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初中数学冀教版八年级上册17.3 勾股定理图片课件ppt
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这是一份初中数学冀教版八年级上册17.3 勾股定理图片课件ppt，共55页。PPT课件主要包含了观察思考，知识拓展，课堂小结，a+b2，ab+c2，a2+b2c2，在Rt△BCD中，勾股定理，第二课时，复习巩固等内容，欢迎下载使用。
下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?
1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?
如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的△ABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?
问题:(1)以AC为边的正方形的面积是 ; (2)以BC为边的正方形的面积是 ; (3)以AB为边的正方形的面积是 ; (4)三个正方形的面积之间关系 是 + = .
刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢?
如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?
以AC,BC为边的正方形的面积都是1.
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt△ABC的边把这种关系表示出来.
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢?
组1:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:
组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角 边分别为a,b,斜边为c.
组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.
思考:(1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条 边,就可以利用 求出 .
(1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如 a2=c2-b2=(c+b)(c-b); b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c, 若c为最大边长,则有a2+b2c2.
1.勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的变形公式 要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边 的长度.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则 △ABC的斜边AB的长是( ) A.20B.10 C.9.6 D.8
解析:∵BC2=122=144,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( )
解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.故选D.
3.直角三角形两直角边的长是6和8,则周长与最短边长的比是( ) A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
解析:利用勾股定理求出斜边的长为10,6+8+10=24,24∶6=4∶1.故选B.
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC= .
解析:根据等腰三角形“三线合一”,判断出△ADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.
5.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .
解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.所以S1+S2= πAB2=12.5π.故填12.5π.
6.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得 .
解析:大正方形的面积是(a+b)2.另一种计算方法是:4× ab+c2=c2+2ab.即(a+b)2=4× ab+c2,化简得a2+b2=c2.
7.剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
解析:根据已知图形形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.
解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4× ab=a2+b2,∴S2+S3=S1,∵S1=c2,∴a2+b2=c2.
∴AD= =40(m)
8.如图(1)所示,小明家有一块钝角三角形菜地,量得其中的两边长分别为AC=50m,BC=40m,第三边AB上的高为30m,请你帮助小明计算这块菜地的面积.(结果保留根号)
解析:过点C作CD⊥AB的延长线于D点,根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可.
解:如图(2)所示,过点C作CD⊥AB的延长线于D点,则CD=30m,在Rt△ACD中,
∵AC=50m,CD=30m,
∵BC=40m,CD=30m,
∴BD= =10 (m)
∴AB=AD-BD=40-10 (m),
∴S△ABC= ×30×(40-10 )=600-150 (m2).
答:这块菜地的面积为(600-150 )m2.
1.在Rt△ABC中,两直角边长分别为3,4,求斜边的长.
2.在Rt△ABC中,一直角边长为5,斜边长为13,另一直角边的长是多少?
小结:在上面两个问题中,我们应用了勾股定理:在Rt△ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2.
例：如图所示,为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B处设立了一根标杆,使∠ACB=90°.测得AB=200m,BC=160m.根据测量结果,求点A和点C间的距离. (1)阅读例题,分析题目中的已知条件和未知条件. (2)怎样求出AC的长度?要用我们学过的哪方面的知识?
解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).∵AB=200m,BC=160m,答:点A和点C间的距离是120m.
例：(做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17m,AD⊥BC,垂足为D,AD=8m,求BC的长.
解:在Rt△ABD中,∵AB=17m,AD=8m,∴BD2=AB2-AD2=172-82=225,∴BD=15m,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD=30m.
例：如图所示,在长为50mm,宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解:∵ △ABC是直角三角形,∴AB2=AC2+BC2.∵AC=50-15-26=9(mm),BC=40-18-10=12(mm),答:孔中心A和B间的距离是15mm.
(1)解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长.
(2)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形, 运用勾股定理及方程思想解题.
(3)解决梯子问题:梯子斜靠在墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾般定理等知识解题.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾股定理解决问题.
2.当遇到立体图形表面两点间的距离问题时,应想到化立体为平面.
1.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米
解析:设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4米,EC=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米),在Rt△AEC中,AC2=AE2+CE2=62+82=102,AC=10米.故选B.
