2019_2020学年苏州市吴江区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年苏州市吴江区九上期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. sin30∘ 的值是
A. 0B. 12C. 22D. 32

2. 下列说法正确的是
A. 长度相等的弧是等弧B. 三点确定一个圆
C. 圆周角是圆心角的一半D. 直径所对的圆周角是直角

3. 关于二次函数 y=2x2−1，说法正确的是
A. 有最大值 −1B. 有最大值 2C. 有最小值 −1D. 有最小值 2

4. 方程 2x2−x−1=0 的两根之和是
A. −2B. −1C. −12D. 12

5. 已知一条圆弧所在圆的半径为 24，所对的圆心角为 60∘，则这条弧长为
A. 4B. 4πC. 8D. 8π

6. 设 tan69.83∘=a，则 tan20.17∘ 用 a 可表示为
A. −aB. 1aC. a3D. a

7. 一种药品经过两次降价，药价从每盒 60 元下调至每盒 48.6 元，则平均每次降价的百分率是
A. 1%B. 10%C. 1.9%D. 19%

8. 已知一元二次方程 x2+2x−5=0 的两根分别为 x1，x2x1A. −4B. −3C. 1D. 2

9. 如图，点 B 在线段 AC 上，且 BCAB=ABAC，设 AC=1，则 AB 的长是
A. 5−12B. 5+12C. 3−52D. 3+52

10. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，EC∥AB，EB∥DC，若 △ABE 的面积为 3，△ECD 的面积为 1，则 △BCE 的面积是
A. 2B. 32C. 3D. 2

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．

12. 满足 tanα=1 的锐角 α 的度数是 ．

13. 把二次函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位，所得的图象函数表达式是 ．

14. 己知 x3=y5，且 x+y=24，则 x−y 的值是 ．

15. 关于 x 的 一元二次方程 ax2=bab>0 的两个根分别是 x=m+3 和 x=−1，则 ba= ．

16. 若一个圆的内接正六边形的面积是 243，则这个圆的周长是 ．

17. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，点 D 在 ⊙O 上，且 CD=OA，CD 的延长线交 ⊙O 于点 E，若 ∠C=20∘，则 ∠BOE= ．

18. 如图，P 是线段 AB 上异于端点的动点，且 AB=6，分别以 AP，BP 为边，在 AB 的同侧作等边 △APM 和等边 △BPN，则 △MNP 外接圆半径的最小值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 解方程：x2−2x=8．

20. 计算：cs60∘−2+4cs30∘−tan60∘．

21. 己知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 −1,0 和 3,0．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点，并指出抛物线的开口方向和对称轴．

22. 如图，已知扇形 AOB 的圆心角为 90∘，面积为 16π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，试求这个圆锥形筒的高 OH．（注：结果保留根号或 π．）

23. 如图，在 △ABC 中，AB=20，BC=12，D 是 AC 上一点，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于 E，作 DF∥AB 交 BC 于 F，已知四边形 BEDF 为菱形．
（1）求菱形的边长；
（2）求菱形 BEDF 的面积与 △ABC 的面积之比．

24. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2−2m+1x+m2+5=0 的两个不相等的实数根．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 x1−1x2−1=7，求实数 m 的值；
（3）已知等腰 △ABC 的一边长为 7，若 x1，x2 恰好是 △ABC 的另外两边长，求这个三角形的周长．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=36∘，BD 是 △ABC 的平分线．
（1）求证：△ABC∽△BDC；
（2）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点．

26. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图 1），水面宽 6 m 时，水面离桥孔顶部 3 m，因降暴雨水面上升 1 m．（注：结果保留根号）
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的部分高为 0.5 m，宽 4 m（横断面如图 2 所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?

27. 如图，点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，且 AD=BC，E 是 AB 延长线上一点，且 BE=AB，F 是 EC 的中点．
（1）探索 BF 与 BD 之间的数量关系，并说明理由；
（2）设 G 是 BD 的中点，在 ⊙O 上是否存在点 P（点 B 除外），使得 PG=PF?试证明．

