2019-2020学年南京市鼓楼区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年南京市鼓楼区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 一元二次方程 x2−x−2=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根

2. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是
A. y=2x−1B. y=−1xC. y=x−x2D. y=1x2+x

3. 一组数据 1，3，5，8，x 的中位数是 5，则下列 x 的取值中，满足条件的是
A. 2B. 3C. 4D. 6

4. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，连接 CD，BE 交于点 O，且 DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则 AB 的长为
A. 4B. 6C. 8D. 9

5. 如图，A，B，C 是 ⊙O 上的三个点，若 ∠C=28∘，则 ∠OBA 的度数为
A. 28∘B. 56∘C. 57∘D. 62∘

6. 如图，反比例函数 y1=1x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 A，B，C 三个点，则函数 y=ax2+bx−1x+c 的图象与 x 轴交点的个数是 个．
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 已知 2a+3ba+2b=125，则 ab= ．

8. 二次函数 y=−x2+3x 图象的对称轴是 ．

9. 线段 AB 长 10 cm，点 P 在线段 AB 上，且满足 BPAP=APAB，那么 AP 的长为 cm．

10. 某公司 2016 年 10 月份营业额为 60 万元，12 月份营业额达到 100 万元，设该公司 11，12 两个月营业额的月平均增长率为 x，则可列方程为 ．

11. 已知 ⊙A 的直径是 8，点 A 的坐标是 3,4，那么坐标原点 O 在 ⊙A 的 （填“圆内”、“圆上”或“圆外”）．

12. 已知圆锥的底面半径是 3 cm，母线长是 5 cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留 π）

13. 如图 1 是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为 240∘，它的喷灌区是如图 2 所示的扇形．如果 A，B 两点的距离为 18 m，那么这种装置能够喷灌的草坪面积为 m2．

14. 如图，在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=6，AD⊥BC，垂足为 D，则 BD 的长为 ．

15. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，图象过点 A3,0，对称轴为直线 x=1，给出以下结论：① abc<0；② b2−4ac>0；③ a−b+c=0；④若 Bm2+1,y1，Cm2+2,y2 为函数图象上的两点，则 y1
16. 如图，△ABC 中，AB=17，AC=10，BC=21，则 △ABC 的外接圆 ⊙O 的半径的长为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 解方程：
（1）2x2+5x=4；
（2）2x−22=x−2．

18. 初二某班体育老师对A，B两组各 10 名男生“立定跳远”项目进行了检测，两组成绩（满分 13 分）如下：
A13111012111313121312B1213131311136131313
（1）分别计算两组的平均成绩；
（2）哪个组成绩比较整齐?

19. （1）如图 1，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ADAB=AEAC．求证：△ADE∽△ABC；
（2）将矩形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成图 2，若矩形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 cm2，则阴影部分面积总和是 cm2．

20. 甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行 3 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假设甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同．
（1）甲 3 局全胜的概率是 ；
（2）如果甲队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少?（请用“画树状图”或“列表”方法写出解答过程）

21. 已知关于 x 的方程 k2−1x2+2k+1x+1=0．
（1）若方程有实数根，求 k 的取值范围；
（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求 k 的值，并求此时方程的根．

22. 如图，图中小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 是关于点 G 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
（1）画出位似中心点 G；
（2）若点 A，B 在平面直角坐标系中的坐标分别为 −2,1，1,3，Pm,n 是线段 AC 上任意一点，则点 P 在 △AʹBʹCʹ 上的对应点 Pʹ 的坐标为 ．

23. 如图，一块长方形铁皮的长是宽的 2 倍，四个角各截去一个正方形，制成高是 5 cm，容积是 500 cm3 的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

24. 已知：如图，△ABC 的中线 BD，CE 交于点 O．
（1）求证：ODOB=12；
（2）求证：△ABC 的三条中线交于一点．

25. 已知二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象可以由二次函数 y2=−2x2 的图象平移得到且经过点 2,−10 和 0,6．
（1）求二次函数 y1 的表达式，并写出此函数图象顶点 D 的坐标；
（2）求二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标；
（3）若 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则写出 k 的取值范围为 ；
（4）若 m≤x≤m+4 时，−10≤y1≤8，则 m 的值为 ．

26. 为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为 30 元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价 40 元时，每天能出售 500 盒，并且售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 180%．
（1）求每天销售利润 y（元）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；
（2）如果超市想要每天获得利润不少于 8000 元，求售价的范围．