2.如图所示,将一根长24cm的筷子放入底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的最小值是( ) A.12cmD.9cm
解析:设水杯底面直径为a,高为b,筷子在水杯中的长度为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,∴c2=a2+b2=52+122=132,∴c=13cm,h=24-13=11(cm).故选C.
3.某楼梯的侧面图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 .
解析:∵AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2=62,∴AC=6米,∴地毯的长度为AC+BC=6+2.5=8.5(米),地毯的面积为8.5×6=51(平方米).故填51平方米.
4.如图所示,公路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25km,DA=15km,CB=10km,现要在公路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE.则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?
解:设AE=x km,则BE=(25-x)km,∵C,D两村到收购站E的距离相等,∴DE=CE,即DE2=CE2,∵在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2,在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE2,∴DA2+AE2=BE2+BC2, ∴152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.答:收购站E点应建在距点A10km处.
5.如图所示,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高.
解析:根据题中所给的条件可知竹竿斜放时,可与门的宽和高构成直角三角形,运用勾股定理可求出门高.
解:设门高为x尺,则竹竿高为(x+1)尺,根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2,即x2+16=x2+2x+1, 解得x=7.5,7.5+1=8.5(尺).答:门高为7.5尺,竹竿高为8.5尺.
解:设水深为x尺,则芦苇长度为(x+1)尺,根据勾股定理得x2+ =(x+1)2,解得x=12,x+1=12+1=13.答:水深为12尺,芦苇的长度为13尺.
6.如图所示,水池中有水,水面是一个边长为10尺的正方形,水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度和这根芦苇的长度分别是多少?
解析:找到题中的直角三角形,根据勾股定理解答.
7.中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕.如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A点先往东走4m,又往北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向北走4.5m处,往东一拐,仅走0.5m就到达了B点.A,B两点间的距离是多少?
解析:过点B作BC⊥AD于C,则△ABC为直角三角形,由图可以计算出AC,BC的长度,在直角三角形ABC中,已知AC,BC,根据勾股定理即可计算AB.
解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C,由题知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB为斜边,则AB= m.答:A,B两点间的距离是 m.
小明找来了长度分别为12cm,40cm的两条线,利用这两条线采用固定三边的方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗?
由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?与勾股定理有什么不同?
据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角. 大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗?
再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52,那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,再试一试.
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c. 5,12,13;7,24,25;8,15,17. (1)这三组数都满足a2+b2=c2吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. “三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角一般总是成90°,怎样确定房角的纵横两线呢?
如图所示,如何过基线MN上的一点C作它的垂线,
建筑工人用3,4,5作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢?
可由三名工人操作:一人手拿布尺或测绳的0和12尺处,固定在C点;另一人拿4尺处,把尺拉直,在MN上定出A点,再由一人拿9尺处.把尺拉直,定出B点,连接BC,则∠ACB=90°
想一想：
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它们的题设和结论有何关系?
如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°?
解:在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴AC2=AB2+BC2(勾股定理),∵AB=4,BC=3,∴AC2=32+42=52,∴AC=5.在△ACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°.
(1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.
(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c(c为最长边的长)满足a2+b2c2,那么这个三角形是锐角三角形.
(3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为直角三角形,较长边所对的角为直角.
1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.
2.勾股定理与其逆定理的联系与区别
联系: ①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关; ②两者都与直角三角形有关.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不是直角三角形的有效方法.
1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是( ) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25
解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.
2. △ABC的三边为a,b,c,在下列条件中, △ABC不是直角三角形的是( )A.a2=b2-c2 B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
解析:A.∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,故本选项正确;B.∵a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴令a2=x,则b2=2x,c2=3x,∵x+2x=3x,∴a2+b2=c2,故本选项正确;C.∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2(∠A+∠C)=180°,即∠A+∠C=90°,故本选项正确;D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴5x=5×15°=75°<90°,故本选项错误.
3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为( ) A.72 B.36 C.66 D.42
解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.∵AC2+CD2=52+122=132=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD= AB·BC+ AC·CD = ×3×4+ ×5×12=36.
4.有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 .
