2019-2020学年成都市金堂县八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市金堂县八上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列实数是无理数的是
A. −1B. 3C. 3.14D. 13

2. 在平面直角坐标系中，点 M−2,1 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 9 的算术平方根是
A. 3B. 3C. 9D. ±3

4. 以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是
A. 4 cm，8 cm，7 cmB. 2 cm，2 cm，2 cm
C. 2 cm，2 cm，4 cmD. 6 cm，8 cm，10 cm

5. 平面直角坐标系中，P−2,3 关于 x 轴对称的点的坐标为
A. −2,−3B. 2,−3C. −3,−2D. 3,−2

6. 如图，l1∥l2，∠1=54∘，则 ∠2 的度数为
A. 36∘B. 54∘C. 126∘D. 144∘

7. 已知 x=3,y=5 是方程 kx+2y=−5 的解，则 k 的值为
A. 3B. 4C. 5D. −5

8. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁平均数cm185180185180方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

9. 一次函数 y=x−1 的图象不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

10. 如图，已知一次函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象相交于点 P，则根据图象可得二元一次方程组 y=ax+b,kx−y=0 的解是
A. x=−4,y=−2B. x=−2,y=−4C. x=2,y=4D. x=2,y=−4

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 若 x−2=0，则 x= ．

12. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 ∠BAC 的平分线．已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为 ．

13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=−2x+1 的图象经过 P1x1,y1，P2x2,y2 两点，若 x1>x2，则 y1 y2（填“>”或“<”）．

14. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 A 的坐标为 −1,1，AB 平行于 x 轴，则点 C 的坐标为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 计算：
（1）−12017+4−∣−2∣−π−20160；
（2）6−215×3−612．

16. 解方程组 2x−y=5,7x−3y=20.

17. 把长方形 ABʹCD 沿对角线 AC 折叠，得到如图所示的图形，已知 ∠BAO=30∘ .
（1）求 ∠AOC 和 ∠BAC 的度数；
（2）若 AD=33，OD=3，求 CD 的长．

18. 食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产甲、乙两种饮料共 100 瓶，需加入同种添加剂 260 克，其中甲饮料每瓶需加添加剂 2 克，乙饮料每瓶需加添加剂 3 克，饮料加工厂生产了甲、乙两种饮料各多少瓶?

19. 2014 年 1 月，国家发改委出台指导意见，要求 2015 年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度．小军为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住在小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图 1，图 2．
小军发现每月每户的用水量在 5 m3∼35 m3 之间，有 7 户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓的态度，不用考虑用水方式的改变．根据小军绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n= ，小明调查了 户居民，并补全图 1；
（2）每月每户用水量的中位数落在 之间，众数落在 之间；
（3）如果小明所在的小区有 1200 户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少?

20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=−x+b 的图象与正比例函数 y=kx 的图象都经过点 B3,1．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）若直线 CD 与正比例函数 y=kx 平行，且过点 C0,−4，与直线 AB 相交于点 D，求点 D 的坐标．（注：两直线平行，直线表达式中 x 的系数相等）
（3）连接 CB，求 △BCD 的面积．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知：m，n 为两个连续的整数，且 m<13
22. 有长度为 9 cm，12 cm，15 cm，36 cm，39 cm 的五根木棒，从中任取三根首尾连接可搭成直角三角形的概率为 ．

23. 关于 x，y 的二元一次方程组 x+y=1−m,x−3y=5+3m 中，m 与方程组的解中的 x 或 y 相等，则 m 的值为 ．

24. 如图，直线 y=x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，x 轴上有一点 C−4,0，点 P 为直线上一动点，当 PC+PO 值最小时点 P 的坐标为 ．

25. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=2x 和 y=−x 的图象分别为直线 l1，l2，过点 1,0 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4，⋯ 依次进行下去，则点 A2015 的坐标为 ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 甲、乙两人在某标准游泳池相邻泳道进行 100 米自由泳训练，如图是他们各自离出发点的距离 y（米）与他们出发的时间 x（秒）的函数图象．根据图象，解决如下问题．（注标准泳池单向泳道长 50 米，100 米自由泳要求运动员在比赛中往返一次；返回时触壁转身的时间，本题忽略不计）
（1）直接写出点 A 坐标，并求出线段 OC 的解析式；
（2）他们何时相遇?相遇时距离出发点多远?
（3）若甲、乙两人在各自游完 50 米后，返回时的速度相等；则快者到达终点时领先慢者多少米?

