
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2019_2020学年四川省成都市大邑县八下期末数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 将不等式 2x−6>0 的解集表示在数轴上,正确的是
A. B.
C. D.
2. 分式 xx−1 有意义的条件是
A. x≠0B. x≠1C. x≥0D. x>1
3. 如图,若要添加一条线段,使之既是轴对称图形又是中心对称图形,正确的添加位置是
A. B.
C. D.
4. 一个 n 边形的内角和等于它的外角和,则 n=
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是
A. a2−2a+3=aa−2+3B. a2−1=aa−1a
C. a−b2=a2−2ab+b2D. a2−3a−4=a+1a−4
6. 下列关于不等式的变形中,不正确的是
A. 由 2a>3 得 a>32B. 由 a>b 得 a+3>b+3
C. 由 a>b 得 −2a<−2bD. 由 −12>−1 得 −a2>−a
7. 如图,在 △ABC 中,已知 AB=AC,AC=13 cm,BC=24 cm,AD 是 BC 边上的中线,则 AD=
A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm
8. 将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 45∘ 得到 △OAʹBʹ,若 ∠AOB=15∘,则 ∠AOBʹ=
A. 45∘B. 30∘C. 60∘D. 15∘
9. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,则下列结论不一定成立的是
A. AO=COB. AC=BD
C. CD=ABD. ∠BAD=∠BCD
10. 已知一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴交于点 1,0,且与 y 轴交于点 0,−2,则关于 x 的不等式 ax>−b 的解集为
A. x>1B. x<1C. x>−2D. x<−2
二、填空题(共4小题;共20分)
11. 若 ba=12,那么 a−ba+2b= .
12. 命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆命题是 ;该逆命题是 命题(填“真”或“假”).
13. 若 a2−b2=12,a+b=−1,则 a−b= .
14. 如图,菱形 ABCD 中,∠CBA=60∘,其中一条对角线 AC=6 cm,则该菱形的面积是 cm2.
三、解答题(共6小题;共78分)
15. 分解因式:
(1)x2y−4xy+4y;
(2)a2a−b+b−a.
16. 解分式方程 1x−1+2xx+1=2 .
17. 先化简,再求值:t2t2−2t−1t−2÷t2−1t+1,其中 t 是不等式组 2x+1<9,x−3≥0 的整数解.
18. 如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A−4,2,B−3,4,C−1,1.
(1)请画出将 △ABC 向右平移 5 个单位长度后得到的图形 △A1B1C1;
(2)请画出 △A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90∘ 得到的 △A2B2C1;
(3)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PC 的值最小,请直接写出点 P 的坐标.
19. (1)如图 1,D,E 分别是 △ABC 的边 AB,AC 的中点,求证:DE∥BC,DE=12BC;
(2)如图 2,平行四边形 ABCD 的周长为 36,两条对角线相交于点 O,点 E 是 CD 的中点,BD=12,求 △DOE 的周长.
20. 在“618”网购狂欢日活动中,某电商在京东平台销售甲、乙两种运动鞋,两种运动鞋的进价和售价如表:
运动鞋价格甲乙进价元/双mm−20售价元/双240160
已知该电商用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求 m 的值;
(2)若总共购进甲、乙两种运动鞋共 200 双,其中甲种运动鞋 x 双,200 双当天可以全部销售完,销售可得的总利润为 y 元(利润 = 售价 − 进价).
①写出 y 与 x 之间的函数关系;
②若销售利润不少于 21700 元,至少要购进甲种运动鞋多少双?
四、填空题(共5小题;共25分)
21. 若 ax−1+bx+1=x−3x2−1,那么 a= ,b= .
22. 已知 a,b,c 是 △ABC 的三边,且满足 a2−ab+b2=ab−c2−a2−b2,则 △ABC 是 三角形.
23. 从 −2,0,1,3,5 这五个数中,随机抽取一个数,记为 m,若数 m 使关于 x 的不等式组 x+8<4x−1,x>m 的解集为 x>3,且使关于 x 的分式方程 xx−2−m−22−x=−1 有解,那么这五个数中所有满足条件的数的乘积是 .
24. 如图,以正方形 ABCD 的边 AD 为一边作等边三角形 ADE,F 是 DE 的中点,BE,AF 相交于点 G,连接 DG,若正方形 ABCD 的面积为 36,则 BG= .
