2019-2020学年北京市怀柔区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市怀柔区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 16 的算术平方根是
A. 8B. 4C. ±4D. −4

2. 盛大庄严的阅兵仪式、热烈欢腾的群众游行、雍容绽放的焰火表演、璀璨夺目的光艺展示 ⋯⋯ 新中国成立 70 周年庆典活动令人记忆犹新．这背后彰显了中国在科技领域的飞速进步．下列庆典图片中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若分式 x+1x−1 的值等于 0，则 x 的值为
A. −1B. 1C. 0D. 2

4. 下列各式中，是最简二次根式的是
A. 13B. 2C. 27D. a2

5. 新中国成立 70 周年庆典阅兵直播，不仅可以通过电视观看，也可以通过手机、电脑等互联网设备进行观看．这其中，百度APP直播期间累计观看人数就达到 550000000，将 550000000 用科学记数法表示为
A. 55×107B. 5.5×108C. 0.55×108D. 5.5×109

6. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=50∘，∠BAC=20∘，D 为线段 AB 的垂直平分线与直线 BC 的交点，连接 AD，则 ∠ADC 的度数为
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

7. 如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，当 PC 与 PE 的和最小时，∠CPE 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

8. 下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是
A. 一个密封的纸箱里有 7 个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性相同．
B. 在 80 个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的可能性相同．
C. 一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1−6 点数朝上的可能性相同．
D. 小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性相同．

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−2 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 已知 a+9 是最简二次根式，且它与 32 是同类二次根式，则 a= ．

11. 如图，点 A，B，D 在同一条直线上，∠A=∠CBE=∠D=90∘，请你只添加一个条件，使得 △ABC≌△DEB．
（1）你添加的条件是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
（2）依据所添条件，判定 △ABC 与 △DEB 全等的理是 ．

12. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 AB 延长线上一点，E 是 BC 延长线上一点，F 是 CA 延长线上一点，∠DBC=130∘，则 ∠FAB 的度数为 ．

13. 如图在解分式方程 2x2−4+xx−2=1 的过程中，步骤（2）的依据是 ，步骤（4）的依据是 ．
解分式方程：2x2−4+xx−2=1．
解：
2x+2x−2+xx−2=1. ⋯⋯12+xx+2=x2−4. ⋯⋯22+x2+2x=x2−4. ⋯⋯3x2+2x−x2=−4−2. ⋯⋯42x=−6. ⋯⋯5x=−3. ⋯⋯6
经检验，x=−3 是原方程的解．

14. 已知分式 1−3x2x2+1 的值为负数，则 x 的取值范围为 ．

15. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：
“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”
译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?”（备注：1 丈 =10 尺）
如果设竹梢到折断处的长度为 x 尺，那么折断处到竹子的根部用含 x 的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．

16. 在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距 5 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 4×4 的正方形网格图形中（如图 1），从点 A 经过一次跳马变换可以到达点 B，C，D，E 等处．现有 10×10 的正方形网格图形（如图 2），则从该正方形的顶点 Mʹ 经过跳马变换到达与其相对的 Nʹ，最少需要跳马变换的次数是 ，现有 20×20 的正方形网格图形（如图 3），则从该正方形的顶点 Mʺ 经过跳马变换到达与其相对的 Nʺ，最少需要跳马变换的次数是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：3−27+33−12−313．

18. 计算：7+437−43−35−12．

19. 解方程：xx+2=2x−1+1．

20. 计算：1a−b−2aa2−b2．

21. 已知：如图，E，F 为 AC 上两点，AD∥BC，∠1=∠2，AE=CF，求证：△ADF≌△CBE．

22. 先化简，再求值：x−1x2+2x+1÷1−2x+1，其中 x=3−1．

23. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，且 CD=CB，连接 AD，过点 D 作 DM⊥DB，在 DM 上截取一点 E，使得 DE=AD，连接 AE．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）猜想 EC 和 AD 的位置关系，并证明．

