2019-2020学年北京市海淀区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市海淀区八上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画岀来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 2019 年被称为“5G 元年”，据媒体报道，5G 网络的理论下载速度为 1.25 GB/s，这就意味着我们下载一张 2.5 M 的照片只需要 0.002 s，将 0.002 用科学记数法表示为
A. 2×10−2B. 2×10−3C. 0.2×10−2D. 0.2×10−3

3. 下列运算结果为 a6 的是
A. a3⋅a2B. a9−a3C. a23D. a18÷a3

4. 在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是
A. x2+2x+4=x+22B. x2−4=x+4x−4
C. x2−4x+4=x−22D. x2+4=x+22

5. 如图，经过直线 AB 外一点 C 作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点 K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁；
（2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E；
（3）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
（4）作直线 CF，则直线 CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为
A. △CDFB. △CDKC. △CDED. △DEF

6. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为 2a+b，则宽为
A. 12B. 1C. 12a+bD. a+b

7. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的动点（点 D 与 B，C 不重合），△ABD 和 △ACD 的面积分别表示为 S1 和 S2，下列条件不能说明 AD 是 △ABC 角平分线的是
A. BD=CDB. ∠ADB=∠ADC
C. S1=S2D. AD=12BC

8. 如图，左边为参加 2019 年国庆 70 周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与 △ABC 全等的三角形是
A. △AEGB. △ADFC. △DFGD. △CEG

9. 若 ab=−4，其中 a>b，以下分式中一定比 ba 大的是
A. 2b2aB. 2baC. −2aD. b+2a

10. 已知长方形 ABCD 可以按图示方式分成九部分，在 a，b 变化的过程中，下面说法正确的有
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形 ABCD 的周长；
②长方形 ABCD 的长宽之比可能为 2；
③当长方形 ABCD 为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形 ABCD 的周长为 60 时，它的面积可能为 100．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 请写出一个只含有字母 x 的分式，当 x=3 时分式的值为 0，你写的分式是 ．

12. 计算：2a3⋅−a4÷a2= ．

13. 如图，要测量池塘两岸相对的两点 A，B 的距离，可以在池塘外取 AB 的垂线 BF 上两点 C，D，使 BC=CD，再画出 BF 的垂线 DE，使 E 与 A，C 在一条直线上，若想知道两点 A，B 的距离，只需要测量出线段 即可．

14. 如图，已知空间站 A 与星球 B 距离为 a，信号飞船 C 在星球 B 附近沿圆形轨道行驶，B，C 之间的距离为 b．数据 S 表示飞船 C 与空间站 A 的实时距离，那么 S 的最大值是 ．

15. 平面直角坐标系 xOy 中，点 A4,3，点 B3,0，点 C5,3，点 E 在 x 轴上，当 CE=AB 时，点 E 的坐标为 ．

16. 北京大兴机场于 2019 年 9 月 25 日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往大兴机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：
出行方式途径站点路程地铁草桥—大兴新城—大兴机场全程约43公里公交北京站—蒲黄榆—榴乡桥—大兴机场全程约54公里
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为 x 公里/时，根据题意可列方程： ．

17. 如图，△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，CD⊥AD，若 ∠ABC 与 ∠ACD 互补，CD=5，则 BC 的长为 ．

18. 如图，已知 ∠MON，在边 ON 上顺次取点 P1，P3，P5，⋯，在边 OM 上顺次取点 P2，P4，P6，⋯，使得 OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5，⋯，得到等腰 △OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5，⋯．
（1）若 ∠MON=30∘，可以得到的最后一个等腰三角形是 ．
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是 △P3P4P5，则 ∠MON 的度数 α 的取值范围是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：3−π0−38÷36+13−1．

20. 因式分解：3x2−12y2．

21. 如图，已知 AB=AC，E 为 AB 上一点，ED∥AC，ED=AE．求证：BD=CD．

22. 已知 a2−2ab+b2=0，求代数式 a4a−b−2a+b2a−b 的值．

23. 如图，AB⊥AC，AB=AC，过点 B，C 分别向射线 AD 作垂线，垂足为 E，F．
（1）依题意补全图形．
（2）求证：BE=EF+FC．

24. 已知 x=a+b−2，y−2ab=a2+b2．
（1）用 x 表示 y．
（2）求代数式 x−4x⋅xy+4x+2 的值．

25. 如图所示，将两个含 30∘ 角的三角尺摆放在一起，可以证得 △ABD 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
交换命题的条件和结论，得到下面的命题：
在直角 △ABC 中，∠ACB=90∘，如果 CB=12AB，那么 ∠BAC=30∘．
请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．

26. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，例如代数式 A=x2−4x+5，若将其写成 A=x−22+1 的形式，就能看出不论字母 x 取何值，它都表示正数；若将它写成 A=x−12−2x−1+2 的形式，就能与代数式 B=x2−2x+2 建立联系，下面我们改变 x 的值，研究一下 A，B 两个代数式取值的规律：
x−2−10123B=x2−2x+2105215A=x−12−2x−1+217105
（1）完成上表．
（2）观察表格可以发现：
若 x=m 时，B=x2−2x+2=n，则 x=m+1 时，A=x2−4x+5=n．我们把这种现象称为代数式 A．
参照代数式 B 取值延后，此时延后值为 1．
①若代数式 D 参照代数式 B 取值延后，相应的延后值为 2，求代数式 D．
②已知代数式 ax2−10x+b 参照代数式 3x2−4x+c 取值延后，请直接写出 b−c 的值： ．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，点 D 是边 BC 上的动点，连接 AD，点 C 关于直线 AD 的对称点为点 E，射线 BE 与射线 AD 交于点 F．
（1）在图 1 中，依题意补全图形．
（2）记 ∠DAC=αα<45∘，求 ∠ABF 的大小（用含 α 的式子表示）．
（3）若 △ACE 是等边三角形，猜想 EF 和 BC 的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中 xOy 中，直线 l 为一、三象限角平分线．点 P 关于 y 轴对称点称为 P 的一次反射点，记作 P1；P1 关于直线 l 的对称点称为点 P 的二次反射点，记作 P2．例如，点 −2,5 的一次反射点为 2,5，二次反射点为 5,2，根据定义，回答下列问题：
（1）点 2,5 的一次反射点为 ，二次反射点为 ．
（2）当点 A 在第一象限时，点 M3,1，N3,−1，Q−1,−3 中可以是点 A 的二次反射点的是 ．
（3）若点 A 在第二象限，点 A1，A2 分别是点 A 的一次、二次反射点，△OA1A2 为等边三角形，求射线 OA 与 x 轴所夹锐角的度数．
（4）若点 A 在 y 轴左侧，点 A1，A2 分别是点 A 的一次、二次反射点，△AA1A2 是等腰直角三角形，请直接写出点 A 在平面直角坐标系 xOy 中的位置．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】0.002=2×10−3．
3. C【解析】A．a3⋅a2=a3+2=a5，故A不符合题意．
B．a9−a3，不是同类项，不能合并，故B不符合题意．
C．a23=a2×3=a6，故C符合题意．
D．a18÷a3=a18−3=a15，故D不符合题意．
4. C
5. A
6. C【解析】由左图知，总面积为：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=a+b2，
右图长为 2a+b，
则宽为 a+b22a+b=12a+b．
故选C．
7. D
8. C【解析】△ABC 中，AB=3，BC=2，AC=5．
A选项中，△AEG 中，AE=10，AG=2，EG=2，
故 △AEG 与 △ABC 不全等，故A选项错误．
B选项中，△ADF 中，AD=2，DF=3，AF=17，
故 △ADF 与 △ABC 不全等，故B选项错误．
C选项中，△DFG 中，DF=3，DG=2，FG=5，
故 △DFG 与 △ABC 全等，故C选项正确．
D选项中，△CEG 中，CE=5，CG=5，EG=2，
故 △CEG 与 △ABC 不全等，故D选项错误．
9. D【解析】因为 ab=−4，a>b，
所以 a>0>b，
所以 ba<0，
A．2b2a=ba，故A不正确．
B．2ba=2⋅ba，
因为 ba<0，
所以 2ba故B不正确．
C．−2a，
因为 a>0，
所以 −2a<0，
当 −2当 b<−2 时，−2a>ba．
故C不正确．
D．b+2a=ba+2a，
因为 a>0，
所以 2a>0，
所以 ba+2a>ba，
故D正确．
10. B
【解析】①长方形 ABCD 周长：
2AB+2BC=22a+b+22b+a=4a+2b+4b+2a=6a+6b,
圆中有四部分周长均为 2a+2b，
∴ 存在三部分周长之和等于长方形 ABCD 的周长，故①正确．
② AB=2a+b，BC=2b+a，
2b+a=22a+b，
2b+a=4a+2b，
3a=0，
∴a=0，
2a+b=22b+a，
2a+b=4b+2a，
3b=0，
∴b=0，
故不存在长方形 ABCD 长宽之比为 2．故②错误．
③若 AB=BC，
∴2a+b=2b+a，
∴a=b，
故九部分都是正方形，故③正确．
④长方形 ABCD 周长为 60，
∴22a+b+22b+a=60，
6a+6b=60，