25. 如图,一张矩形纸片 ABCD 中,AB=3,BC=6,点 E,F 分别在边 AD,BC 上,将纸片 ABCD 折叠,折痕为 EF,使点 C 落在边 AD 上的一点 H 处,点 D 落在点 G 处,有以下四个结论:①四边形 CFHE 是菱形;② EC 平分 ∠DCH;③线段 BF 的取值范围是 94≤BF≤3;④当点 H 与点 A 重合时,EF=352.以上结论中,正确的是 .(填序号)
五、解答题(共3小题;共39分)
26. 先阅读理解下面的材料,然后按要求完成后面的小题.
我们知道:两个数的乘积的符号可以由法则“同号得正,异号得负”来确定.
即当 ab>0 时,可以得到 a>0,b>0 或 a<0,b<0; 当 ab<0 时,可以得到 a>0,b<0 或 a<0,b>0.
例如,解关于 x 的不等式 x−1x−2>0,我们可以这样做:由实数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得① x−1>0,x−2>0 或② x−1<0,x−2<0.
由不等式组①得 x>2;
由不等式组②得 x<1.
∴ 原不等式 x−1x−2>0 的解集为:x>2 或 x<1.
(1)直接写出不等式 x2+2x>0 的解集为 .
(2)解下列不等式:① x2−5x+6<0;② x2−m+1x+m>0(其中 m>1).
27. 在矩形 ABCD 中,把 ∠B,∠D 分别翻折,使点 B,D 恰好落在对角线 AC 上的点 F,E 处,折痕分别为 CM,AN.
(1)如图 1,①求证:∠DAN=∠BCM;
②当 ∠DCA=30∘ 时,判断四边形 ANCM 的形状并说明理由;
(2)若以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图 2),P,Q 分别是矩形的边 CD,AB 上的两点,连接 PQ,CQ,MN,PQ=CQ,PQ∥MN,AB=4,BC=3,求点 P 的坐标.
28. 如图 1,边长一定的正方形 ABCD 中,Q 为边 CD 上一个动点,AQ 交对角线 BD 于 M,过 M 作 MN⊥AQ 交 BC 于 N.
(1)求证:AM=MN;
(2)若过 N 作 NP⊥BD 于点 P(如图 2),求证:BP+DM=PM;
(3)若连接 AN,交 BD 于点 G,AB=22,BG=x,GM=y,求 y 与 x 之间的关系式.
答案
第一部分
1. A【解析】不等式 2x−6>0,
解得:x>3,
表示如图:
2. B【解析】根据题意得,x−1≠0,
解得 x≠1.
3. A【解析】A、是轴对称图形,也是中心对称图形;
B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形.
4. B【解析】由题可知 n−2⋅180=360,
∴n−2=2,n=4.
5. D
【解析】A.没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故A不符合题意;
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B不符合题意;
C.是整式的乘法,故C不符合题意;
D.把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D符合题意.
6. D【解析】a<0 时,不等号的方向改变,故D符合题意.
7. A【解析】∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
在 Rt△ADC 中,AC=13,DC=12,
∴AD=132−122=5.
8. C【解析】∵ 将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 45∘ 得到 △OAʹBʹ,
∴∠BʹOB=45∘,
∴∠AOBʹ=∠AOB+∠BʹOB=15∘+45∘=60∘.
9. B【解析】A、 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AO=CO(平行四边形的对角线互相平分),结论正确,故本选项错误;
B、根据四边形 ABCD 是平行四边形不能推出 AC=BD,结论错误,故本选项正确;
C、 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴CD=AB,结论正确,故本选项错误;
D、 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,结论正确,故本选项错误.
10. A
【解析】∵ 一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴交于点 1,0,且 y 随 x 的增大而增大,
∴x>1 时,ax+b>0,即关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集为 x>1,
∴ 关于 x 的不等式 ax>−b 的解集为 x>1.
第二部分
11. 14
【解析】∵ba=12,
∴a=2b,
∴a−ba+2b=2b−b2b+2b=14.
12. 若 a=0 或 b=0,则 ab=0,真
13. −12
【解析】∵a2−b2=12,a+b=−1,
∴a+ba−b=12,
∴a−b=−12.
