2021年上海市金山区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市金山区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是
A. 8B. 5C. 33D. 42

2. 已知 x>y，那么下列正确的是
A. x+y>0B. ax>ayC. x−2>y+2D. 2−x<2−y

3. 已知正比例函数的图象经过点 1,−2，那么这个正比例函数的解析式是
A. y=−2xB. y=−12xC. y=2xD. y=12x

4. 某人统计九年级一个班 35 人的身高时，算出平均数与中位数都是 158 厘米，但后来发现其中一位同学的身高记录错误，将 160 厘米写成了 166 厘米，经重新计算后，正确的中位数是 a 厘米，那么中位数 a 应
A. 大于 158B. 小于 158C. 等于 158D. 无法判断

5. 已知三条线段长分别为 2 cm，4 cm，a cm，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么 a 的取值可以是
A. 1 cmB. 2 cmC. 4 cmD. 7 cm

6. 已知 ⊙A，⊙B，⊙C 的半径分别为 2，3，4，且 AB=5，AC=6，BC=6，那么这三个圆的位置关系
A. ⊙A 与 ⊙B，⊙C 外切，⊙B 与 ⊙C 相交
B. ⊙A 与 ⊙B，⊙C 相交，⊙B 与 ⊙C 外切
C. ⊙B 与 ⊙A，⊙C 外切，⊙A 与 ⊙C 相交
D. ⊙B 与 ⊙A，⊙C 相交，⊙A 与 ⊙C 外切

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：x2−4= ．

8. 已知 fx=x2−2x，那么 f2= ．

9. 如果反比例函数 y=m−1x（m 是常数，m≠1）的图象，在每个象限内 y 随着 x 的增大而减小，那么 m 的取值范围是 ．

10. 方程 x+2=−x 的解是 ．

11. 如果从方程 x+1=0，x2−2x−1=0，x+1x=1，x+1=0，x4−1=0，x+1x=3 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是 ．

12. 关于 x 的方程 x2−2x+k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 ．

13. 为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了 40 名学生的报名情况，得到如下数据．
项目排球篮球足球人数101515
根据此信息，估计该校 480 名初三学生报名足球的学生人数约为 人．

14. 已知在正六边形 ABCDEF 中，AB=6，那么正六边形 ABCDEF 的面积等于 ．

15. 如图，BE，AD 分别是 △ABC 的两条中线，设 BO=a，BD=b，那么向量 AB 用向量 a，b 表示为 ．

16. 小张、小王两个人从甲地出发，去 8 千米外的乙地，图中线段 OA，PB 分别反映了小张，小王步行所走的路程 S（千米）与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是 分钟．

17. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=4，BC=6，把 △ABC 绕着点 B 顺时针旋转，当点 A 与边 BC 上的点 Aʹ 重合时，那么 ∠AAʹB 的余弦值等于 ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 在对角线 BD 上，连接 AE，作 EF⊥AE 交边 BC 于 F，若 BF=3916，那么 BE= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3−23+2+23+1−2−2−1−3．

20. 解方程组：2x−y=1,2x2+xy−y2=5.

21. 如图，是一个地下排水管的横截面图，已知 ⊙O 的半径 OA 等于 50 cm，水的深度等于 25 cm（水的深度指 AB 的中点到弦 AB 的距离）．求：
（1）水面的宽度 AB．
（2）横截面浸没在水中的 AB 的长（结果保留 π）．

22. A，B两地相距 18 千米，甲工程队要在A，B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设 1 千米．
（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设 3 千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成?
（2）若甲工程队提前 3 天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米?

23. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 平分 ∠ABC，点 G 在底边 BC 上，连接 DG 交对角线 AC 于 F，∠DGB=∠DAB．
（1）求证：四边形 ABGD 是菱形；
（2）连接 EG，求证：BG⋅EG=BC⋅EF．

24. 已知直线 y=kx+b 经过点 A−2,0，B1,3 两点，抛物线 y=ax2−4ax+b 与已知直线交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的右侧），顶点为 P．
（1）求直线 y=kx+b 的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求 a 的取值范围；
（3）若直线 DP 与直线 AB 所成的夹角等于 15∘，且点 P 在直线 AB 的上方，求抛物线 y=ax2−4ax+b 的表达式．

25. 已知在 △ABC 中，AB=AC=23，∠BAC=120∘，△ADE 的顶点 D 在边 BC 上，AE 交 BC 于点 F（点 F 在点 D 的右侧），∠DAE=30∘．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若 AD=ED．
①连接 EC，当点 F 是 BC 的黄金分割点 FC>BF 时，求 S△ABFS△FEC．
②连接 BE，当 DF=1 时，求 BE 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】A，8=22，不是最简二次根式，不合题意；
B，5 是最简二次根式，符合题意；
C，33 是三次根式，不合题意；
D，42 是四次根式，不合题意．
2. D【解析】∵x>y，
∴x−y>0，ax>aya>0，x+2>y+2，2−x<2−y．
3. A【解析】设这个正比例函数解析式为 y=kx，
∵ 正比例函数的图象经过点 1,−2，
∴−2=1⋅k，
解得：k=−2，
∴ 这个正比例函数的解析式为：y=−2x．
故选：A．
4. C【解析】∵ 原来的中位数 158 厘米，将 160 厘米写成 166 厘米，最中间的数还是 158 厘米，
∴a=158．
5. C
【解析】依题意有 4−2解得：2只有选项C在范围内．
6. A【解析】∵⊙A，⊙B，⊙C 的半径分别为 2，3，4，
AB=5=2+3，AC=6=2+4，BC=6<3+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A 与 ⊙B，⊙C 外切，⊙B 与 ⊙C 相交．
第二部分
7. x+2x−2
8. 1
【解析】当 x=2 时，f2=22−22=1．
9. m>1
【解析】∵ 反比例函数 y=m−1x 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，
∴m−1>0，
解得，m>1．
故答案是：m>1．
10. x=−1
【解析】把方程两边平方得 x+2=x2，
整理得 x−2x+1=0，
解得：x=2或−1，
经检验，x=−1 是原方程的解．
11. 12
【解析】∵ 在所列的 6 个方程中，整式方程有 x+1=0，x2−2x−1=0，x4−1=0 这 3 个，
∴ 取到的方程是整式方程的概率是 36=12．
12. k<1
【解析】∵a=1，b=−2，c=k，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×k=4−4k>0，
解得：k<1．
13. 180
【解析】估计该校 480 名初三学生报名足球的学生人数约为 480×1540=180（人），
故答案为：180．
14. 543
【解析】连接 OE，OD，如图所示：
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠DEF=120∘，
∴∠OED=60∘，
∵OE=OD=6，
∴△ODE 是等边三角形，
作 OH⊥ED 于 H，则 OH=OE⋅sin∠OED=6×32=33，
∴S△ODE=12DE⋅OH=12×6×33=93，
∴S正六边形ABCDEF=6S△ODE=543．
15. 2b−3a
【解析】∵AD，BE 是 △ABC 的中线，
∴OA=2OD，
∵BD=BO+OD，
∴OD=b−a，
∴AO=2b−2a，
∵AB=AO+OB，
∴AB=2b−2a−a=2b−3a．
16. 6
【解析】由图象可知：
设 OA 的解析式为：y=kx，