解析:①当第三边为斜边时,第三边长②当边长为5的边为斜边时,第三边长
5.已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,下面给出了五组条件:①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②a∶b∶c=3∶4∶5;③2∠A=∠B+∠C;④a=6,b=8,c=13.其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号是 _____________.
解析:①∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=90°,故是直角三角形;②设a=3k,则b=4k,c=5k,(3k)2+(4k)2=(5k)2,故是直角三角形;③∵2∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=60°,∠B+∠C=120°,不能判定△ABC是直角三角形;④∵62+82≠132,∴不能判定△ABC是直角三角形.能独立判定△ABC是直角三角形的条件是①②.故填①②.
解:在△ABD中,∵AB=26,AD=24,AD是BC的中线,∴2BD=2CD=BC=20,满足AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,即AD⊥BC,∴AC=AB=26.
6.如图所示,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC的长.
解析:由非负数的性质可求出a,b,c的值;
(2)以a,b,c为边能否构成直角三角形?
解析:利用勾股定理的逆定理即可判断以a,b,c为边能否构成直角三角形.
8.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你判断这个三角形的形状.
解析:先根据题意设中间长的边长为x米,则较长边的长为 (x+1)米,较短边的长为(x-7)米,然后根据周长为30求出三边长,再根据勾股定理的逆定理即可判断这个三角形的形状.
解:设中间长的边长为x米,则较长边的长为(x+1)米,较短边的长为(x-7)米,∵三角形周长为30米, ∴x+x+1+x-7=30,解得x=12,则x+1=13,x-7=5, ∵52+122=132,∴这个三角形为直角三角形.
9.如图所示,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度行进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向行进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km. (1)此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由;
解析:根据题意可以知道OB和OA的长度,又知A和B的距离,利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
解:出发2 h,A组行进了12×2=24(km),B组行进了9×2=18(km),因为A,B两组相距30km,且有242+182=302,所以A,B两组行进的方向成直角.
(2)若A,B两组仍以原速行进,相向而行,经过几小时相遇?
解析:根据路程÷速度和=相遇时间,得出答案即可.
解:若A,B两组仍以原速行进,则经过30÷(12+9)= h相遇.
下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?
1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?
如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的△ABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?
问题:(1)以AC为边的正方形的面积是 ; (2)以BC为边的正方形的面积是 ; (3)以AB为边的正方形的面积是 ; (4)三个正方形的面积之间关系 是 + = .
刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢?
如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?
以AC,BC为边的正方形的面积都是1.
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt△ABC的边把这种关系表示出来.
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢?
组1:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:
组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角 边分别为a,b,斜边为c.
组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.
思考:(1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条 边,就可以利用 求出 .
(1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如 a2=c2-b2=(c+b)(c-b); b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c, 若c为最大边长,则有a2+b2
1.勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的变形公式 要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边 的长度.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则 △ABC的斜边AB的长是( ) A.20B.10 C.9.6 D.8
解析:∵BC2=122=144,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,∴AB=20.故选A.
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( )
解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.故选D.
3.直角三角形两直角边的长是6和8,则周长与最短边长的比是( ) A.7∶1 B.4∶1 C.25∶7 D.31∶7
解析:利用勾股定理求出斜边的长为10,6+8+10=24,24∶6=4∶1.故选B.
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC= .
解析:根据等腰三角形“三线合一”,判断出△ADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.
5.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .
解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积.所以S1+S2= πAB2=12.5π.故填12.5π.
6.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得 .
解析:大正方形的面积是(a+b)2.另一种计算方法是:4× ab+c2=c2+2ab.即(a+b)2=4× ab+c2,化简得a2+b2=c2.
7.剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
解析:根据已知图形形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.
解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4× ab=a2+b2,∴S2+S3=S1,∵S1=c2,∴a2+b2=c2.
∴AD= =40(m)
8.如图(1)所示,小明家有一块钝角三角形菜地,量得其中的两边长分别为AC=50m,BC=40m,第三边AB上的高为30m,请你帮助小明计算这块菜地的面积.(结果保留根号)
解析:过点C作CD⊥AB的延长线于D点,根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可.
解:如图(2)所示,过点C作CD⊥AB的延长线于D点,则CD=30m,在Rt△ACD中,
∵AC=50m,CD=30m,
∵BC=40m,CD=30m,
∴BD= =10 (m)
∴AB=AD-BD=40-10 (m),
∴S△ABC= ×30×(40-10 )=600-150 (m2).
