＝∠EAD＝30°，∴EF＝PE＝2－.∴PF＝＝2－3.∴S△PCE＝CE·PF＝×(2－2)×(2－3)＝9－5.7．(2019·荆州)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(　A　)A．(，1)   B．(，－1)C．(2，1)   D．(0，2)8．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD. 证明：∵△ACE，△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC.∴△BAE≌△DAC(SAS)．∴BE＝CD.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____ 60 ____度时，边AD′落在边AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．解：当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明如下：由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′.∴四边形ABDD′是菱形．∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′.∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝30°.∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.∴BD′＝CD′.在△BDD′和△CPD′中，∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．9．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°), 如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；证明：由题可知∠BAM＝∠FAN，AB＝AF，∠B＝∠F＝60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)．∴AM＝AN.(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∴∠FAN＝30°.∴∠FAB＝30°＋90°＝120°.∵∠B＝60°，∴∠FAB＋∠B＝180°. ∴AF∥BP.∴∠F＝∠FPC＝60°. ∴∠FPC＝∠B＝60°. ∴AB∥FP.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形．