∵OA 经过点 60,5，
∴5=60k，得 k=112，
∴OA 函数解析式为：y=112x, ⋯⋯①
把 y=8 代入① 得：8=112x，
解得：x=96，
∴ 小张到达乙地所用时间为 96（分钟）；
设 PB 的解析式为：y=mx+n，
∴10m+n=0,60m+n=5,
解得：m=110,n=−1.
∴PB 的解析式为：y=110x−1, ⋯⋯②
把 y=8 代入②得：8=110x−1，
解得：x=90，
则小王到达乙地所用时间为小张出发后 90（分钟），
∴ 小王比小张早到 96−90=6（分钟）．
17. 24
【解析】如图，作 AD⊥BC 于 D．
∵AB=AC=4，BC=6，
∴BD=DC=12BC=3，
∴AD2=AB2−BD2=42−32=7，
由旋转的性质可知：AʹB=AB=4，
∴AʹD=AʹB−BD=4−3=1，
根据勾股定理，得 AAʹ=AD2+AʹD2=7+1=22，
∴∠AAʹB 的余弦值等于 AʹDAAʹ=122=24．
故答案为：24．
18. 154
【解析】如图，连接 AF，过点 E 作 EH⊥BC 于 H，
∵AB=CD=3，AD=BC=4，
∴BD=AB2+AD2=9+16=5，
∵AB=3，BF=3916，
∴AF=AB2+BF2=9+39162=151716，
∵∠ABC=∠AEF=90∘，
∴ 点 A，点 B，点 F，点 E 四点共圆，
∴∠DBC=∠EAF，
∴sin∠DBC=sin∠EAF=DCBD=EFAF．
∴35=EF151716，
∴EF=91617，
∵tan∠DBC=DCBC=EHBH，
∴EHBH=34，
设 EH=3x，BH=4x，
∵EF2=FH2+EH2，
∴81×17256=9x2+4x−39162，
∴x=34 或 x=3100（不合题意舍去），
∴EH=94，BH=3，
∴BE=BH2+EH2=9+8116=154．
第三部分
19. 原式=3−2+23−13+13−1−12−3−1=3−2+3−1−12−3+1=12.
20.
2x−y=1, ⋯⋯①2x2+xy−y2=5, ⋯⋯②
由①，得
y=2x−1. ⋯⋯③
把③代入②，得
2x2+x2x−1−2x−12=5.
整理，得
3x−1=6.
所以
x=2.
把 x=2 代入③，得
y=2×2−1=3.∴
原方程组的解为 x=2,y=3.
21. （1） 过 O 作 OH⊥AB 于 H，并延长交 ⊙O 于 D，
∵OH⊥AB，OH 过 O，
∴∠OHA=90∘，AH=12AB，AD=BD，
∵ 水的深度等于 25 cm，
∴HD=25cm，
∵OA=OD=50 cm，
∴OH=OD−HD=25cm，
∴AH=OA2−OH2=502−252=253cm，
∴AB=503 cm．
（2） 连接 OB，
∵OA=50 cm，OH=25 cm，
∴OH=12OA，
∵∠OHA=90∘，
∴∠OAH=30∘，
∴∠AOH=60∘，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴∠BOH=∠AOH=60∘，即 ∠AOB=120∘，
∴AB 的长是 120π×50180=100π3cm．
22. （1） 甲工程队完成任务所需时间为 18÷3=6（天），
乙工程队完成任务所需时间为 18÷3+1=4.5（天），
6−4.5=1.5（天）．
答：乙工程队比甲工程队提前 1.5 天完成．
（2） 设甲工程队每天铺设管道 x 千米，则乙工程队每天铺设管道 x+1 千米，
依题意得：
18x−18x+1=3.
整理得：
x2+x−6=0.
解得：
x1=−3,x2=2.
经检验，x1=−3，x2=2 是原方程的解，
x1=−3 不符合题意舍去，x2=2 符合题意，
∴x+1=3（千米）．
答：甲工程队每天铺设管道 2 千米，乙工程队每天铺设管道 3 千米．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABG=180∘，∠DGB+∠ADG=180∘，
∵∠DGB=∠DAB，
∴∠ABG=∠ADG，
∴ 四边形 ABGD 是平行四边形，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ADB=∠GDB，
∵AD∥BG，
∴∠ADB=∠DBG=∠BDG，
∴BG=DG，
∴ 四边形 ABGD 是菱形．
（2） 如图，连接 EG，
∵ 四边形 ABGD 是菱形，
∴AB=BG=AD，∠ABE=∠GBE，
在 △ABE 和 △GBE 中，
AB=BG,∠ABE=∠GBE,BE=BE,