答:这块菜地的面积为(600-150 )m2.
1.在Rt△ABC中,两直角边长分别为3,4,求斜边的长.
2.在Rt△ABC中,一直角边长为5,斜边长为13,另一直角边的长是多少?
小结:在上面两个问题中,我们应用了勾股定理:在Rt△ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2.
例：如图所示,为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B处设立了一根标杆,使∠ACB=90°.测得AB=200m,BC=160m.根据测量结果,求点A和点C间的距离. (1)阅读例题,分析题目中的已知条件和未知条件. (2)怎样求出AC的长度?要用我们学过的哪方面的知识?
解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).∵AB=200m,BC=160m,答:点A和点C间的距离是120m.
例：(做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17m,AD⊥BC,垂足为D,AD=8m,求BC的长.
解:在Rt△ABD中,∵AB=17m,AD=8m,∴BD2=AB2-AD2=172-82=225,∴BD=15m,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD=30m.
例：如图所示,在长为50mm,宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解:∵ △ABC是直角三角形,∴AB2=AC2+BC2.∵AC=50-15-26=9(mm),BC=40-18-10=12(mm),答:孔中心A和B间的距离是15mm.
(1)解决两点距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长.
(2)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形, 运用勾股定理及方程思想解题.
(3)解决梯子问题:梯子斜靠在墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾般定理等知识解题.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
1.当已知条件告诉了有直角三角形时,直接用勾股定理解决问题.
2.当遇到立体图形表面两点间的距离问题时,应想到化立体为平面.
1.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米
解析:设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4米,EC=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米),在Rt△AEC中,AC2=AE2+CE2=62+82=102,AC=10米.故选B.
2.如图所示,将一根长24cm的筷子放入底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的最小值是( ) A.12cmD.9cm
解析:设水杯底面直径为a,高为b,筷子在水杯中的长度为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,∴c2=a2+b2=52+122=132,∴c=13cm,h=24-13=11(cm).故选C.
3.某楼梯的侧面图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为 .
解析:∵AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2=62,∴AC=6米,∴地毯的长度为AC+BC=6+2.5=8.5(米),地毯的面积为8.5×6=51(平方米).故填51平方米.
4.如图所示,公路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25km,DA=15km,CB=10km,现要在公路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE.则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?
解:设AE=x km,则BE=(25-x)km,∵C,D两村到收购站E的距离相等,∴DE=CE,即DE2=CE2,∵在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2,在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE2,∴DA2+AE2=BE2+BC2, ∴152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.答:收购站E点应建在距点A10km处.
5.如图所示,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与门高.
解析:根据题中所给的条件可知竹竿斜放时,可与门的宽和高构成直角三角形,运用勾股定理可求出门高.
解:设门高为x尺,则竹竿高为(x+1)尺,根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2,即x2+16=x2+2x+1, 解得x=7.5,7.5+1=8.5(尺).答:门高为7.5尺,竹竿高为8.5尺.
解:设水深为x尺,则芦苇长度为(x+1)尺,根据勾股定理得x2+ =(x+1)2,解得x=12,x+1=12+1=13.答:水深为12尺,芦苇的长度为13尺.
6.如图所示,水池中有水,水面是一个边长为10尺的正方形,水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度和这根芦苇的长度分别是多少?
解析:找到题中的直角三角形,根据勾股定理解答.
7.中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕.如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A点先往东走4m,又往北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向北走4.5m处,往东一拐,仅走0.5m就到达了B点.A,B两点间的距离是多少?
解析:过点B作BC⊥AD于C,则△ABC为直角三角形,由图可以计算出AC,BC的长度,在直角三角形ABC中,已知AC,BC,根据勾股定理即可计算AB.
解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C,由题知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB为斜边,则AB= m.答:A,B两点间的距离是 m.
小明找来了长度分别为12cm,40cm的两条线,利用这两条线采用固定三边的方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗?
由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?与勾股定理有什么不同?
据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角. 大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗?
再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52,那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,再试一试.