27. 已知 △ABC 中，AB=AC=62，BC=12．点 P 从点 B 出发沿线段 BA 移动，同时点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D．
（1）如图 ①，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长；
（2）如图 ②，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，当点 P，Q 在移动的过程中，设 BE+CD=λ，λ 是否为常数?若是请求出 λ 的值，若不是请说明理由．
（3）如图 ③，E 为 BC 的中点，直线 CH 垂直于直线 AD，垂足为点 H，交 AE 的延长线于点 M；直线 BF 垂直于直线 AD，垂足为 F；找出图中与 BD 相等的线段，并证明．

28. 如图①，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 0,−1，C 的坐标为 4,3，直角顶点 B 在第四象限，线段 AC 与 x 轴交于点 D．将线段 DC 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 至 DE．
（1）直接写出点 B，D，E 的坐标并求出直线 DE 的解析式．
（2）如图②，点 P 以每秒 1 个单位的速度沿线段 AC 从点 A 运动到点 C，过点 P 作与 x 轴平行的直线 PG，交直线 DE 于点 G，求 △DPG 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并求出自变量 t 的取值范围．
（3）如图③，设点 F 为直线 DE 上的点，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FE 以每秒 2 个单位的速度运动到 E 后停止．当点 F 的坐标是多少时，存在点 M 在整个运动过程中用时最少?若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 −1 是整数，是有理数，故该选项不符合题意；
B、 3 是无理数，该选项符合题意；
C、 3.14 是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意；
D、 13 是分数，是有理数，故该选项不符合题意．
2. B
3. A【解析】9 的算术平方根是 3．
4. D【解析】A，42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B，22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C，2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D，62+82=102，故能构成直角三角形．
5. A
【解析】P−2,3 关于 x 轴对称的点的坐标为 −2,−3．
6. C【解析】如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠3，
∵∠1=54∘，
∴∠3=54∘，
∵∠2+∠3=180∘，
∴∠2=126∘．
7. D【解析】把 x=3,y=5 代入方程 kx+2y=−5 得，3k+10=−5，解得 k=−5．
8. A【解析】∵ 甲、丙两名运动员的平均数大于乙和丁两名运动员的平均数，
∴ 甲和丙两名运动员的平均成绩较好．
∵ 甲运动员的方差小于丙运动员的方差，
∴ 甲运动员的成绩较稳定，故应选择甲运动员．
9. B
10. A
【解析】根据题意可知，二元一次方程组 y=ax+b,kx−y=0 的解就是一次函数 y=ax+b 和正比例函数 y=kx 的图象的交点 P 的横、纵坐标值，由一次函数 y=ax+b 和正比例函数 y=kx 的图象，得二元一次方程组 y=ax+b,kx−y=0 的解是 x=−4,y=−2.
第二部分
11. 2
【解析】由题意得：x−2=0，解得 x=2．
12. 8
【解析】∵AB=AC，AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD=AB2−AD2=4．
13. <
【解析】∵ 一次函数 y=−2x+1 中 k=−2，
∴y 值随 x 值的增大而减小．
∵x1>x2，
∴y114. 3,5
【解析】∵ 正方形 ABCD 的边长为 4，点 A 的坐标为 −1,1，
∴ 点 C 的横坐标为 4−1=3，点 C 的纵坐标为 4+1=5，
∴ 点 C 的坐标为 3,5．
第三部分
15. （1） 原式=−1+2−2−1=−2．
（2） 原式=6×3−215×3−6×22=32−65−32=−65.
16.
2x−y=5, ⋯⋯①7x−3y=20, ⋯⋯②
由 ①×3 得：
6x−3y=15, ⋯⋯③
由 ②−③ 得：
x=5,