a+b=10，
S=2a+b⋅2b+a=a+a+b⋅b+b+a=10+a⋅10+b=100+10a+10b+ab,
∵a>0，b>0，
∴S>100，故④错误．
故选B．
第二部分
11. x−3x（答案不唯一）
【解析】当 x=3 时，分子等于零，且分母不等于零即可．
12. 8a5
【解析】2a3⋅−a4÷a2=8a3⋅a4÷a2=8a7÷a2=8a5.
13. DE
【解析】∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90∘，
又 ∵BC=CD，
∠ACB=∠ECD，
∴ 在 △ABC 和 △EDC 中，
∠ACB=∠ECD,BC=DC,∠ABC=∠EDC,
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED．
14. a+b
【解析】当 ABC 共线，AC 分别在 B 两侧时，AC 长度最大，最大值为 AB+BC=a+b．
15. 4,0 或 6,0
【解析】设 E 点坐标为 a,0，
AB=4−32+3−02=1+9=10，
∵C5,3，
∴CE=5−a2+3−02=5−a2+9，
∵CE=AB，
∴5−a2+9=10，
∴5−a2=1，
∴5−a=±1，
∴a=4 或 a=6，
∴E 点坐标 4,0 或 6,0．
16. 432x=54x−12
【解析】设公交平均速度为 x 公里/时，则地铁平均速度为 2x 公里/时，
小贝坐地铁，路程为 43 公里，则时间为 432x 小时，
小京坐公交，路程为 54 公里，则时间为 54x 小时，
小贝比小京少用半小时，
则 432x=54x−12．
17. 10
【解析】延长 CD，AB 相交于点 E，
∴∠ADC=∠ADE=90∘．
又 ∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在 △AED 和 △ADC 中，
∠EAD=∠CAD,AD=AD,∠ADE=∠ACD,
∴△AED≌△ADCASA，
∴DE=CD，∠E=∠ACD．
∵CD=5，
∴CE=ED+CD=10．
∵∠ABC+∠ACD=180∘，∠ABC+∠EBC=180∘，
∴∠EBC=∠ACD．
又 ∵∠E=∠ACD，
∴∠EBC=∠E，
∴CB=CE，
∴BC=10．
18. 等边三角形，18∘≤α<22.5∘
【解析】（1）∵P1O=P1P2=P2P3，
∴∠P1OP2=∠P1P2O=30∘，
∴∠P2P1P3=∠P2P3O=2∠P1OP2=60∘，
∵∠P1OP3+∠P2P3O=90∘，
∴P2P3⊥OM，
∴ 得到最后一个等腰三角形是 △P1P2P3，
∵∠P2P1P3=∠P2P3P1=60∘，
∴△P1P2P3 是等边三角形．
（2）由题可知，∠P2P1P3=∠P2P3O=2α，
∠P3P4P2=∠P3P2P4=∠P2OP3+∠P2P3O=3α，
∴∠P4P3P5=∠P4P5P3=∠P3OP4+∠P3P4P2=4α，
∴∠P5P4M=∠MON+∠P4P5O=5α，
∴4α<90∘,5α≥90∘, 解得 18∘≤α<22.5∘，
∴∠MON 的度数 α 的取值范围是 18∘≤α<22.5∘．
第三部分
19. 3−π0−38÷36+13−1=1−38−6+3=1−32+3=1−9+3=−5.
20. 3x2−12y2=xx2−4y2=3x+2yx−2y.
21. ∵ED∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵ED=AE，
∴∠EDA=∠EAD，
∴∠EAD=∠DAC，
又 ∵AB=AC，
∴ 在 △BAD 和 △CAD 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△BAD≌△CADSAS，
∴BD=CD．
22. a4a−b−2a+b2a−b=4a2−ab−4a2−b2=4a2−ab−4a2+b2=b2−ab=bb−a.
因为 a2−2ab+b2=0，
所以 a−b2=0，
所以 a−b=0，
所以 a=b，
所以 原式=bb−b=0．
23. （1）
（2） ∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA=90∘，
∴∠B+∠1=90∘，
∴∠B=∠2，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=90∘，
∴∠C+∠2=90∘，
∴∠C=∠1，
又 ∵AB=AC，
在 △ABE 和 △CAF 中，
∠B=∠2,AB=CA,∠1=∠C,
∴△ABE≌△CAFASA，
∴BE=AF，AE=CF，
∵AF=AE+EF，
∴AF=CF+EF，
∴BE=EF+FC．
24. （1） y−2ab=a2+b2．
y=a2+2ab+b2=a+b2．
x=a+b−2．
x+2=a+b．
∴y=x+22=x2+4x+4．
