2019_2020学年苏州市太仓市浮桥中学九上期末数学模拟试卷（3）

这是一份2019_2020学年苏州市太仓市浮桥中学九上期末数学模拟试卷（3），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 x2=x 的根是
A. x1=0，x2=1B. x1=0，x2=−1C. x=0D. x=−1

2. 一元二次方程 x2−4x+4=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定

3. 如图所示，圆锥的底面半径 r 为 6 cm，高 h 为 8 cm，则圆锥的侧面积为
A. 30π cm2B. 48π cm2C. 60π cm2D. 80π cm2

4. 某单位要招聘 1 名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：
听说读写张明90808382
若把听、说、读、写的成绩按 3:3:2:2 计算平均成绩，则张明的平均成绩为
A. 82B. 83C. 84D. 85

5. 如图，有一 ⊙O 通过 △ABC 的三个顶点．若 ∠B=75∘，∠C=60∘，且 BC 的长度为 4π，则 BC 的长度为
A. 8B. 82C. 16D. 162

6. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是
A. ①B. ②C. ③D. 均不可能

7. 二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足表格：
x⋯−3−2−101⋯y⋯−3−2−3−6−11⋯
则该函数图象的顶点坐标为
A. −3,−3B. −2,−2C. −1,−3D. 0,−6

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 BC=CD=DA=4 cm，则 ⊙O 的周长为
A. 5π cmB. 6π cmC. 9π cmD. 8π cm

9. 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽 AB=160 cm，则油的最大深度为
A. 40 cmB. 60 cmC. 80 cmD. 100 cm

10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度分别沿 A→B→C 和 A→D→C 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s），四边形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x0≤x≤8 之间函数关系可以用图象表示为
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 ⊙O 的直径为 2，OP=2，则点 P 与 ⊙O 的位置关系是：点 P 在 ⊙O ．

12. 若一元二次方程 2x2+4x+1=0 的两根是 x1，x2，则 x1+x2 的值是 ．

13. 一只不透明的袋子中装有 2 个红球、 3 个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．

14. 如图，四个小正方形的边长都是 1，若以 O 为圆心，OG 为半径作弧分别交 AB，DC 于点 E，F，则图中阴影部分的面积为 ．

15. 如图所示圆中，AB 为直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H．若 HB=2，HD=4，则 AH= ．

16. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，连接 AD．若 ∠C=80∘，∠CEA=30∘，则 ∠CDA= ∘．

17. 将一个三角形纸板按如图所示的方式放置在一个破损的量角器上，使点 C 落在半圆上，若点 A，B 处的读数分别为 65∘，20∘，则 ∠ACB 的大小为 ∘．

18. 如图，△ABC 中，∠B=90∘，AB=11，BC=10，若 ⊙O 的半径为 5 且与 AB，BC 相切，以下说法不正确的是 ．
①圆心 O 是 ∠B 的平分线与 AC 的交点；
②圆心 O 是 ∠B 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点；
③圆心 O 是 AB 的垂直平分线与 BC 的垂直平分线的交点；
④圆心 O 是 ∠B 的平分线与 BC 的垂直平分线的交点．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 解下列一元二次方程．
（1）x2+6x+5=0；
（2）x2+x−1=0．

20. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c
（1）写出表格中 a，b，c 的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员?

21. 已知关于 x 的方程 mx2−m+2x+2=0．
（1）求证：不论 m 为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根．

22. 甲、乙、丙、丁 4 位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选 2 名同学打第一场比赛．
（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余 3 名同学中随机选取 1 名，恰好选中乙同学的概率是 ；
（2）随机选取 2 名同学，求其中有乙同学的概率．

23. 在 ⊙O 中，AB 为直径，C 为 ⊙O 上一点．
（1）如图 1，过点 C 作 ⊙O 的切线，与 AB 延长线相交于点 P，若 ∠CAB=27∘，求 ∠P 的度数；
（2）如图 2，D 为 AB 上一点，OD⊥AC，垂足为 E．连接 DC 并延长，与 AB 的延长线交于点 P，若 ∠CAB=10∘，求 ∠P 的大小．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN，使 ∠BCM=2∠A．
（1）判断直线 MN 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 OA=4，∠BCM=60∘，求图中阴影部分的面积．

25. 某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 OB 的长为 3 m，静止时，踏板到地面距离 BD 的长为 0.6 m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 h m，成人的“安全高度”为 2 m．（参考数据：2≈1.41，sin55∘≈0.82，cs55∘≈0.57，tan55∘≈1.43）
（1）当摆绳 OA 与 OB 成 45∘ 夹角时，恰为儿童的安全高度，则 h= m（精确到 0.1 m）；
（2）某成人在玩秋千时，摆绳 OC 与 OB 的最大夹角为 55∘，问此人是否安全?

26. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件．假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数．
（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大?

27. 问题呈现：
如图 1，⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ABC=90∘，弦BD=BA，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E．求证：BE 是 ⊙O 的切线．
（1）问题分析：
连接 OB，要证明 BE 是 ⊙O 的切线，只要证明 OB BE，由题意知 ∠E=90∘，故只需证明 OB DE．
（2）解法探究：
（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：
如图 2，连接 AD，由 ∠ECB 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，可证 ∠ECB=∠BAD，
因为 OB=OC，
所以 ，
因为 BD=BA，
所以 ，
利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ，
所以 DE∥OB，
从而证明出 BE 是 ⊙O 的切线．
（2）如图 3，连接 AD，作直径 BF 交 AD 于点 H，小丽发现 BF⊥AD，请说明理由．
（3）利用小丽的发现，请证明 BE 是 ⊙O 的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．

28. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A1,0，B4,0，C0,3 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 ①，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小?若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图 ②，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使 △CQM 为等腰三角形且 △BQM 为直角三角形?若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】在方程 x2−4x+4=0 中，Δ=−42−4×1×4=0，
∴ 该方程有两个相等的实数根．
3. C【解析】∵ 圆锥的底面半径 r 为 6 cm，
∴ 圆锥的底面圆周长为 2π×6=12πcm．
∴ 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 12π cm．
∵h=8 cm，r=6 cm，
∴ 圆锥的母线长为 h2+r2=82+62=10cm．
∴ 圆锥的侧面展开图扇形的半径 R=10 cm．
∴ 圆锥的侧面积为 12lR=12×12π×10=60πcm2．
4. C
5. B
6. A
7. B
8. D
9. A
10. B
第二部分
11. 外
12. −2
13. 25
14. 2π3
15. 8
16. 20
【解析】提示：连接 BC .
由 AB 是直径可知 ∠ACB=90∘，从而求出 ∠CBA=∠D=20∘ .
17. 22.5
18. ①②③
第三部分
19. （1）
x+1x+5=0,
所以
x+1=0或x+5=0,
解得：
x1=−1,x2=−5;
（2） 因为
a=1,b=1,c=−1,
所以
b2−4ac=1+4=5,
所以
x=−1±52,
所以
x1=−1+52,x2=−1−52.
20. （1） 甲的平均成绩 a=5×1+6×2+7×4+8×2+9×11+2+4+2+1=7（环），
∵ 乙射击的成绩从小到大重新排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
∴ 乙射击成绩的中位数 b=7+82=7.5（环）．
其方差
c=110×3−72+4−72+6−72+2×7−72+3×8−72+9−72+10−72=110×16+9+1+3+4+9=4.2.
（2） 从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为 7 环，从中位数看甲射中 7 环以上的次数小于乙，从众数看甲射中 7 环的次数最多而乙射中 8 环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；
综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能性更大．
21. （1） 当 m=0 时，方程变形为 −2x+2=0，解得 x=1；
当 m≠0 时，Δ=m+22−4m⋅2=m−22≥0，方程有两个实数根，
所以不论 m 为何值，方程总有实数根；
（2） 设方程的另一个根为 t，根据题意得 2+t=m+2m，2t=2m，则 2+t=1+2t，解得 t=1，
所以 m=1，即 m 的值为 1，方程的另一个根为 x=1．
22. （1） 13
（2） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果，其中选取 2 名同学中有乙同学的结果有 6 种，
∴ 恰好选中乙同学的概率为 612=12．
23. （1） 如图，连接 OC，
∵⊙O 与 PC 相切于点 C，
∴OC⊥PC，即 ∠OCP=90∘，
∵∠CAB=27∘，
∴∠COB=2∠CAB=54∘，
在 Rt△COP 中，∠P+∠COP=90∘，
∴∠P=90∘−∠COP=36∘．
（2） ∵OD⊥AC，即 ∠AEO=90∘，
在 Rt△AOE 中，
∵∠EAO=10∘，
∴∠AOE=90∘−∠EAO=80∘，
∴∠ACD=12∠AOD=40∘，
∵∠ACD 是 △ACP 的一个外角，
∴∠P=∠ACD−∠CAP=40∘−10∘=30∘．
24. （1）
如图：MN 是 ⊙O 切线．
理由：连接 OC．
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∵ ∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴ ∠BCM=∠BOC，
∵ ∠B=90∘，
∴ ∠BOC+∠BCO=90∘，
∴ ∠BCM+∠BCO=90∘，
∴ OC⊥MN，
∴ MN 是 ⊙O 切线．
（2） 由（1）可知 ∠BOC=∠BCM=60∘，
∴ ∠AOC=120∘，
在 Rt△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30∘，
∴ BO=12OC=2，BC=23
∴ S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π⋅42360−12×4×23=16π3−43．
25. （1） 1.5
【解析】在 Rt△ANO 中，∠ANO=90∘，
∴cs∠AON=ONOA，
∴ON=OA⋅cs∠AON．
∵OA=OB=3 m，∠AON=45∘，
∴ON=3⋅cs45∘≈2.12m，
∴ND=3+0.6−2.12≈1.5m，
∴h=ND=AF≈1.5 m．
（2） 如图，过点 C 作 CM⊥DF，交 DF 于点 M，过点 C 作 CE⊥OD，交 OD 于点 E．
在 Rt△CEO 中，∠CEO=90∘，
∴cs∠COE=OEOC，
∴OE=OC⋅cs∠COD．
∵OB=OC=3 m，∠COD=55∘，
∴OE=3⋅cs55∘≈1.71m，
∴ED=3+0.6−1.71≈1.9m，
∴CM=ED≈1.9 m．
∵ 成人的“安全高度”为 2 m，
∴ 此人是安全的．
26. （1） 设 y 与 x 满足的函数关系式为 y=kx+b．
由题意可得 36=24k+b,21=29k+b.
解得
k=−3,b=108.
∴y 与 x 的函数关系式为 y=−3x+108．
（2） 每天获得的利润为