14. 183
【解析】∵ 菱形 ABCD 中,∠ABC=60∘,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AO=12AC=12×6=3,BO=32×6=33,
∴BD=2BO=63,
∴ 菱形的面积 =12AC⋅BD=12×6×63=183.
第三部分
15. (1) 原式=yx2−4x+4=yx−22.
(2) 原式=a−ba+1a−1.
16. 方程两边同乘 (x−1)(x+1) ,得
(x+1)+2x(x−1)=2(x−1)(x+1) .
解得 x=3 .
检验: x=3 时, (x+1)(x−1)≠0 , 3 是原分式方程的解.
17. 由不等式组可知:3≤x<72,
∵t 是该不等式组的整数解,
∴t=3,
原式=t2−ttt−2⋅t+1t2−1=1t−2=1.
18. (1) 如图,△A1B1C1 为所作.
(2) 如图,△A2B2C1 为所作.
(3) 点 P 的坐标为 −2,0.
19. (1) 延长 DE 到点 F,使 EF=DE,连接 FC,DC,AF,
∵AE=EC,
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形,CF 平行且等于 DA,
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形,DF 平行且等于 BC,
又 ∵DE=12DF,
∴DE∥BC,且 DE=12BC.
(2) ∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 36,
∴2BC+CD=36,则 BC+CD=18.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O,BD=12,
∴OD=OB=12BD=6.
又 ∵ 点 E 是 CD 的中点,
∴OE 是 △BCD 的中位线,DE=12CD,
∴OE=12BC,
∴△DOE 的周长 =OD+OE+DE=12BD+12BC+CD=6+9=15,
即 △DOE 的周长为 15.
20. (1) 由题意,得 3000m=2400m−20,
解得,m=100,
经检验,100 是原分式方程的根.
即 m 的值为 100.
(2) 若购进甲种运动鞋 x 双,则购进乙种运动鞋 200−x 双,
① ∵m−20=80,
∴y=240−100x+160−80200−x=60x+16000.
即 y 与 x 之间的函数关系为:y=60x+16000.
②由于销售利润不小于 21700,
∴60x+16000≥21700,
解得:x≥95.
答:若销售利润不少于 21700 元,至少要购进甲种运动鞋 95 双.
第四部分
21. −1,2
【解析】∵ax−1+bx+1=ax+1x−1x+1+bx−1x+1x−1=a+bx+a−bx2−1,
∴a+b=1,a−b=−3,解得:a=−1,b=2.
22. 等腰直角
【解析】∵a2−ab+b2=ab−c2−a2−b2,
∴:c2−a2−b2+a−b2=0,
∴c2−a2−b2=0,a−b=0,
解得:a2+b2=c2,a=b,
∴△ABC 的形状为等腰直角三角形.
23. −6
【解析】由 x+8<4x−1 可知:x>3,
∵ 该不等式组的解集为 x>3,
∴m≤3.
∵xx−2−m−22−x=−1,
∴x+m−2=−x+2,
x=4−m2.
由于方程有解,
∴x−2≠0,
∴4−m2−2≠0,
∴m≠0,
∴m 的取值范围为:m≤3 且 m≠0,
∴m=−2或1或3,
∴ 满足题意的数的乘积为:−6.
24. 36
【解析】如图所示,连接 BD,
∵S正方形ABCD=36,
∴AD=6,BD=62,
在正方形 ABCD 和等边 △ADE 中,
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90∘+60∘=150∘,AB=AD=AE,
∴∠AEB=12180∘−∠BAE=12180∘−150∘=15∘,
∴∠DEM=∠AED−∠AEB=60∘−15∘=45∘,
∵F 为 DE 的中点,
∴AF 垂直平分 DE,DF=12DE=12×6=3,
∴DG=EG,
∴∠GDE=45∘,
∴△DFG 是等腰直角三角形,
∴DG=2DF=32,∠DGE=90∘,
∴Rt△BDG 中,BG=BD2−DG2=72−18=36.