27. 如图，已知 ⊙O 过边长为 4 的正方形 ABCD 顶点 A，B．
（1）若 ⊙O 与边 CD 相切；
①请用直尺和圆规作出 ⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
②求 ⊙O 的半径．
（2）过点 O 作 MN⊥AB，分别交 AB，CD 于点 M，N，⊙O 与边 AD 交于点 E，与线段 MN 交于点 F，连接 EN，AF，当 △DEN 与 △AFM 相似时，画出图形，并在图形下方直接写出 ⊙O 的半径长．
（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）
答案
第一部分
1. A【解析】Δ=−12−4×1×−2=9>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
2. C
3. D
4. B
5. D
6. D【解析】当 y1=y2 时，得 1x=ax2+bx+c，即 ax2+bx−1x+c=0，
因为方程的解即反比例函数 y1=1x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象交点的横坐标，反比例函数 y1=1x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 A，B，C 三个点，
所以函数 y=ax2+bx−1x+c 的图象与 x 轴交点即是 ax2+bx−1x+c=0 的解，
所以函数 y=ax2+bx−1x+c 的图象与 x 轴交点的个数是 3 个．
第二部分
7. −92
8. 直线 x=32
【解析】∵y=−x2+3x=−x−322+94，
∴ 抛物线对称轴为直线 x=32．
9. 55−5
10. 601+x2=100
11. 圆外
【解析】d=8，r=4，OA=32+42=5>4．
12. 15π
【解析】底面圆的半径为 3，则底面周长 =6π，侧面面积 =12×6π×5=15πcm2．
13. 72π
【解析】过点 O 作 OC⊥AB 于 C 点．
∵OC⊥AB，AB=18，
∴AC=12AB=12×18=9，
∵OA=OB，∠AOB=360∘−240∘=120∘，
∴∠AOC=12∠AOB=12×120∘=60∘．
∴OC=12OA，
在 Rt△OAC 中，OA2=OC2+AC2，
∴r=OA=63．
∴S=240360πr2=72πm2．
14. 32
15. ①②③⑤
16. 858
【解析】作 AE⊥BC 于 E，
∴AB2−BE2=AC2−EC2，
设 EC=x，
∴172−21−x2=102−x2，
解得 x=6，
∴EC=6，
∴AE=AC2−EC2=8，
作直径 AD，连接 BD，
∴∠ABD=90∘，
∵∠D=∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴ADAC=ABAE，
即 AD10=178，
∴AD=1708，
∴⊙O 的半径的长为：858．
第三部分
17. （1）
2x2+5x−4=0,∵a=2,b=5,c=−4,b2−4ac=25−4×2×−4=57>0,∴x=−5±574,∴x1=−5+574,x2=−5−574.
（2）
2x−22−x−2=0,x−22x−4−1=0,x−22x−5=0,∴x1=2,x2=52.
18. （1） x甲=13+11+10+12+11+13+13+12+13+1210=12，
x乙=12+13+13+13+11+13+6+13+13+1310=12，
∴ 甲、乙两组的平均成绩都为 12 分．
（2） s甲2=11013−122+11−122+10−122+12−122+11−122+13−122+13−122+12−122+13−122+12−122=1,
s乙2=11012−122+13−122+13−122+13−122+11−122+13−122+6−122+13−122+13−122+13−122=4.4,
∵s甲2 ∴ 甲组成绩比较整齐．
19. （1） ∵ADAB=AEAC，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2） 14
【解析】设矩形 ABCD 的面积为 S cm2，
由题意 136S+14−19S+2536−1636S=10，
解得 S=24，
24−10=14cm2，
∴ 阴影部分面积总和是 14 cm2．
20. （1） 18
（2）
∴ 第 2，3 局共有 4 种等可能的结果：（胜，胜），（胜，负），（负，胜），（负，负），其中甲获胜的结果有 3 种，
