2019_2020学年苏州市太仓市九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年苏州市太仓市九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列点中，一定在二次函数 y=x2−1 图象上的是
A. 0,0B. 1,1C. 1,0D. 0,1

2. 如图，在 △ABC 中，∠B=90∘，AB=1，BC=2，则 sinA=
A. 52B. 12C. 255D. 55

3. 函数 y=2x+1x−3 的对称轴是直线
A. x=1B. x=−1C. x=−3D. x=3

4. 一个扇形的圆心角是 120∘，面积为 3π cm2，那么这个扇形的半径是
A. 1 cmB. 3 cmC. 6 cmD. 9 cm

5. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，∠CAB=30∘，则 csD 的值为
A. 12B. 22C. 32D. 3

6. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 A1,0，B0,−3，且对称轴为直线 x=2，则这条抛物线的顶点坐标为
A. 2,3B. 2,1C. −2,1D. 2,−1

7. 某市 2015 年国内生产总值（GDP）比 2014 年增长了 12%，预计 2016 年比 2015 年增长 7%，若这两年 GDP 年平均增长率为 x%，则 x% 满足的关系是
A. 12%+7%=x%B. 1+12%1+7%=21+x%
C. 12%+7%=2x%D. 1+12%1+7%=1+x%2

8. 在 △ABC 中，∠C=90∘，a，b 分别是 ∠A，∠B 的对边，a2−ab−b2=0，则 tanA=
A. 1+52B. 1−52C. 1±52D. 1

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙P 的圆心是 2,aa>0，半径是 2，与 y 轴相切于点 C，直线 y=x 被 ⊙P 截得的弦 AB 的长为 23，则 a 的值是
A. 22B. 2+2C. 23D. 2+3

10. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，顶点坐标为 1,n，与 y 轴的交点在 0,2 和 0,3 之间（不包括端点）．有下列结论：①当 x>3 时，y<0；② n=c−a；③ 3a+b>0；④ −1A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共8小题；共40分）
11. cs30∘= ．

12. 方程 x2−3=0 的解是 ．

13. 函数 y=x2+3x+1 的顶点坐标是 ．

14. 如图，PA，PB 切 ⊙O 于 A，B 两点，若 ∠APB=60∘，⊙O 的半径为 3，则阴影部分的面积为 ．

15. 已知二次函数 y=x2+2x+k−3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ．

16. 如图，在 Rt△AOB 中，OA=OB=32，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作 ⊙O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 ．

17. 已知实数 a，b，c 满足：a2+b2+c2=ab+bc+ca，且 2a+3b−4c=2，则 a+b+c= ．

18. 当 x≤1 时，二次函数 y=−x−m2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：sin245∘−27+12×3−20160+6tan30∘．

20. 解方程：1x+22x−3=1．

21. 如图，已知在 ⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 M．
（1）求证：AM⋅MB=CM⋅MD；
（2）若 M 为 CD 中点，且 ⊙O 的半径为 3，OM=2，求 AM⋅MB 的值．

22. 如图，二次函数 y=23x2−13x 的图象过 △ABO 三个顶点，其中 A−1,m，Bn,n．求：
（1）求 A，B 坐标；
（2）求 △AOB 的面积．

23. 如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为 10,0，点 B 在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=35．
（1）求：点 B 的坐标；
（2）cs∠BAO 的值．

24. 已知关于 x 的方程 x2+m−3x−m2m−3=0．
（1）证明：无论 m 为何值方程都有两个实数根；
（2）是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 26?若存在，求出满足条件的正数 m 的值；若不存在，请说明理由．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AD=1，OA=2，求 CD 的值．

26. 如图，△ABC 为一个直角三角形的空地，∠C 为直角，AC 边长为 3 百米，BC 边长为 4 百米，现决定在空地内修一条笔直的路 EF（宽度不计），E 为 BC 的中点，F 为 △ABC 边上的一点，且 EF 将该空地分成一个四边形和一个三角形，若分成的四边形和三角形周长相等，求此时小路 EF 的长度．