把 x=5 代入 ① 得：
y=5,
所以原方程组的解为
x=5,y=5.
17. （1） 如图，
∵ 四边形 ABʹCD 是矩形，
∴AD∥BʹC，∠B=90∘，
∴∠1=∠3，
由翻折的性质可得 ∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
由翻折的性质可得 ∠B=∠Bʹ=90∘，且 ∠BAO=30∘，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=120∘，
∴∠2=∠3=30∘，
∴∠BAC=∠BAO+∠3=60∘，
答：∠AOC 为 120∘，∠BAC 为 60∘．
（2） ∵∠2=∠3，
∴AO=CO，
∵AD=33，OD=3，
∴AO=CO=23，
∵ 四边形 ABʹCD 是矩形，
∴∠D=90∘，
∴ 在 Rt△ODC 中，CD=OC2−OD2=232−32=3，
答：CD 长为 3．
18. 设饮料加工厂生产了甲种饮料 x 瓶，乙种饮料 y 瓶，
由题意得
x+y=100,2x+3y=260,
解之得
x=40,y=60,
答：生产甲饮料 40 瓶，乙饮料 60 瓶．
19. （1） 210；84
补全条形统计图如图：
【解析】n=360−120−30=210，
调查的居民户数为 7÷30∘360∘=84（户），
则每月每户的用水量在 15 m3∼20 m3 之间的户数为 84−15+22+18+16+5=8（户），
（2） 15 m3∼20 m3；10 m3∼15 m3
【解析】∵ 共有 84 个数据，
∴ 每月每户用水量的中位数为第 42，43 个数据的平均数，即中位数落在 15 m3∼20 m3 之间．
由条形图知，10 m3∼15 m3 的数据最多，
∴ 众数落在 10 m3∼15 m3 之间．
（3） ∵ 1200×210360=700（户），
∴ 估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有 700 户．
20. （1） 把 B3,1 分别代入 y=−x+b 和 y=kx 得 1=−3+b，1=3k，
解得：b=4，k=13，
∴ 一次函数的表达式为 y=−x+4，正比例函数的表达式为 y=13x．
（2） ∵ CD∥OB，CD 经过 C0,−4，
∴ 直线 CD 的表达式为 y=13x−4，
由题意得：y=−x+4,y=13x−4,
解得 x=6,y=−2,
∴ 点 D 的坐标为 6,−2．
（3） 在 y=−x+4 中，令 x=0，则 y=4，
∴ A0,4，
∴ AC=8，
∴ S△BCD=S△ACD−S△ABC=12×8×6−12×8×3=12．
第四部分
21. ±23
【解析】∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴m=3，n=4，
∴mn=3×4=12，
12 的平方根为 ±23．
22. 15
【解析】从 5 根木棒中选取 3 根有（单位：cm）15，36，39；12，36，39；12，15，39；12，15，36；9，36，39；9，15，39；9，15，36；9，12，39；9，12，36；9，12，15 这 10 中等可能结果，
根据勾股定理的逆定理，可知能够搭成直角三角形的有 9 cm，12 cm，15 cm 和 15 cm，36 cm，39 cm 这 2 种，
∴ 任取三根首尾连接可搭成直角三角形的概率为 210=15．
23. 2 或 −12
【解析】解关于 x，y 的方程组 x+y=1−m,x−3y=5+3m, 得 x=2,y=−1−m.
∵m 与方程组的解中的 x 或 y 相等，
∴x=m 或 y=m 或 x=y=m，
当 x=m 时，m=2；
当 y=m 时，−1−m=m，解得 m=−12，
由上可知 x=y=m 的情况不存在，
综上，可知 m 的值为 2 或 −12．
24. −92,32
【解析】如图，作点 C 关于直线 y=x+6 的对称点 Cʹ，连接 ACʹ，OCʹ 交直线 y=x+6 于点 P，则点 P 即为所求，
连接 CCʹ 交 AB 于点 Q，
∵ 直线 y=x+6 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，
当 x=0 时 y=6，当 y=0 时 x=−6，
∴A−6,0，B0,6，
∴∠BAO=45∘．
∵ 点 C，Cʹ 关于直线 AB 对称，
∴AB 是线段 CCʹ 的垂直平分线，
∴∠AQC=90∘，
∴∠ACCʹ=45∘=∠ACʹC，
∴∠CʹAC=90∘，
∴△ACCʹ 是等腰直角三角形，
∴AC=ACʹ=2，
∴Cʹ−6,2．
设直线 OCʹ 的解析式为 y=kxk≠0，则 2=−6k，解得 k=−13，
∴ 直线 OCʹ 的解析式为 y=−13x，
∴y=−13x,y=x+6, 解得 x=−92,y=32.
∴P−92,32．
25. −21007,−21008
【解析】对直线 l1，当 x=1 时，y=2，
所以点 A1 的坐标为 1,2；