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c. 5,12,13;7,24,25;8,15,17. (1)这三组数都满足a2+b2=c2吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. “三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角一般总是成90°,怎样确定房角的纵横两线呢?
如图所示,如何过基线MN上的一点C作它的垂线,
建筑工人用3,4,5作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢?
可由三名工人操作:一人手拿布尺或测绳的0和12尺处,固定在C点;另一人拿4尺处,把尺拉直,在MN上定出A点,再由一人拿9尺处.把尺拉直,定出B点,连接BC,则∠ACB=90°
想一想：
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它们的题设和结论有何关系?
如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°?
解:在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴AC2=AB2+BC2(勾股定理),∵AB=4,BC=3,∴AC2=32+42=52,∴AC=5.在△ACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°.
(1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.
(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c(c为最长边的长)满足a2+b2
(3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为直角三角形,较长边所对的角为直角.
1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.
2.勾股定理与其逆定理的联系与区别
联系: ①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关; ②两者都与直角三角形有关.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不是直角三角形的有效方法.
1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是( ) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25
解析:A.32+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B.92+122=152,故是直角三角形,故正确;C.52+122≠142,故不是直角三角形,故不正确;D.102+162≠252,故不是直角三角形,故不正确.
2. △ABC的三边为a,b,c,在下列条件中, △ABC不是直角三角形的是( )A.a2=b2-c2 B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
解析:A.∵a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,故本选项正确;B.∵a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴令a2=x,则b2=2x,c2=3x,∵x+2x=3x,∴a2+b2=c2,故本选项正确;C.∵∠A=∠B-∠C,∴∠B=∠A+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2(∠A+∠C)=180°,即∠A+∠C=90°,故本选项正确;D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴5x=5×15°=75°<90°,故本选项错误.
3.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为( ) A.72 B.36 C.66 D.42
解析:∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2,∴△ABC是直角三角形.∵AC2+CD2=52+122=132=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD= AB·BC+ AC·CD = ×3×4+ ×5×12=36.
4.有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 .
解析:①当第三边为斜边时,第三边长②当边长为5的边为斜边时,第三边长
5.已知△ABC的∠A,∠B和∠C的对边分别是a,b和c,下面给出了五组条件:①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②a∶b∶c=3∶4∶5;③2∠A=∠B+∠C;④a=6,b=8,c=13.其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件的序号是 _____________.
解析:①∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴∠C=90°,故是直角三角形;②设a=3k,则b=4k,c=5k,(3k)2+(4k)2=(5k)2,故是直角三角形;③∵2∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=60°,∠B+∠C=120°,不能判定△ABC是直角三角形;④∵62+82≠132,∴不能判定△ABC是直角三角形.能独立判定△ABC是直角三角形的条件是①②.故填①②.
解:在△ABD中,∵AB=26,AD=24,AD是BC的中线,∴2BD=2CD=BC=20,满足AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,即AD⊥BC,∴AC=AB=26.
6.如图所示,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC的长.
解析:由非负数的性质可求出a,b,c的值;
(2)以a,b,c为边能否构成直角三角形?
解析:利用勾股定理的逆定理即可判断以a,b,c为边能否构成直角三角形.
8.一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你判断这个三角形的形状.
解析:先根据题意设中间长的边长为x米,则较长边的长为 (x+1)米,较短边的长为(x-7)米,然后根据周长为30求出三边长,再根据勾股定理的逆定理即可判断这个三角形的形状.
解:设中间长的边长为x米,则较长边的长为(x+1)米,较短边的长为(x-7)米,∵三角形周长为30米, ∴x+x+1+x-7=30,解得x=12,则x+1=13,x-7=5, ∵52+122=132,∴这个三角形为直角三角形.
9.如图所示,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度行进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向行进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km. (1)此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由;
解析:根据题意可以知道OB和OA的长度,又知A和B的距离,利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
解:出发2 h,A组行进了12×2=24(km),B组行进了9×2=18(km),因为A,B两组相距30km,且有242+182=302,所以A,B两组行进的方向成直角.
(2)若A,B两组仍以原速行进,相向而行,经过几小时相遇?
解析:根据路程÷速度和=相遇时间,得出答案即可.
解:若A,B两组仍以原速行进,则经过30÷(12+9)= h相遇.
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