28. 抛物线 C0 的顶点为原点 O，且过点 G2,1．如图，过点 P0,2 分别作两条直线，l1:y=k1x+2 和 l2:y=k2x+2（其中 k1⋅k2≠0），两直线分别与抛物线、 x 轴相交于点 A，B，E 和 D，C，F，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点．
（1）求抛物线 C0 的方程；
（2）若 l1⊥l2，试分别用 k1，k2 表示 E，F 的坐标，并据此探究 k1，k2 满足的等量关系；
（3）若 k1+k2=0，且 AP=2PB，求线段 MN 的长．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. D
5. D
6. B
7. B
8. A
9. A
10. C
第二部分
11. 圆心
12. 45∘
13. y=2x−12
14. −6
15. 1
16. 8π
17. 60∘
18. 3
第三部分
19.
x2−2x−8=0.x−4x+2=0.x−4=0或x+2=0.x1=4,x2=−2.
20. 原式=12−2+4×32−3=4+23−3=4+3.
21. （1） 把 −1,0，3,0 分别代入 y=x2+bx+c 得 1−b+c=0,9+3b+c=0.
解得 b=−2,c=−3.
故抛物线的函数表达式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵ y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线顶点为 1,−4，开口向上，对称轴为直线 x=1．
22. （1） 设扇形的半径为 R，则 πR2×90360=16π，即 R=8．
故扇形的弧长 l=90×π×8180=4π．
（2） 设卷成的圆锥形筒底面半径为 r，则 2πr=l，即 r=2．
由勾股定理得圆锥形筒的高 OH=R2−r2=60=215．
23. （1） 设菱形的边长为 x，则 AE=20−x，
因为 DE∥BC，
所以 ∠AED=∠ABC．
又因为 ∠A=∠A，
所以 △AED∽△ABC．
所以 AEAB=EDBC，即 20−x20=x12，解得 x=152．
故菱形的边长为 152．
（2） 由（1）得：S△AEDS△ABC=EDBC2=2564，
同理：S△CDFS△CBA=DFAB2=964，
所以菱形 BEDF 的面积与 △ABC 的面积之比为 1−2564−964=1532．
24. （1） Δ=4m+12−4m2+5>0，
解得 m>2．
（2） 由一元二次方程根与系数的关系得 x1+x2=2m+1，x1x2=m2+5．
由 x1−1x2−1=7，得：x1x2−x1+x2=6，
故 m2+5−2m+1=6，解得 m1=3，m2=−1．
由（1）知，当 m=−1 时，方程无实根，
∴ 舍去，
∴m=3．
（3） 由题意，
∵x1≠x2，故只能 x1=7 或 x2=7，
即 x=7 是方程的一个根，
把 x=7 代入得：49−14m+1+m2+5=0，解得 m1=4，m2=10．
当 m=4 时，方程另一个根为 x=3，此时三角形的三边分别为 7，7，3，周长为 17．
当 m=10 时，方程另一个根为 x=15，此时构不成三角形．
故三角形的周长为 17．
25. （1） 在 △ABC 中，因为 AB=AC，∠A=36∘，
所以 ∠ABC=72∘．
因为 BD 是 ∠ABC 的平分线，
所以 ∠CBD=∠ABD=12∠ABC=36∘．
因为 ∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，
所以 △ABC∽△BDC．
（2） 由（1）得：CDBC=BCAC．
在 △ABD 中，由 ∠A=∠ABD，得 AD=BD，
在 △BCD 中，由 ∠BDC=∠C=72∘，得 BD=BC=AD，
所以 CDAD=ADAC，
所以点 D 是 AC 的黄金分割点．
26. （1） 如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 x 轴，建立平面直角坐标系．
易知抛物线过点 3,−3，
设抛物线的函数表达式为：y=ax2．
把 3,−3 代入 y=ax2，可求 a=−13，
则抛物线对应的函数表达式为 y=−13x2．
当水面上涨 1 米后，水面所在的位置为直线 y=−2，
令 y=−2 得，x1=6，x2=−6，即水面宽为 26 米．
（2） 当船在桥拱的正中心航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 2 米．
在抛物线的函数关系中，令 x=2 得，y=−43，
因为船上货物最高点距拱顶为 2−0.5=1.5（米）且 −43<1.5，
所以这艘船能从这座拱桥下通过．
27. （1） BF=12BD．
如图 1，连接 AC，
则 BF 是 △EAC 的中位线，得 BF=12AC．
由 AD=BC 得 BD=AC，即 BD=AC，
即 BF=12BD．
（2） 存在点 P 使 PG=PF .
如图 2，过点 B 作 BP⊥AE 交 ⊙O 于点 P，连接 PG，PF．
由（1）得 BG=BF．
由 AD=BC 得 ∠BAC=∠ABD，
又 ∠BAC=∠EBF，
故 ∠EBF=∠ABD．
由 BP⊥AE 得：∠ABP=∠EBP=90∘，
∴∠PBG=∠PBF．
在 △PBG 和 △PBF 中，
PB=PB,∠PBG=∠PBF,BG=BF.
∴△PBG≌△PBF，
从而 PG=PF，即存在点 P 符合条件．
28. （1） 设抛物线的方程为 y=ax2．
把 G2,1 代入得：a=14，故抛物线 C0 的方程为 y=14x2．
（2） 在 y=k1x+2 中，令 y=0 得，x=−2k1，故 E−2k1,0，同理 F−2k2,0．
由 ∠FPE=90∘，得 ∠FPO+∠OPE=90∘，
又 OP⊥EF，故 ∠OEP+∠OPE=90∘，
故 ∠FPO=∠OEP，又 ∠FOP=∠POE=90∘，故 △FOP∽△POE．
所以 FOOP=OPOE，
即 OP2=OE⋅OF．
不妨设 k1<0，则 k2>0，故 22=−2k1⋅2k2，所以 k1⋅k2=−1．
（3） 不妨设 k1<0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 AP=2PB 可得 x1=−2x2, ⋯⋯①
又点 A，B 分别在抛物线和直线 l1 上，所以联立得 y=14x2,y=k1x+2, 即：14x2=k1x+2，化简得 x2−4k1x−8=0，由此得：x1x2=−8, ⋯⋯②
由 ①② 得：x1=−4，x2=2，故 M 点横坐标为 −1．
由 k1+k2=0 知 l1，l2 关于 y 轴对称，
故 MN⊥y 轴．所以线段 MN 的长为 2．