∴△ABE≌△GBESAS，
∴EG=AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴ADBC=DEBE，
∵DF∥AB，
∴DEBE=EFAE，
∴ADBC=EFAE，
∵AD=BG，AE=EG，
∴BGBC=EFEG，
∴BG⋅EG=BC⋅EF．
24. （1） ∵ 直线 y=kx+b 经过点 A−2,0 、 B1,3 两点，
∴0=−2k+b,3=k+b, 解得 k=1,b=2,
∴ 直线 y=kx+b 的表达式为 y=x+2；
（2） ∵b=2，
∴ 抛物线 y=ax2−4ax+b 解析式为 y=ax2−4ax+2=ax−22+2−4a，
∴ 顶点是 2,2−4a，
∵ 顶点不在第一象限，且在对称轴 x=2 上，
∴ 顶点在第四象限或在 x 轴上，
∴2−4a≤0，即 a≥12；
（3） 延长 PD 交 x 轴于 M，对称轴与 x 轴交于 N，如图：
∵P 在直线 AB 的上方，抛物线 y=ax2−4ax+b 与已知直线交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的右侧），
∴ 开口向下，
∵ 直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2−4ax+2 都经过 0,2，点 C 在点 D 的右侧，
∴D0,2，
∴OA=OD=2，∠AOD=90∘，
∴∠OAD=∠ODA=45∘，
∵ 直线 DP 与直线 AB 所成的夹角等于 15∘，
∴∠MDO=30∘，
Rt△MDO 中，tan∠MDO=OMOD，
∴tan30∘=OM2，解得 OM=233，
∵ 对称轴与 x 轴交于 N，
∴OD∥PN，MN=ON+OM=2+233，
∴OMMN=ODPN，即 2332+233=2PN，
∴PN=2+23，
而 P2,2−4a，
∴2−4a=2+23，
∴a=−32，
∴ 抛物线 y=ax2−4ax+b 的表达式为：y=−32x2+23x+2．
25. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=30∘，
∵∠DAE=30∘，
∴∠B=∠C=∠DAE，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠BAF=∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF=∠ADC，
∴△ABF∽△DCA．
（2） ① ∵△ABF∽△DCA，
∴AFAD=BFAC，即 ADAC=AFBF，
∵AD=ED，
∴∠DAE=DEA，
∴∠DEA=∠C，
∵∠DAE=∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴ADAB=AEBC，即 ADAC=AEBC，
∴AFBF=AEBC，即 AEAF=BCBF，
∴EFAF=CFBF，
∵∠EFC=∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴S△ABFS△ECF=BFCF2，
∵ 点 F 是 BC 的黄金分割点 FC>BF，
∴BFCF=5−12，
∴S△ABFS△ECF=5−122=3−52；
②作 AH⊥BC 于 H，
∵AB=AC=23，∠ABC=30∘，
∴BC=2BH，AH=12AB=3，BH=AB2−AH2=3 得 BC=6，
∵△ABF∽△DCA，
∴ABCD=BFAC，即 CD⋅BF=AB⋅AC，
设 BD=x，则 CD=6−x，
∵DF=1，
∴BF=x+1，
∴6−x⋅x+1=23×23，解得 x=2 或 x=3，
∴BD=2 或 3，
当 BD=2 时，BF=3，即 F 为 BC 中点，如图：
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AD=AE，
∴AF=EF，即 BC 垂直平分 AE，
∴BE=BA=23，
当 BD=3 时，D 为 BC 中点，如图：
∵AB=AC，∠BAC=120∘，∠DAE=30∘，
∴AD⊥BC，∠BAD=12∠BAC=60∘，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90∘，
作 DG⊥AE 于 G，
∴AG=AD⋅cs30∘=32，
∵AD=DE，
∴AE=2AG=3，
∴BE=AB2+AE2=21，
综上所述，DF=1 时，BE 为 23 或 21．