（2） x−4x⋅xy+4x+2=x2x−4x⋅xx2+4x+4+4x+2=x2−4x⋅xx+22+4x+2=x+2x−2x⋅xx+22+4x+2=x−2x+2+4x+2=x−2+4x+2=x+2x+2=1.
25. 真命题．
延长 BC 到 D，使 BC=CD．
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠ACD=90∘．
在 △ACB 和 △ACD 中，
AC=AC,∠ACB=∠ACD,CB=CD,
∴△ACB≌△ACDSAS，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．
∵CB=12AB，
∴BD=BC+CD=2BC=AB，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠BAD=60∘．
又 ∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=12∠BAD=30∘．
26. （1） 填表如下：
x−2−10123B=x2−2x+21052125A=x−12−2x−1+217105212
【解析】当 x=1 时，A=0−0+2=2；
当 x=2 时，B=22−2×2+2=2，A=2−12−2×2−1+2=1−2+2=1；
当 x=3 时，A=3−12−2×3−1+2=4−4+2=2．
（2） ① B=x2−2x+2．
∵ 代数式 D 参照代数式 B 取值延后，相应的延后值为 2，
∴D=x−22−2x−2+2=x2−4x+4−2x+4+2=x2−6x+10．
② 7
【解析】3x2−4x+c=3x2−43x+c=3x−232−43+c．
∵ax2−10x+b 参照 3x2−4x+c 取值延后．
∴a=3，
∴3x2−10x+b=3x2−103x+b=3x−532−253+b，
∴−43+c=−253+b，
253−43=b−c，
b−c=7．
27. （1） 如图所示：
（2） ∵ 点 C 关于直线 AD 的对称点为点 E，
∴AC=AE，∠CAD=∠EAD．
∵AB=AC，
∴AB=AE．
∵∠BAC=90∘，∠DAC=α，
∴∠BAE=90∘−2α，
∴∠ABF=∠AEB=180∘−∠BAE2=45∘+α．
（3） ∵△ACE 是等边三角形，点 C 与点 E 关于直线 AD 对称，
∴AD 平分 ∠EAC，AD⊥CE，
∴∠EAD=∠CAD=30∘，
∴∠BAE=∠BAC−2∠EAD=30∘，
∴∠ABE=∠AEB=75∘，
∴∠F=∠AEB−∠EAD=45∘．
设 AF 与 CE 交于点 N．
∵AD⊥CE 于 N，
∴∠ENF=90∘，
∴∠NEF=∠F，
∴EN=NF．
设 EN=a，则 EF=2a，
∴AE=AC=AB=2EN=2a，
∴BC=22a，
∴EFBC=12，即 EF=12BC．
28. （1） −2,5；5,−2
【解析】2,5 关于 y 轴的对称点为 −2,5，
作 P1−2,5 关于直线 l 的对称点 P2，P1P2 交 l 于 Q，
∴P1P2⊥l，P1P2 的中点 Q 在直线 l 上，
设 Qx,y，
∴kP1Q=−1，即 x=y,5−y−2−x=−1, 解得：x=32,y=32,
∵Q 是 P1P2 的中点，
∴−2+xP22=32,5+yP22=32, 解得：xP2=5,yP2=−2.
∴P25,−2．
（2） 3,−1
【解析】∵ 点 A 在第一象限，
∴ 点 A 的一次反射点在第二象限，点 A 的二次反射点在第四象限．
∴N3,−1 可以是点 A 的二次反射点．
（3） ∵△OA1A2 是等边三角形，
∴∠A1OA2=60∘，
∴∠A1OC=30∘，
∵∠COD=45∘，
∴∠DOA1=15∘，
∴∠DOA=∠A1OD=15∘，
∴OA 与 x 轴所夹锐角度数为 90∘−15∘=75∘．
同理，当 A 更靠近 x 轴时，即 A1 在直线 l 下方时，
同理可得 OA 与 x 轴所夹锐角度数为 15∘．
（4） 点 A 在直线 y=x 或 y=0 上．
【解析】设 Ax,y，则 A1−x,y，A2y,−x，x>0，
∴kAA1=0，kAA2=−x−yy−x=x+yx−y，kA1A2=−x−yy+x=−1，
AA1=2x，
AA2=−x−y2+y−x2=x+y2+x−y2=2x2+2y2，
A1A2=x+y2+x+y2=2x+y．
①当 AA1⊥AA2 时，x−y=0，即 x=y，
且 AA1=AA2，即 2x=2x2+2y2，
即 x=y,2x=2x2+2y2,x>0, 解得 x=y，
即直线 y=x 上的点均满足题意．
②当 AA1⊥A1A2 时，不存在．
③当 AA2⊥A1A2 时，kAA2=x+yx−y=1，
且 AA2=A1A2，即 2x2+2y2=2x+y，
即 x+yx−y=1,2x2+2y2=2x2+2y2+4xy,x>0,
解得 y=0，即不在第二象限．
综上，点 A 在直线 y=x 或 y=0 上．