25. ①③④
【解析】① ∵FH 与 EG,EH 与 CF 都是原来矩形 ABCD 的对边 AD,BC 的一部分,
∴FH∥CG,EH∥CF,
∴ 四边形 CFHE 是平行四边形,
由翻折的性质得,CF=FH,
∴ 四边形 CFHE 是菱形,
故①正确;
② ∴∠BCH=∠ECH,
∴ 只有 ∠DCE=30∘ 时 EC 平分 ∠DCH,故②错误;
③点 H 与点 A 重合时,设 BF=x,则 AF=FC=6−x,
在 Rt△ABF 中,AB2+BF2=AF2,
即 32+x2=6−x2,解得 x=94,
点 G 与点 D 重合时,CF=CD=3,
∴BF=3,
∴ 线段 BF 的取值范围为 94≤BF≤3,
故③正确;
过点 F 作 FM⊥AD 于 M,
则 ME=6−93−94=32,
由勾股定理得,EF=MF2+ME2=352,
故④正确.
综上所述,结论正确的有①③④.
第五部分
26. (1) x>0 或 x<−2
(2) ① x2−5x+6<0,
分解因式得:x−2x−3<0,
解得:2
分解因式得:x−1x−m>0,
当 m>1 时,x>m 或 x<1;
当 m=1 时,x≠1;
当 m<1 时,x>1 或 x
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
由折叠知,∠DAN=12∠DAC,∠BCM=12∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM;
② ∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴∠D=90∘,
∵∠ACD=30∘,
∴∠CAD=60∘,
∴∠CAN=12∠DAC=30∘=∠ACD,
∴AN=CN,
同理:AM=CM,
易知,△ADN≌△CBM,
∴AN=CM,
∴AN=CN=CM=AM,
∴ 四边形 ANCM 是菱形.
(2) 设 AC 与 MN 的交点为 O,EF=x,作 QG⊥PC 于 G 点,
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF−EF=AC,即 6−x=5,解得 x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在 Rt△CFN 中,tan∠NCF=NFCF=BCAB=34,
解得 NF=32,
∵OE=OF=12EF=12,
∴ 在 Rt△NFO 中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=102,
∴MN=2ON=10,
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴ 四边形 MQPN 是平行四边形,
∴MN=PQ=10,
∵PQ=CQ,
∴△PQC 是等腰三角形,
∴PG=CG,
在 Rt△QPG 中,PG2=PQ2−QG2,即 PG=10−9=1,
∴PC=2PG=2.
28. (1) 如图 1,过 M 作 GH⊥AD 于 G,交 BC 于 H,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AD∥BC,
∴GH⊥BC,
∴∠AGM=∠MHN=90∘,
∵AQ⊥MN,
∴∠AMN=90∘,
∴∠AMG+∠NMH=90∘,
∵∠NMH+∠MNH=90∘,
∴∠AMG=∠MNH,
∵∠DBC=45∘,
∴△BMH 是等腰直角三角形,
∴BH=MH,
∵∠BAD=∠ABH=∠BHG=90∘,
∴ 四边形 ABHG 是矩形,
∴AG=BH=HM,
∴△AGM≌△MHN,
∴AM=MN.
(2) 如图 2,连接 AC 交 BD 于 O,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AC⊥BD,
∵∠AOM=∠MPN=90∘,∠AMO=∠MNP,
由(1)知:AM=MN,
∴△AMO≌△MNP,
∴PM=AO=12AC=12BD,
∴PM=PB+DM.
(3) 如图 3,延长 CD 至 P,使 PD=BN,连接 AP,过 D 作 DR⊥BD,交 AP 于 R,
则 ∠RDM=90∘,
∵∠ADB=45∘,
∴∠ADR=45∘,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠ABN=∠ADP=90∘,
∴△ADP≌△ABN,
∴∠DAP=∠BAN,
∵∠ADR=∠ABD=45∘,
∴△ABG≌△ADR,
∴AG=AR,RD=BG=x,
由(1)知:∠NAM=45∘,
∴∠QAP=∠QAD+∠DAP=∠QAD+∠BAN=45∘,
∴∠NAM=∠QAP,
∴△AGM≌△ARM,
∴RM=GM=y,
Rt△ABD 中,AB=AD=22,
∴BD=222+222=4,
∴DM=4−x−y,
Rt△RDM 中,RM2=RD2+DM2,
∴y2=x2+4−x−y2,y=x2−4x+84−x.
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