2018-2019学年北京市平谷七中九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市平谷七中九上期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果 ba−b=14，那么 ab 的值为
A. 5B. 15C. 3D. 13

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2−4x 的图象与 x 轴的交点坐标是
A. 0,0B. 4,0
C. 4,0，0,0D. 2,0，−2,0

3. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8 cm 时，AB 的长为
A. 7.2 cmB. 5.4 cmC. 3.6 cmD. 0.6 cm

4. 如图，在 Rt△DCB 中，∠C=90∘，点 A 在边 DC 上，且不与点 C，D 重合，那么 tan∠ABC 与 tan∠DBC 的大小关系是
A. tan∠ABC>tan∠DBCB. tan∠ABCC. tan∠ABC=tan∠DBCD. 无法确定

5. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax−12−1a≠0 的顶点坐标是
A. 2,−1B. −1,−1C. 1,1D. 1,−1

6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE:EC=3:1，连接 AE 交 BD 于点 F，那么 △DEF 的周长与 △BAF 的周长之比为
A. 3:4B. 9:16C. 1:3D. 3:2

7. 已知反比例函数 y=−3x，下列结论：①图象必经过点 −3,1；②图象在第二，四象限内；③ y 随 x 的增大而增大；④当 x>−1 时，y>3．其中错误的结论有
A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④

8. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如表）：
温度x/∘C⋯−4−20246⋯植物每天高度的增长量y/mm⋯41494941251⋯
由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量 y 是温度 x 的二次函数，那么下列三个结论：
①该植物在 0∘C 时，每天高度的增长量最大；
②该植物在 −6∘C 时，每天高度的增长量能保持在 25 mm 左右；
③该植物与大多数植物不同，6∘C 以上的环境下高度几乎不增长．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 经测试发现，近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例函数关系，其关系式为 y=120x．如果某一近视眼镜镜片的焦距为 0.3 米，那么近视眼镜的度数为 度．

10. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD:DB=3:1，BC=8，那么 DE 的长等于 ．

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是 AB 边上的高，AC=8，BC=6，那么 ∠ACD 的正切值是 ．

12. 已知二次函数 y=x2−mx+3 在 x=0 和 x=2 时的函数值相等，那么 m 的值是 ．

13. 一名运动员乘雪橇沿坡比 1:3 的斜坡笔直滑下，若下滑的垂直高度为 1000 米，则这名运动员滑到坡底的路程是 米．

14. 在同一直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y=1xx>0 的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点 Ax1,m，Bx2,m，Cx3,m，其中 m 为常数，令 W=x1+x2+x3，那么 W 的值为 （用含 m 的代数式表示）．

15. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm，AC>BC，那么 AC 的长约为 cm（结果精确到 0.1 cm）．

16. 函数 y=ax2−2ax+ma>0 的图象过点 2,0，那么使函数值 y<0 成立的 x 的取值范围是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 已知 a3=b4≠0，求代数式 a2−9b25a−3b⋅1a−3b 的值．

18. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 与 x 轴平行，顶点 A 的坐标为 2,1，点 B 与点 D 都在反比例函数 y=6xx>0 的图象上，求矩形 ABCD 的周长．

19. 如图，已知 CD 为 Rt△ABC 斜边上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E．求证：△ABC∽△DEC．

20. 对于自变量 x 的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．分段函数在自变量 x 的不同的取值范围内，函数的表达式也不同．例如：y=x2+2x,x≤0−x,x>0 是分段函数．当 x≤0 时，它是二次函数 y=x2+2x；当 x>0 时，它是正比例函数 y=−x．
（1）请在平面直角坐标系中画出函数 y=x2+2x,x≤0−x,x>0 的图象；
（2）y 轴左侧图象的最低点的坐标是 ；
（3）当 y=−1 时，求自变量 x 的值．

21. 如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长，交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG=2，求线段 AE 的长度．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=kx+6 与函数 y2=5xx>0 的图象的两个交点分别为 Aa,1，B．
（1）求 k，a 的值及点 B 的坐标；
（2）过点 Pn,0 作 x 轴的垂线，与直线 y1=kx+6 和函数 y2=5xx>0 的图象分别交于点 M，N，当点 M 在点 N 上方时，写出 n 的取值范围．

23. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠ABC=60∘，过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E．
（1）求证：四边形 ABEC 为菱形；
（2）如果 AB=6，连接 OE，求 OE 的长．

24. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在 △ABC 中，AD 为角平分线，∠B=50∘，∠C=30∘，求证：AD 为 △ABC 的优美线；
（2）在 △ABC 中，∠B=46∘，AD 是 △ABC 的优美线，且 △ABD 是以 AB 为腰的等腰三角形，求 ∠BAC 的度数．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+2x+ca≠0 经过点 A−3,4 和 B0,1．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）将抛物线在 A，B 之间的部分记为图象 M（含 A，B 两点）．将图象 M 沿 y 轴翻折，得到图象 N．如果过点 C−3,0 和 D0,b 的直线与图象 M 、图象 N 都相交，且只有两个交点，求 b 的取值范围．

26. 如图，在等边 △ABC 中，作 ∠ACD=∠ABD=45∘，边 CD，BD 交于点 D，连接 AD．
（1）请直接写出 ∠CDB 的度数；
（2）求 ∠ADC 的度数；
（3）用等式表示线段 AC，BD，CD 三者之间的数量关系，并证明．

27. 定义：在平面直角坐标系 xOy 中，如果将点 P 绕点 T0,t（t>0）旋转 180∘ 得到点 Q，那么称线段 QP 为“拓展带”，点 Q 为点 P 的“拓展点”．
（1）当 t=3 时，点 0,0 的“拓展点”坐标为 ，点 −1,1 的“拓展点”坐标为 ；
（2）如果 t>1，当点 M2,1 的“拓展点”N 在函数 y=−4x 的图象上时，求 t 的值；
（3）当 t=1 时，点 Q 为点 P2,0 的“拓展点”，如果抛物线 y=x−m2−1 与“拓展带”PQ 有交点，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. B
4. B
5. D
6. A
7. D
8. D
第二部分
9. 400
10. 6
11. 43
12. 2
13. 2000
14. 1m
15. 6.2
16. 0第三部分
17. 原式=a+3ba−3b5a−3b⋅1a−3b=a+3b5a−3b.
∵a3=b4≠0，
∴3b=4a．
原式=a+4a5a−4a=5aa=5.
18. 当 x=2 时，
∴y=6x=62=3，
∴D2,3，
AD=3−1=2，
当 y=1 时，
∴1=6x，
∴x=6，
∴B6,1，
∴AB=6−2=4，
∴ 矩形 ABCD 的周长是 2+4+2+4=12．
19. ∵CD 为 Rt△ABC 斜边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠CDE，
∴∠A=∠CDE，
∵∠ACB=90∘，CE⊥CD，
∴∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC．
20. （1） 略
（2） −1,−1
（3） 当 x>0，y=−1 时，−1=−x，
x=1；
当 x≤0，y=−1 时，−1=x2+2x，
x=−1．
所以自变量 x 的值为 1 或 −1．
21. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=AD=DC，AB∥DC，AD∥BC，
∵ AB∥DC，
∴ ∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴ △ABF∽△GDF，
∴ AFFG=ABDG，
∵ G 为 CD 边中点，FG=2，
∴ AF2=AB12DC，
∴ AF=4，AG=AF+FG=6，
∵ AD∥BC，
∴ ∠E=∠DAG，
∵ G 为 CD 边中点，
∴ DG=CG，
∵ ∠AGD=∠EGC，
∴ △ADG≌△ECG，
∴ AG=GE，
∴ AE=AG+GE=2AG=12．
22. （1） 把 Aa,1 代入函数 y=5xx>0 中，
∴1=5a，
∴a=5．
把 A5,1 代入函数 y=kx+6 中，
∴1=5k+6，
∴k=−1，
∴y=−x+6,y=5x,
解得 x=1,y=5, x=5,y=1.
∴ 点 B 的坐标为 1,5．
（2） 123. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥DC，AB=BC．
∵BE∥AC，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，