P （甲最终获胜）= 34．
21. （1） ①当 k2−1=0 时，k=±1，k=1 时，方程为 3x+1=0，x=−13，k=−1 时，方程为 −x+1=0，x=1；
②当 k2−1≠0 时，2k+12−4k2−1≥0，解得 k≥−54；
∴k≥−54 且 k≠±1，
综上，k≥−54 时，方程有实数根．
（2） 设方程的两根为 x1，x2，
∵ 方程有两个互为相反数的实数根，
∴x1+x2=0，即 −2k+1k2−1=0，
∴k=−12，
当 k=−12 时，方程为 −34x2+1=0．
解得：x1=233，x2=−233．
∴k=−12 时，方程有两个互为相反数的实数根，此时方程的根为 x1=233，x2=−233．
22. （1） 如图，点 G 即为所求点．
（2） 2m−4,2n−1
【解析】因为 A−2,1 对应点坐标为 Aʹ−2×2−4,1×2−1，即 −8,1，B1,3 的对应点坐标为 1×2−4,2×3−1，即 −2,5，
所以 Pm,n 的对应点 Pʹ 的坐标为 2m−4,2n−1．
23. 设铁皮的宽为 x，则长为 2x，
所以
2x−2×5x−2×5×5=500,
化简得：
x2−15x=0,
则
x1=15,x2=0舍去.
所以宽为 15 cm，长为 30 cm．
24. （1） 如图 1，连接 DE，
∵BD，CE 是 △ABC 的两条中线，
∴D，E 分别是 AC，AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO=∠CBO，∠DEO=∠BCO，
∴△DOE∽△BOC，
∴ODOB=DEBC=12．
（2） 如图 2，连接 DE，连接 AO 并延长交 BC 于点 F，
由（1）可得，DE∥BC，△DOE∽△BOC，
∴OEOC=DEBC=12，
∵DE∥BC，
∴∠EGO=∠CFO，∠GEO=∠FCO，
∴△GOE∽△FOC，
∴EGCF=OEOC=12，
∵DE∥BC，
∴△AEG∽△ABF，
∴EGBF=AEAB=12，
∴EGCF=EGBF=12，
∴BF=CF，
∴AF 是 BC 边上的中线，
∴AF，BD，CE 三条中线交于点 O，即 △ABC 的三条中线交于一点．
25. （1） ∵ 二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象可以由二次函数 y2=−2x2 的图象平移得到，
∴a=−2，
将 2,−10 和 0,6 代入 y1=ax2+bx+c 得 −8+2b+c=−10,c=6, 解得：b=−4,c=6,
∴y1=−2x2−4x+6；D 点的坐标为 −1,8．
（2） 令 y=0，则 −2x2−4x+6=0，解得：x1=1，x2=−3，
∴ 二次函数 y1=−2x2−4x+6 的图象与 x 轴交点坐标为 1,0，−3,0；
（3） k<8
【解析】∵−2x2−4x+6=k 有两个不相等的实数根，
∴Δ=−42−4×−2×6−k>0，
∴k<8；
（4） −4 或 −2
【解析】∵−10≤y1≤8，
∴−10≤−2x2−4x+6≤8，
当 −10≤−2x2−4x+6 时，解得：−4≤x≤2，
∵m≤x≤m+4，
∴m=−4，或 m=−2，
当 −2x2−4x+6≤8 时，x 可取任意值，
∴m=−4，或 m=−2．
26. （1） 根据题意，得
y=x−30500−10x−40=−10x2+1200x−27000,
配方得，
y=−10x−602+9000.∵
a=−10<0，
∴ x<60 时，y 随 x 的增大而增大，由该品牌粽子售价不能超过进价的 180% 得，x≤30×180%，即 x≤54，
∴ 当 x=54 时，y 有最大值，此时 y=−10×54−602+9000=8640．
∴ 当售价为每盒 54 元时，获得最大利润为 8640 元．
（2） 令 y=8000，得
−10x−602+9000=8000,
解得，
x1=50,x2=70,∴
当 50≤x≤70 时，y≥8000．
又 ∵ x≤54，
∴ 当 50≤x≤54 时，y≥8000．
即超市想要每天获得利润不少于 8000 元，售价的范围是不超过 54 元，不少于 50 元．
27. （1） ①如图 1，⊙O 就是所求作的圆．
②如图 2，设 ⊙O 与 AD，DC 分别交于点 E，F，FO 的延长线交 AB 于点 M，设 OA=x，
由作图，易得 AM=2，OF=x，OM=4−x，
在 Rt△AMO 中，∠AMO=90∘，OA2=OM2+AM2，
∴x2=22+4−x2，解得 x=2.5，
∴⊙O 的半径为 2.5．
（2）
r=33−12

r=2.5