24. 列方程解应用题：
港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长 55 千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶 10 千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的 56．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．

25. 数学课上，王老师布置如下任务：
如图 1，直线 MN 外一点 A，过点 A 作直线 MN 的平行线．
（1）小路的作法如下：
①在 MN 上任取一点 B，作射线 BA；
②以 B 为圆心任意长为半径画弧，分别交 BA 和 MN 于 C，D 两点（点 D 位于 BA 的左侧），再以 A 为圆心，相同的长度为半径画弧 EH，交 BA 于点 E（点 E 位于点 A 上方）；
③以 E 为圆心 CD 的长为半径画弧，交弧 EH 于点 F（F 点位于 BA 左侧）；
④作直线 AF；
⑤直线 AF 即为所求作平行线．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵∠CBD= ，
∴AF∥MN（ ）．
（2）请你参考小路的作法，利用图 2 再设计一种“过点 A 作 MN 的平行线”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并说明其中蕴含的数学依据．

26. 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如下图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于 −1 吗?请说明理由．

27. 在探究三角形内角和等于 180∘ 的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，然后把这个角进行平移，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：
（1）小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明，请你帮助小明完成证明过程．
证明：过点 B 作 BN∥AC，延长 AB 到 M，
因为 BN∥AC，
所以 ∠NBM=∠A ，
∠CBN=∠C ，
因为 ∠CBA+∠CBN+∠NBM=180∘（平角定义），
所以 ∠CBA+∠A+∠C=180∘（定量代换）．
（2）小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平角中去，只不过平角的顶点放到了 AB 边上，如图所示：
请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．
（3）小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试，如图所示：
小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．

