2019-2020学年哈尔滨市道里区九上期末数学试卷【五四制】

这是一份2019-2020学年哈尔滨市道里区九上期末数学试卷【五四制】，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘，下列选项中的关系式正确的是
A. sinA=ACABB. csB=ACBC
C. tanA=BCABD. AC=AB⋅csA

3. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是
A. B.
C. D.

4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，连接 AD，DB，BC，若 ∠ABD=55∘，则 ∠BCD 的度数为
A. 65∘B. 55∘C. 45∘D. 35∘

5. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ABʹCʹ，若 Bʹ 落在 BC 边上，∠B=50∘，则 ∠CBʹCʹ 为
A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘

6. 在反比例函数 y=1−3mx 图象上有两点 Ax1,y1，Bx2,y2，x1<0A. m>13B. m<13C. m≥13D. m≤13

7. 一个袋中里有 4 个珠子，其中 2 个红色，2 个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取 2 个珠子，都是蓝色珠子的概率是
A. 12B. 13C. 14D. 16

8. 如图，l3∥l4∥l5，l1 交 l3，l4，l5 于 E，A，C，l2 交 l3，l4，l5 于 D，A，B，以下结论的错误的为
A. EAAC=DAABB. BABD=CACEC. CACE=DADBD. EAEC=DADB

9. 如图，P 为 ⊙O 外一点，PA，PB 分别切 ⊙O 于点 A，B，CD 切 ⊙O 于点 E 且分别交 PA，PB 于点 C，D，若 PA=4，则 △PCD 的周长为
A. 8B. 7C. 6D. 5

10. 如图是抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 的一部分，抛物线的顶点坐标 A1,3，与 x 轴的一个公共点 B4,0，直线 y2=mx+nm≠0 与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：① 2a−b=0；② abc<0；③方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一个公共点是 −1,0；⑤当 1y1；其中正确的有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 点 −4,1 关于原点的对称点的坐标为 ．

12. 若反比例函数 y=kx 的图象经过点 −2,3，则 k= ．

13. 将二次函数 y=x2+1 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的图象对应的二次函数的解析式为 y=x2+ax+b，则 ab= ．

14. 在 △ABC 中，∠C=90∘，csA=32，AC=63，则 BC= ．

15. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 4，∠B=135∘，则 AC 的长为 ．

16. 在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 13，如再往盒中放进 4 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 15，则 x2+y2= ．

17. 如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15∘ 方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75∘ 方向以 60 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60∘ 方向上，则 B，C 之间的距离为 海里．

18. 某种商品的进价为 40 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出 100−x 件，当 x= 时才能使利润最大．

19. 如图，⊙O 的弦 AB 与半径 OC 垂直，点 D 为垂足，OD=DC，AB=23，点 E 在 ⊙O 上，∠EOA=30∘，则 △EOC 的面积为 ．

20. 如图，△ABC，∠ACB=90∘，点 D，E 分别在 AB，BC 上，AC=AD，∠CDE=45∘，CD 与 AE 交于点 F，若 ∠AEC=∠DEB，CE=7104，则 CF= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 通过配方，确定抛物线 y=ax2+bx+1 的顶点坐标及对称轴，其中 a=sin30∘−tan45∘，b=4tan30∘⋅sin60∘．

22. 如图，在小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 AB，点 A，B 均在小正方形的顶点上．
（1）在图 1 中画出四边形 ABCD，四边形 ABCD 是中心对称图形，且四边形 ABCD 的面积为 6，点 C，D 均在小正方形的顶点上；
（2）在图 2 中画一个 △ABE，点 E 在小正方形的顶点上，且 BE=BA，请直接写出 ∠BEA 的余弦值．

23. 在平面直角坐标系内，点 O 为坐标原点，直线 y=x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C2,m 在直线 y=x+4 上，反比例函数 y=nx 经过点 C．
（1）求 m，n 的值；
（2）点 D 在反比例函数 y=nx 的图象上，过点 D 作 x 轴的垂线，点 E 为垂足，若 OE=3，连接 AD，求 tan∠DAE 的值．

24. 如图，正方形 ABCD，点 E 在 AD 上，将 △CDE 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 至 △CFG，点 F，G 分别为点 D，E 旋转后的对应点，连接 EG，DB，DF，DB 与 CE 交于点 M，DF 与 CG 交于点 N．
（1）求证 BM=DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．

25. 如图，在平面直角坐标系内，点 O 为坐标原点，抛物线 y=−14x2+32x+4 交 x 轴负半轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B，交 y 轴于点 C．
（1）求 AB 长；
（2）同时经过 A，B，C 三点作 ⊙D，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，横坐标为 10 的点 E 在抛物线 y=−14x2+32x+4 上，连接 AE，BE，求 ∠AEB 的度数．

26. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦CD⊥AB，点 E 为垂足，点 F 为 BC 的中点，连接 DA，DF，DF 交 AB 于点 G．
（1）如图 1，求证：∠AGD=∠ADG；
（2）如图 2，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 HG，求证：CH=HG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 O 作 OP⊥AD，点 P 为垂足，若 OP=BG，DG=4，求 HG 长．

27. 如图，在平面直角坐标系内，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+2 交 x 正半轴于点 A，交 x 轴负半轴于点 B，交 y 轴于点 C，OB=OC，连接 AC，tan∠OCA=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是第三象限抛物线 y=ax2+bx+2 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AC 于点 D，设 PD 的长为 d，点 P 的横坐标为 t，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接 PA，PC，当 △ACP 的面积为 30 时，将 △APC 沿 AP 折叠得 △APCʹ，点 Cʹ 为点 C 的对应点，求点 Cʹ 坐标并判断点 Cʹ 是否在抛物线 y=ax2+bx+2 上，说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
2. D
3. C
4. D
5. D
6. B【解析】x1<00，
所以 m<13．
7. D
8. C
9. A
10. B
第二部分
11. 4,−1
12. −6
13. 8
14. 6
15. 2π
16. 20
17. 302
18. 70
19. 1 或 2
20. 5
第三部分
21. a=sin30∘−tan45∘=12−1=−12，b=4tan30∘⋅sin60∘=4×33×32=2，
y=ax2+bx+1=−12x2+2x+1=−12x2−4x+1=−12x2−4x+4−4+1=−12x2−4x+4+2+1=−12x−22+3.
抛物线顶点坐标 2,3，对称轴直线 x=2．
22. （1） 正确画图．
（2） 正确画图．
∠BEA 的余弦值为 55．
23. （1） 点 C2,m 在直线 y=x+4 上，即 m=2+4=6．
所以 C2,6．
把 x=2，y=6 代入 y=nx，即 6=n2，解得 n=12．
（2） 因为 OE=3，DE⊥x轴，
所以点 D 的横坐标是 3，当 x=3 时，y=12x=123=4，
所以 D3,4．
所以 DE=4，把 y=0 代入 y=x+4，即 0=x+4，解得 x=−4，
所以 OA=4，
所以 AE=7．
所以 tan∠DAE=DEAE=47．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DCB=90∘，
∵△CDE 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 至 △CFG，
∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90∘．
∵DC=CF，
∴∠CDF=∠CFD=45∘，
∵∠BCM+∠DCE=∠DCN+∠DCE=90∘，
∴∠BCM=∠DCN．
∵∠CBM=12∠ABC=45∘，
∴∠CBM=∠CDN，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=CB，
在 △BCM 和 △DCN 中，
∠BCM=∠DCN,BC=DC,∠CBM=∠CDN,
∴△BCM≌△DCN，
∴BM=DN．
（2） △ABD，△BCD，△CDF，△ECG，△BDF．
25. （1） 把 y=0 代入 y=−14x2+32x+4，即 0=−14x2+32x+4，
解得：x1=8，x2=2，
∴A−2,0，B8,0，
∴OA=2，BO=8，
∴AB=10．
（2） 连接 AC，BC，
把 x=0 代入 y=−14x2+32x+4，即 y=−14×02+32×0+4=4，解得 y=4，
∴C0,4，
∴OC=4，
∵tan∠ACO=OAOC=24=12，tan∠CBO=OCOB=48=12，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACB=90∘，
∴AB 为 ⊙D 的直径，
∵AD=BD=5，
∴OD=3，
∴D3,0．
（3） ∵ 点 E 的横坐标为 10，