27. 如图，半圆 O 的直径 MN=6 cm，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=6 cm，半圆 O 以 1 cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 M，N 始终在直线 BC 上，设运动时间为 t s，当 t=0 时，半圆 O 在 △ABC 的左侧，OC=4 cm．
（1）当 t 为何值时，△ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切?
（2）当 △ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在圆相切时，如果半圆 O 与直线 MN 围成的区域与 △ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

28. 如图，⊙E 是 △ABC 的外接圆，∠BAC=45∘，AO⊥BC 于 O，且 BO=2，CO=3，分别以 BC，AO 所在直线建立 x 轴、 y 轴．
（1）求 △ABC 的外接圆直径；
（2）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；
（3）设 P 是（2）中抛物线上的一个动点，且 △AOP 为直角三角形，则这样的点 P 有几个?（只需写出个数，无需解答过程）
答案
第一部分
1. C
2. C
3. A
4. B【解析】设扇形的半径为 R，由题意：3π=120π⋅R2360，
解得 R=±3，
∵ R>0，
∴ R=3 cm，
∴ 这个扇形的半径为 3 cm．
5. A
6. B
7. D
8. A
9. B
10. C
第二部分
11. 32
12. x1=3，x2=−3
13. −32,−54
14. 93−3π
【解析】
阴影部分的面积等于 2S△OAP−S扇形OAB．
15. k≤4
16. 22
17. 6
18. 2 或 −3
第三部分
19. sin245∘−27+12×3−20160+6tan30∘=12−33+12×1+6×33=12−33+12+23=1−3.
20.
2x−3+2x=2x2−3x,2x2−7x+3=0,2x−1x−3=0,
解得：
x1=12,x2=3,
经检验 x1=12 与 x2=3 都是分式方程的解．
21. （1） 连接 AD，BC．如图 1，
∵∠A=∠C，∠D=∠B，
∴△ADM∽△CBM，
∴AMCM=DMBM，
∴AM⋅MB=CM⋅MD．
（2） 连接 OM，OC．如图 2，
∵M 为 CD 中点，
∴OM⊥CD，
在 Rt△OMC 中，
∵OC=3，OM=2，
∴DM=CM=OC2−OM2=32−22=5．
由（1）知 AM⋅MB=CM⋅MD．
∴AM⋅MB=5×5=5．
22. （1） 把 A−1,m 代入 y=23x2−13x 得 m=23+13=1，则 A−1,1，
把 Bn,n 代入 y=23x2−13x 得 23n2−13n=n，解得 n1=0（舍去），n2=2，则 B2,2．
（2） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
把 A−1,1，B2,2 代入得 −k+b=1,2k+b=2, 解得 k=13,b=43,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=13x+43，
设直线 AB 交 y 轴于点 C，如图，
当 x=0 时，y=13x+43=43，则 C 点坐标为 0,43．
∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×43×1+2=2．
23. （1） 过点 B 作 BH⊥OA 于点 H．
∵sin∠BOA=35，BO=5，
∴BH=3，OH=4．
B4,3
（2） ∵AH=OA−OH=6，
∴AB=BH2+AH2=35．
∴cs∠BAO=AHAB=255．
24. （1） ∵ 关于 x 的方程 x2+m−3x−m2m−3=0 的判别式 Δ=m−32+4m2m−3=9m−12≥0，
∴ 无论 m 为何值方程都有两个实数根．
（2） 存在．理由如下：
设方程的两个实数根为 x1，x2，
则 x1+x2=−m−3，x1×x2=−m2m−3，
令 x12+x22=26，
得：x1+x22−2x1x2=m−32+2m2m−3=26，
整理，得 5m2−12m−17=0，
解这个方程得，m1=175，m2=−1（舍）．
∴ 存在正数 175，使得方程的两个实数根的平方和等于 26．
25. （1） 连接 OC，如图所示：
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∵ OB=OC，
∴ ∠B=∠BCO，
又 ∵ ∠ACD=∠B，
∴ ∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90∘，
即 OC⊥CD，