28. 已知：△ABC，∠A=45∘，∠ACB=90∘，点 D 是 AC 延长线上一点，且 AD=2+2，M 是线段 CD 上一个动点，连接 BM，延长 MB 到 H，使得 HB=MB，以点 B 为中心，将线段 BH 逆时针旋转 45∘，得到线段 BQ，连接 AQ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABQ=∠AMB；
（3）点 N 是射线 AC 上一点，且点 N 是点 M 关于点 D 的对称点，连接 BN，如果 QA=BN，求线段 AB 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. A
4. B
5. B
6. D
7. C
8. C
第二部分
9. x≥2
10. −7
11. 任意一对对应边相等，AAS 或 ASA
12. 100∘
13. 等式的基本性质 2，等式的基本性质 1
14. x>13
15. 10−x，10−x2+42=x2
16. 8，14
第三部分
17. 原式=−3+3−23−3=−3−23.
18. 原式=72−432−352−65+1=49−48−45−65+1=−45+65.
19. 去分母，得：
xx−1=2x+2+x+2x−1.
去括号，得：
x2−x=2x+4+x2+x−2.
移项，得：
x2−x2−x−2x−x=4−2.
合并同类项，得：
−4x=2.
系数化为 1，得：
x=−12.
经检验：x=−12 是原方程的解．
20. 原式=1a−b−2aa+ba−b=a+ba+ba−b−2aa+ba−b=b−aa+ba−b=−a−ba+ba−b=−1a+b.
21. ∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即：AF=CE，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠A=∠C,AF=CE,∠1=∠2,
∴△ADF≌△CBE．
22. 原式=x−1x+12÷x+1x+1−2x+1=x−1x+12÷x−1x+1=1x+1.
当 x=3−1 时，
原式=13−1+1=33.
23. （1） 证明：
∵ DM⊥DB，
∴ ∠EDB=90∘，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC，∠ACB=∠CAB=60∘，
∵ CD=CB=AC，
∴ ∠ADB=∠DAC=30∘，
∴ ∠ADE=60∘，
∵ DE=AD，
∴ △ADE 是等边三角形，∠DAE=60∘，AE=AD．
∴ ∠CAB=∠DAE=60∘，
∴ ∠DAB=∠EAC，
∴ △ADB≌△AEC．
（2） AD⊥EC
∵ △ADB≌△AEC
∴ ∠AEC=∠ADB=30∘
∵ △AED 是等边三角形，
∴ EC 是 △AED 的角平分线，
∴ EC 是 △AED 的高线，
∴ AD⊥EC．
24. 设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要 x 小时，
则乙巴士的行驶时间需要 65x 小时，
根据题意得：
55x=5565x+10.
解得：
x=1112.
经检验，x=1112 是原分式方程的解且符合题意．
答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要 1112 小时．
25. （1）
∠EAF；同位角相等，两直线平行
（2）
①内错角相等，两直线平行
②同旁内角互补，两直线平行
③全等三角形对应角相等，内错角相等两直线平行
③垂直于同一直线两直线平行
26. （1） 设被手遮住部分的代数式为 A．则
A+2x+1÷3x1−x=x−1x+1A+2x+1=x−1x+1⋅3x1−xA=−3xx+1−2x+1A=−3x+2x+1.
（2） 不能．
理由：若能使原代数式的值能等于 −1，
则 x−1x+1=−1，即 x=0，
但是，当 x=0 时，原代数式中的除数 3x1−x=0，原代数式无意义．
所以原代数式的值不能等于 −1．
27. （1） 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
（2） 过点 O 作 ON∥AC，交 BC 于点 D，过点 O 作 OM∥BC，
因为 ON∥AC，
所以 ∠NOB=∠A，∠ODB=∠C，
因为 OM∥BC，
所以 ∠MOA=∠B，∠MON=∠ODB，
因为 ∠AOM+∠MON+∠NOB=180∘，
所以 ∠A+∠B+∠C=180∘．
（3） 关键：将 △ABC 沿点 C 所在的垂直于 AB 的直线翻折，折痕与 AB 的交点为 H，使点 C 与点 H 重合，确定折痕 MN，将 △MAH 沿点 M 所在的垂直于 AB 的直线翻折，折痕与 AB 的交点为 E，将 △NBH 沿点 N 所在的垂直于 AB 的直线翻折，折痕与 AB 的交点为 F．
证明思路：因为翻折，
所以 CH⊥AB，△CMN≌△HMN，MN 是 CH 的垂直平分线，
所以 MN∥AB，∠CMN=∠A，∠CDM=∠MEA，CD=ME，
所以 △CMD≌△MAE，
所以 CM=MA=MH，
同理 CN=NB=NH，
所以 △MAE≌△MHE，△NBF≌△NHF，
因为 ∠MHN+∠MHE+∠NHB=180∘，
所以 ∠A+∠B+∠C=180∘．
28. （1）
（2） ∵∠ABH 是 △ABM 的一个外角，
∴∠ABH=∠BAM+∠AMB．
∵∠ABH=∠HBQ+∠ABQ，
又 ∵∠HBQ=∠BAM=45∘，
∴∠ABQ=∠AMB．
（3） 过 Q 作 QE⊥AB，垂足为 E．
∵QE⊥AB，
∴∠QEB=∠BCM=90∘．
在 △QEB 和 △BCM 中，
∵∠QEB=∠BCM，∠QBE=∠BMC，QB=BM，
∴△QEB≌△BCM，
∴EB=CM，QE=BC，
在 Rt△QEA 和 Rt△BCN 中，
∵QE=BC，QA=BN，
∴Rt△QEA≌Rt△BCN．
∴AE=CN=CM+MD+DN．
∵ 点 N 是点 M 关于点 D 的对称点，
∴MD=DN．
∴AE=CM+2MD=EB+2MD．
∵AB=AE+EB=2EB+2MD=2EB+MD=2CD，
设 AC=BC=x，AB=2x，CD=22x，
又 ∵AD=2+2，AD=AC+CD=x+22x，
∴x+22x=2+2，x=2．
∴AB=22．