当 y=−x=2 时，x=−2，
所以点 A2 的坐标为 −2,2，
同理可得：A3−2,−4，A44,−4，A54,8，A6−8,8，A7−8,−16，A816,−16，A916,32，⋯，
所以 A4n+122n,22n+1，A4n+2−22n+1,22n+1，A4n+3−22n+1,−22n+2，A4n+422n+2,−22n+2（n 为自然数），
因为 2015=503×4+3，
所以点 A2015 的坐标为 −2503×2+1,−2503×2+2，即 −21007,−21008．
第五部分
26. （1） 由图及题意得 A30,50，C40,50，
设线段 OC 的解析式为：y1=k1x，
把 C40,50 代入得，k1=54，
所以线段 OC 的解析式为：y1=54x0≤x≤40．
（2） 设线段 AB 的解析式为 y2=k2x+b，
把 A30,50，B60,0 代入可知：50=30k2+b,0=60k2+b,
解得，k2=−53,b=100.
∴ 线段 AB 的解析式为 y2=−53x+10030≤x≤60．
解方程组 y=54x,y=−53x+100,
解得，x=2407,y=3007.
∴ 线段 OC 与线段 AB 的交点坐标为 2407,3007，
即出发 2407 秒后相遇，相遇时距离出发点 3007 米．
（3） 由题意可知，甲、乙两人在各自游完 50 m 后，在返程中的距离保持不变．
把 x=40 代入 y2=−53x+100，得 y2=1003，
故快者到达终点时，领先慢者 50−1003=503（米）．
27. （1） 如图 ①，过 P 点作 PF∥AC 交 BC 于点 F，
∵ 点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ．
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
∴ ∠PFD=∠QCD．
又 ∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB，
∴ ∠B=∠PFB，
∴ BP=PF，
∴ PF=CQ，
在 △PFD 和 △QCD 中，
∠DPF=∠Q,PF=QC,∠PFD=∠QCD,
∴ △PFD≌△QCD，
∴ DF=CD=12CF．
又 ∵ P 是 AB 的中点，PF∥AQ，
∴ F 是 BC 的中点，
∴ FC=12BC=6，
∴ CD=12CF=3．
（2） BE+CD=λ=6 为定值，λ 为常数．
理由如下：
如图 ②，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F，
由（1）得：△PBF 为等腰三角形，
∵ PE⊥BF，
∴ BE=12BF．
由（1）得 △PFD≌△QCD，
∴ CD=12CF，
∴ BE+CD=λ=12BF+12CF=12BF+CF=12BC=6．
（3） BD=AM．
理由如下：
∵ 在 △ABC 中，AB=AC=62，BC=12，
∴AE=CE=BE，∠EAD+∠ADE=90∘．
∵ AH⊥CM，
∴ ∠ECM+∠CDH=90∘．
∵ ∠ADE=∠CDH，
∴ ∠EAD=∠ECM，
在 △AED 和 △CEM 中，
∠EAD=∠ECM,AE=CE,∠AED=∠CEM,
∴ △AED≌△CEM，
∴DE=ME，
∴ BE+DE=AE+ME，
即：BD=AM．
28. （1） 由题意得：B4,−1，D1,0，E−2,3，
设直线 DE 的解析式为 y=kx+bk≠0，
把 D1,0，E−2,3 代入得 0=k+b,3=−2k+b,
解得：k=−1,b=1.
∴ 直线 DE 的解析式为：y=−x+1．
（2） 在 Rt△ABC 中，由 BA=BC=4，
∴AC=AB2+BC2=42，
同理可得：AD=AO2+OD2=2，
由题意可知：ED⊥AC，∠DPG=∠DAB=45∘，
∴△DPG 为等腰直角三角形，
S=12DP2．
①当 0≤t≤2 时，PD=2−t，
∴S=12PD2=122−t2=12t2−2t+1．
②当 2 ∴S=12PD2=12t−22=12t2−2t+1．
综上：S=12t2−2t+10≤t≤42．
（3） 存在点 M 在整个运动过程中用时最少.
由题意，可得 ∠EDO=45∘，
过点 E 作 EK∥x 轴交 y 轴于 Q，如图所示，
则 ∠KEF=∠EDO=45∘，
过点 F 作 FN⊥EK 于点 N，则 FN=EN=22EF，
由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+EF，运动时间：t=AF+22EF，
∴t=AF+FN，
由垂线段最短可知，折线 AF+FN 的长度的最小值为 EK 与线段 AB 之间的垂线段的长，
则 t最小=AQ，直线 DE 与 y 轴的交点即为所求 F 点，
∵ 直线 DE 解析式为：y=−x+1，
∴F0,1，
综上所述，当点 F 的坐标为 0,1 时，存在点 M 在整个运动过程中用时最少．