∵AB=BC，∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC．
∴ 四边形 ABEC 为菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60∘，
∴BD⊥AC，∠ABO=∠CBO=30∘．
在 Rt△ABO 中，
∵cs∠ABO=BOAB，
∴cs30∘=BO6．
∴BO=33．
∵ 四边形 ABEC 为菱形，∠ABC=60∘，
∴∠EBC=60∘，BE=AB=6．
∴∠OBE=∠OBC+∠CBE=90∘．
∴OE=OB2+BE2=332+62=37．
24. （1） ∵∠B=50∘，∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=100∘．
∵AD 为角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=50∘，
∴∠B=∠BAD=50∘，
∴DA=DB，
∴△ABD 是等腰三角形．
∵∠B=∠CAD=50∘，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴AD 为 △ABC 的优美线．
（2） ∵AD 是 △ABC 的优美线，且 △ABD 是以 AB 为腰的等腰三角形，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD=∠B=46∘．
∵△ABD 是以 AB 为腰的等腰三角形，
分两种情况：
当 AB=AD 时，
∴∠ADB=∠B=46∘．
又 ∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠C=0∘，不符合题意，这种情况不存在．
当 AB=BD 时，
∴∠ADB=∠BAD=12180∘−46∘=67∘，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=67∘+46∘=113∘，
∴∠BAC 的度数为 113∘．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+2x+ca≠0 经过点 A−3,4 和 B0,1．
∴9a−6+c=4,c=1.
解得 a=1,c=1.
∴ 抛物线的表达式为 y=x2+2x+1=x+12，
∴ 顶点坐标为 −1,0．
（2） 设点 A−3,4 关于 y 轴的对称点为 Aʹ，则点 Aʹ3,4．
若直线 CD 经过点 Aʹ3,4，可得 b=2．
若直线 CD 经过点 B0,1，可得 b=1．
若点 D 与坐标原点重合，b=0．
综上，126. （1） 60∘．
（2） 设 AB 与 CD 的交点为 O．
∵∠ACD=∠ABD=45∘，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△DOB．
∴AOOD=OCOB．
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB．
∴∠ADC=∠ABC=60∘．
（3） 线段 AC，BD，CD 三者之间的数量关系为 CD+BD=2AC．
证明：如图，延长 CD 到点 E，使 DE=DB，连接 AE．
∵∠ADC=60∘，
∴∠ADE=120∘．
∵∠CDB=60∘，
∴∠ADB=120∘．
在 △ADE 和 △ADB 中，
DE=DB,∠ADE=∠ADB,DA=DA,
∴△ADE≌△ADB．
∴AE=AB，∠E=∠ABD=45∘．
∵∠ACD=45∘，
∴∠EAC=90∘，AE=AC．
∴EC=2AC．
∴CD+BD=2AC．
【解析】另一种证法：
延长 BD 到点 E，使 DE=DC，连接 AE．
线段 AC，BD，CD 三者之间的数量关系为 3CD−BD=2AC．
证明：如图，在 DC 上截取 DE=DB，连接 BE，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F．
可证 △ADB≌△CEB，可得 CE=AD，
sin∠ADC=AFAD=32，2AF=3AD；
sin∠ACF=AFAC=22，2AF=2AC．
2AC=3AD，2AC=3CD−BD．
27. （1） 0,6；1,5
（2） 当 t>1 时，点 M2,1 的“拓展点”N 为 −2,2t−1．
∵ 点 N 在函数 y=−4x 的图象上，
∴2t−1=−4−2．
∴t=32．
（3） 当 t=1 时，点 P2,0 的“拓展点”Q 为 −2,2，
当抛物线 y=x−m2−1 经过点 P2,0 时，可得 m=1 或 m=3．
当抛物线 y=x−m2−1 经过点 Q−2,2 时，可得 m=−2+3 或 m=−2−3．
∴m 的取值范围为 −2−3≤m≤3．