P=−3x+108x−20=−3x2+168x−2160=−3x−282+192.

∴ 当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大．
27. （1） ⊥；∥
（2） （1）∠CBO=∠BCO；∠BAD=∠BDA；∠ECB=∠CBO
（2）如图 3，连接 OD，
∴ OD=OA，
∵ BD=BA，
∴ BF 垂直平分 AD，
即：BF⊥AD．
（3）方法一：
∵ BF⊥AD，
∴ ∠BHD=90∘，
∵ ∠ABC=90∘，
∴ AC 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADC=90∘，
∵ ∠E=90∘，
∴ 四边形 BEDH 是矩形，
∴ ∠EBO=90∘，
∴ BE 是 ⊙O 的切线；
方法二：
∵ BF⊥AD，
∴ AH=DH，
∵ ∠ABC=90∘，
∴ AC 是 ⊙O 的直径，
∴ AO=CO，
∴ OH 是 △ACD 的中位线，
∴ OH∥DC，
即 DE∥OB，
∵ ∠E=90∘，
∴ ∠EBO=90∘，
∴ BE 是 ⊙O 的切线．
28. （1） ∵ 点 A1,0，B4,0 在抛物线上，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax−1x−4．
将点 C0,3 代入得 a0−10−4=3,
解得 a=34,
∴ 抛物线解析式为 y=34x−1x−4，
即 y=34x2−154x+3．
（2） 如图，连接 BC 交对称轴于点 P，此时 P 即为所求．
∵ 点 A 与点 B 关于对称轴 x=52 对称，
∴BC≤PB+PC=PA+PC，
即当点 P 在直线 BC 上时，四边形 OAPC 的周长最小，
在 Rt△BOC 中，OB=4，OC=3，∠BOC=90∘，
∴BC=OB2+OC2=5，
∴ 四边形 PAOC 的周长的最小值即 OA+OC+BC=1+3+5=9．
（3） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+t，将点 B4,0，点 C0,3 代入得
4k+t=0,t=3, 解得 k=−34,t=3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−34x+3．
要使 △CQM 是等腰三角形，且 △BQM 是直角三角形，
则只有以下两种情况，
（i）MQ⊥OB，CM=MQ，如图所示，
∵ 点 M 在 BC 上，设点 M 的坐标为 m,−34m+3，
则 CM=MQ=−34m+3，MB=BC−CM=5−−34m+3=2+34m，
由 sin∠CBO=OCBC=MQBM=35，
即 −34m+32+34m=35，解得 m=32，
则点 M 的坐标为 32,158；
（ii）CM=MQ，MQ⊥BC，如图所示，
过 M 作 MN⊥OB 于 N，
则 ON=m，MN=−34m+3，
在 Rt△BMN 中，易得 BM=MNsin∠MBN=53−34m+3=−54m+5，
∴CM=BC−BM=54m，
在 Rt△BMQ 中，QM=BMtan∠MBQ=34−54m+5，
由 CM=MQ 得：
34−54m+5=54m，
解得 m=127，
此时点 M 的坐标为 127,127．