2018年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果两个相似三角形对应边之比是 1:3，那么它们的对应中线之比是
A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:9

2. 抛物线 y=2x2−4 的顶点在
A. x 轴上B. y 轴上C. 第三象限D. 第四象限

3. 如果将抛物线 y=−x2−2 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是
A. y=−x2−5B. y=−x2+1
C. y=−x−32−2D. y=−x+32−2

4. 已知 ∣a∣=3，∣b∣=5，且 b 与 a 的方向相反，用 a 表示 b 向量为
A. b=35aB. b=53aC. b=−35aD. b=−53a

5. 如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，物体所经过的路程是 13 米，那么斜坡的坡度为
A. 1:2.6B. 1:513C. 1:2.4D. 1:512

6. 如图，△ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果 △ABC 的面积为 10，且 sinA=55，那么点 C 的位置可以在
A. 点 C1 处B. 点 C2 处C. 点 C3 处D. 点 C4 处

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 xy=23，那么 4y−xx+y= ．

8. 如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段（AP>PB），其中 AP 是 AB 于 PB 的比例中项，那么 AP:AB 的值为 ．

9. 如果 2a+x=b+x，那么 = （用向量 a，b 表示向量 x）．

10. 如果抛物线 y=−x2+m−1x+3 经过点 2,1，那么 m 的值为 ．

11. 抛物线 y=−x2+2x−1 在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．

12. 如果将抛物线 y=−2x2 平移，顶点移到点 P3,−2 的位置，那么所得新抛物线的表达式为 ．

13. 如果点 A2,−4 与点 B6,−4 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．

14. 如图，已知 AD∥EF∥BC，如果 AE=2EB，DF=6，那么 CD 的长为 ．

15. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AB=6，csA=13，那么 AC= ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，边 AB 的垂直平分线分别交边 BC，AB 于点 D，E 如果 BC=8，tanA=43，那么 BD= ．

17. 如图，点 P 为 ∠MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的 ∠APB 两边分别与射线 OM，ON 相交于点 A，B，如果 ∠APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OA⋅OB=OP2，我们就把 ∠APB 叫做 ∠MON 的关联角．如果 ∠MON=50∘，∠APB 是 ∠MON 的关联角，那么 ∠APB 的度数为 ．

18. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8（如图），点 D 是边 AB 上一点，把 △ABC 绕着点 D 旋转 90∘ 得到 △AʹBʹCʹ，边 BʹCʹ 与边 AB 相交于点 E，如果 AD=BE，那么 AD 长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin260∘+sin230∘ct30∘−cs30∘．

20. 小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．
x⋯−1024 ⋯y⋯059 0⋯

21. 如图，在 △ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 G 是 △ABC 的重心，连接 AG 并延长交 BC 于点 D．
（1）若 AB=a，AC=b，用向量 a，b 表示向量 AG；
（2）若 ∠B=∠ACE，AB=6，AC=26，BC=9，求 EG 的长．

22. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上，A，B 之间的距离约为 49 cm，现测得 AC，BC 与 AB 的夹角分别为 45∘ 与 68∘，若点 C 到地面的距离 CD 为 28 cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4 cm，求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数）．
（参考数据：sin68∘≈0.93，cs68∘≈0.37，ct68∘≈0.40）

23. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE，BC 的延长线相交于点 F，且 EF⋅DF=BF⋅CF．
（1）求证：AD⋅AB=AE⋅AC；
（2）当 AB=12，AC=9，AE=8 时，求 BD 的长与 S△ADES△ECF 的值．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴相交于点 A−2,0，B4,0，与 y 轴交于点 C0,−4，BC 与抛物线的对称轴相交于点 D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点 D 的坐标；
（2）过点 A 作 AE⊥AC 交抛物线于点 E，求点 E 的坐标．