∴ CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ AD⊥CD，
∴ ∠ADC=∠ACB=90∘，
又 ∵ ∠ACD=∠B，
∴ △ACB∽△ADC，
∴ AC2=AD⋅AB=1×4=4，
∴ AC=2，
∴ CD=AC2−AD2=3．
26. ∵ AC=3，BC=4，∠C=90∘，
∴ AB=AC2+BC2=5，
∵ E 为 BC 的中点，
∴ BE=EC=2，
①如图 1，当点 F 在 AB 上时，
设 BF=x 百米，则 AF=5−x 百米，
∵ BE+BF+EF=EC+AC+AF+EF，
即 2+x+EF=2+3+5−x+EF，
∴ x=4，
过点 E 作 EG⊥BF 于点 G，
∵ sinB=ACAB=35，csB=BCAB=45，
∴ BG=BEcsB=2×45=85，GE=BEsinB=2×35=65，
∴ GF=BF−BG=4−85=125，
则 EF=GF2+GE2=1252+652=655（百米）；
②如图 2，当点 F 在 AC 上时，
设 CF=a 百米，则 AF=3−a 百米，
∵ EC+CF+EF=BE+EF+AF+AB，
即 2+a+EF=2+EF+3−a+5，
解得：a=4，
∴ 此时 AF=3−a=−1，不符合题意，舍去；
综上可知，小路 EF 的长度为 655 百米．
27. （1） ①如图 1 所示：
当点 N 与点 C 重合时，AC⊥OB，OC=ON=3 cm，
∴ AC 与半圆 O 所在的圆相切．
∴ 此时点 O 运动了 1 cm，所求运动时间为：t=1．
② 如图 2 所示：
当点 O 运动到点 C 时，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 F．
在 Rt△FOB 中，∠FBO=30∘，OB=6 cm，则 OF=3 cm，即 OF 等于半圆 O 的半径，
∴ AB 与半圆 O 所在的圆相切．此时点 O 运动了 4 cm，所求运动时间为：t=4．
③如图 3 所示：过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H．
当点 O 运动到 BC 的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3 cm，
∴ AC 与半圆 O 所在的圆相切．
此时点 O 运动了 7 cm，所求运动时间为：t=7．
④ 如图 4 所示：
点 O 运动到 B 点的右侧，且 OB=6 cm 时，过点 O 作 OQ⊥AB，交 AB 的延长线于 Q．
在 Rt△QOB 中，∠OBQ=30∘，则 OQ=3 cm，即 OQ 等于半圆 O 所在的圆的半径，
∴ 直线 AB 与半圆 O 所在的圆相切．此时点 O 运动了 16 cm，所求运动时间为：
t=16．
综上所述，当 t 为 1 或 4 或 7 或 16 时，△ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切．
（2） 当 △ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切时，半圆 O 与直线 MN 围成的区域与 △ABC 三边围成的区域有重叠部分的只有如图 2 与 5 所示的两种情形．
①如图 2 所示：重叠部分是圆心角为 90∘，半径为 3 cm 的扇形，所求重叠部分面积 =14πr2=14×π×32=9π4cm2．
②如图 5 所示：
设 AB 与半圆 O 的交点为 P，连接 OP，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H．
则 PH=BH．在 Rt△OBH 中，∠OBH=30∘，OB=3，
则 OH=1.5，BH=332，BP=33，S△POB=12BP⋅OH=12×33×32=934cm2，
又 ∵ ∠COP=2∠CBP=60∘，
∴ S扇形COP=nπr2360=60π×32360=3π2cm2，
所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形COP=3π2+934cm2．
28. （1） 如图 1 中，连接 EB，EC．
∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BAC=90∘，
∴EB=EC=522，
∴⊙E 的直径为 52．
（2） 如图 2，过点 E 作 EM⊥BC 于 M，EN⊥OA 于 N，连接 AE，
则四边形 EMON 是矩形．
在 Rt△EMC 中，EM=ON=EC2−CM2=5222−522=52，OM=NE=OC−CM=12，
在 Rt△ENA 中，AN=AE2−EN2=5222−122=72，
∴OA=AN+ON=6，
∴A0,6，B−2,0，C3,0，
设过 A，B，C 三点的抛物线的解析式为 y=ax+2x−3，把 0,6 的坐标代入得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+x+6．
（3） 满足条件的点 P 有 6 个．