∴ 把 x=10 代入 y=−14x2+32x+4，y=−14×102+32×10+4=−6，
∴E10,−6，
∴ER=6，OR=10，
∴AR=12，tan∠EAR=ERAR=12，
∴∠EAR=∠ACO，
∴∠CAE=∠EAR+∠CAO=∠ACO+∠CAO=90∘，
设 AE 交 ⊙D 于点 K，连接 BK，
∵AB 为 ⊙D 直径，∠AKB=∠ACB=∠CAK=90∘，
∴ 四边形 ACBK 为矩形，
∴BK=AC，AC2=AO2+OC2，BK=AC=25，
在 Rt△BER 中，BE2=BR2+ER2=22+62=40，
∴BE=210，
∴cs∠KBE=BKBE=25210=22，
∴∠KBE=45∘，
∴∠AEB=∠AKB−∠KBE=45∘．
26. （1） 连接 BD．
∵ F 为 BC 的中点，
∴ ∠CDF=∠BDF，
∵ AB 为 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴ AC=AD，
∴ ∠ADC=∠DBA，
∴ ∠AGD=∠DBG+∠BDG，
∵ ∠ADG=∠ADE+∠EDG，
∴ ∠AGD=∠ADG．
（2） 连接 AC．
∴ AC=AD，
∵ ∠AGD=∠ADG，
∴ AG=AD，
∴ AC=AG，
∵ F 为 BC 的中点，
∴ ∠CAH=∠GAH，
∵ AH 为公共边，
AH=AH,∠CAH=∠GAH,AC=AG,
∴ △ACH≌△GAH，
∴ CH=HG．
（3） AC=AD，AE⊥CD，∠DAE=∠CAE=2∠HAE，
连接 FO，过点 F 作 FK⊥BG 于点 K．
∵ ∠FOB=2∠HAE，
∴ ∠DAE=∠FOB，
∠PAO=∠KOF,OA=OF,∠OPA=∠FKO,
∴ △OAP≌△FOK，
∴ FK=OP，
连接 FB，
∵ ∠FBA=∠ADF，
又 ∵ ∠AGD=∠ADG，∠AGD=∠FGB，
∴ ∠FBG=∠FGB，
∴ FG=FB，
∵ FK⊥BG，
∴ GK=KB，
∵ OP=FK，
∴ FK=2GK，
∵ ∠DEG=∠FKG=90∘，
∴ DE∥FK，
连接 CG 交 AF 于点 R，
∴ ∠GFK=∠CDG，
∵ EG 垂直平分 CD，
∴ CG=DG=4，
∴ ∠GCE=∠GDC，
∴ ∠GCE=∠GFK，
∵ AC=AG，∠CAH=∠GAH，CR=RG=2，
∵ ∠HCR=∠GFK，
∴ tan∠HCR=tan∠GFK，
∴ HRCR=GKFK，即 HR2=12，
∴ HR=1，
在 Rt△HCR 中，CH2=HR2+CR2=12+22=5，
∴ CH=5，
∴ HG=CH=5．
27. （1） 把 x=0 代入 y=ax2+bx+2 即 y=a×02+b×0+2=2，
∴C0,2，
∴OC=2，
∴OB=OC=2，
∴B−2,0．
∵tan∠OCA=2 即 OAOC=OA2=2，
∴OA=4，
∴A4,0．
把 B−2,0，A4,0 代入 y=ax2+bx+2 即 4a−2b+2=0,16a+4b+2=0, 解得 a=−14,b=12.
∴ 抛物线解析式是 y=−14x2+12x+2．
（2） 设 PD 交 x 轴于点 N，
∵ 点 P 的横坐标为 t，PN⊥x 轴，
∴ 点 N 的横坐标为 t，点 P 的纵坐标为 −14t2+12t+2，
∵ 点 P 在第三象限，
∴PN=14t2−12t−2，
∴AN=4−t．
∵∠DNA=∠COA=90∘，
∴DN∥OC，
∴∠ADN=∠ACO，
∴tan∠ADN=tan∠ACO=2，
∴ANDN=4−tDN=2，
∴DN=2−12t，
∴d=PD=DN+PN=2−12t+14t2−12t−2=14t2−t．
（3） 过点 C 作 CR⊥PD 于点 R，过点 Cʹ 作 CʹK⊥x 轴于点 K，
∵∠CRN=∠RNO=∠CON=90∘，
∴ 四边形 OCRN 为矩形，
∴CR=ON．
S△APC=S△APD−S△CPD=12PD⋅AN−12PD⋅CR=12PDAN−CR=12PDAN−ON=12PD⋅OA=12×14t2−t×4=12t2−2t=30,
解得 x1=10（舍去），x2=−6．
把 x=−6 代入 y=−14x2+12x+2 即 y=−14×−62+12×−6+2=−10，
∴P−6,−10，
∴PN=10，ON=6，
∴AN=PN=10，
∴∠PAN=∠APN=45∘．
∵ 将 △APC 沿 AP 折叠得 △APCʹ，△APC≌△APCʹ，
∴∠PACʹ=∠PAC 即 ∠PACʹ=∠PAN+∠CAO=45∘+∠CAO，
∴∠OACʹ=∠PAO+∠PACʹ=90∘+∠CAO，
∴∠CʹAK=180∘−∠OACʹ=90∘−∠CAO=∠ACO，
∠CʹAK=∠ACO,ACʹ=AC,∠AKCʹ=∠COA=90∘,
∴△AKCʹ≌△COA，
∴CʹK=OA=4，AK=OC=2，
∴Cʹ6,−4．
当 x=6 时，y=−14×62+12×6+2=−4，
∴ 点 Cʹ 在抛物线 y=ax2+bx+2 上．