25. 已知 AB=5，AD=4，AD∥BM，csB=35（如图），点 C，E 分别为射线 BM 上的动点（点 C，E 都不与点 B 重合），联结 AC，AE，使得 ∠DAE=∠BAC，射线 EA 交射线 CD 于点 F．设 BC=x，AFAC=y．
（1）如图 1，当 x=4 时，求 AF 的长；
（2）当点 E 在点 C 的右侧时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结 BD 交 AE 于点 P，若 △ADP 是等腰三角形，直接写出 x 的值．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】y=2x2−4=2x+02−4，
得：对称轴为 y 轴，则顶点坐标为 0,−4，在 y 轴上．
3. C【解析】y=−x2−2 的顶点坐标为 0,−2，
∵ 向右平移 3 个单位，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为 3,−2，
∴ 所得到的新抛物线的表达式是 y=−x−32−2．
4. D【解析】∣a∣=3，∣b∣=5，
∣b∣=53∣a∣，
b 与 a 的方向相反，
∴b=−53a．
5. C
【解析】如图，
据题意得：AB=13 、 AC=5，
则 BC=AB2−AC2=132−52=12，
∴ 斜坡的坡度 i=tan∠ABC=ACBC=512=1:2.4，
故选：C．
6. D【解析】如图：
∵AB=5，S△ABC=10，
∴DC4=4，
∵sinA=55，
∴55=DCAC=4AC，
∴AC=45，
∵ 在 Rt△ADC4 中，DC4=4，AD=8，
∴AC4=82+42=45．
第二部分
7. 2
【解析】∵xy=23，
∴x=23y，
∴4y−xx+y=4y−23y23y+y=103y53y=2．
8. 5−12
【解析】∵ 点 P 把线段分割成 AP 和 PB 两段（AP>PB），AP 是 AB 和 PB 的比例中项，
∴ 点 P 是线段的 AB 的黄金分割点，
∴AP:AB=5−12，
故答案为：5−12．
9. b−2a
【解析】∵2a+x=b+x，
∴2a+2x=b+x，
∴x=b−2a．
10. 2
【解析】∵ 抛物线 y=−x2+m−1x+3 经过点 2,1，
∴1=−4+2m−1+3，解得 m=2，故答案为 2．
11. 右侧
【解析】∵a=−1<0，
∴ 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右侧．
12. y=−2x−32−2
13. x=4
【解析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点 A2,−4 和点 B6,−4 都在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，得到其对称轴为 x=2+62=4．
14. 9
【解析】∵AD∥EF∥BC，AEBE=DFFC=2，
∴DF=6，
∴FC=3，DC=DF+FC=9．
15. 2
【解析】如图所示，
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=6，csA=13，
∴csA=ACAB=13，
则 AC=13AB=13×6=2．
16. 254
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=8，tanA=43，
∴AC=BCtanA=843=6，
∴AB=AC2+BC2=10，csB=BCAB=810=45，
∵ 边 AB 的垂直平分线交边 AB 于点 E，
∴BE=12AB=5，
∵ 在 Rt△BDE 中，∠BED=90∘，
∴csB=BEBD=45，
∴BD=5BE4=5×54=254．
故答案为 254．
17. 155∘
【解析】∵OP 平分 ∠MON，
∴∠AOP=∠POB=25∘，
∵OA⋅OB=OP2，
∴OAOP=OPOB，
∴△AOP∽△POB，
∴∠APO=∠PBO，
∴∠APB=∠OPB+∠PBO=155∘．
18. 7011
【解析】∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
①当顺时针旋转时，如图 1 所示．
设 DE=3x，则 BʹD=4x．
根据旋转的性质，可知：BD=BʹD=4x，
∵AD=BE，
∴AE=BD=4x，
∴AB=AE+DE+BD=4x+3x+4x=10，
解得：x=1011，
∴AD=4x+3x=7011．
②当逆时针旋转时，如图 2 所示．
设 DE=3x，则 BʹD=4x，
∴BE=BʹD−DE=x，
∴AD=x，AB=AD+DE+BʹE=x+3x+x=10，
解得：x=2，
∴DE=6，BʹD=8，
∴BʹE=10>BʹCʹ，
∴ 该情况不存在．
第三部分
19. 原式 =322+1223−32=132=233．
20. 设二次函数的解析式 y=ax2+bx+c．
把 −1,0，0,5，2,9 代得到 a−b+c=0,c=5,4a+2b+c=9,
解得 a=−1,b=4,c=5,
∴ 二次数解析式 y=−x2+4x+5．
当 x=4 时，y=5，
当 y=0 时，x=−1或5．
21. （1） 由 G 是 △ABC 的重心得 AG=23AD，
∵AD=AB+12BC=a+12b−a=12a+12b，
∴AG=13a+13b．
（2） ∵∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴AEAC=ACAB，
∴AE=4，此时 AEAB=23=AGAD，
又 ∠EAG=∠BAD，
∴△AEG∽△ABD，
∴EG=23BD=13BC=3．
22. 过 C 点作 CH⊥AB，垂足为 H．
设 CH=x cm，则 AH=x cm，BH=CH⋅ct68∘=25x cm，
∴x+25x=49，解得 x=35，
∴E 点到地面的距离为 CD+CH+BE⋅sin68∘≈66.7cm．
23. （1） ∵EF⋅DF=EFBF=CFDF=BF⋅CF，
∵∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF=∠B，
∴∠B=∠AED，
∵∠CAB=∠DAE，
∴△CAB∽△DAE，
∴ABAE=ACAD，
∴AD⋅AB=AE⋅AC．
（2） 由（1）知 AD⋅AB=AE⋅AC，
∴AD=6，BD=6，EC=1，
∵S△EFCS△BDF=CEBD2=136，
∴S△EFCS四边形BCED=135，
∵S△AEDS△ABC=AEAB2=49，
∴S△ADES四边形BCED=45，
∴S△ADES△ECF=128．
24. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax+2x−4，将 C0,−4 代入得：−8a=−4，解得：a=12，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−x−4．
D1,−3．
【解析】如下图所示：记抛物线的对称轴与 x 轴交点坐标为 F．
∵ 抛物线的对称轴为 x=−b2a=1，
∴BF=OB−OF=3．
∵BO=OC=4，∠BOC=90∘，
∴∠OBC=45∘．
∴△BFD 等腰直角三角形，
∴FD=FB=3．
∴D1,−3．
（2） 如下图，过点 E 作 EH⊥AB，垂足为 H．
∵∠EAB+∠BAC=90∘，∠BAC+∠ACO=90∘，
∴∠EAH=∠ACO．
∴tan∠EAH=tan∠ACO=12．
设 EH=t，则 AH=2t，
∴ 点 E 的坐标为 −2+2t,t．
将 −2+2t,t 代入抛物线的解析式得：12−2+2t2−−2+2t−4=t，
解得：t=72 或 t=0 （舍去）．
∴E5,72．
25. （1） 作 A⊥BC 于 H 如图，
Rt△ABH 中，
∵csB=BHAB=35，
∴BH=35×5=3，
∴CH=1，AH=52−32=4，
在 Rt△ACH 中，AC=12+42=17，
∵AD∥BC，AD=BC=4，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠DAF=∠BAC，
∴△ADF∽△ABC，
∴AFAC=ABAD，即 AF17=54，
∴AF=5174．
（2） 如图，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB，而 ∠DAE=∠BAC，
∴∠ABC=∠EBA，
∴△BAC∽△BEA，
∴ABBE=BCAB=ACAE，即 5BE=x5=ACAE，
∴BE=25x，AC=x5AE，
∴CE=BE−BC=25x−x，
∵AD∥CE，
∴△ADF∽△EFC，
∴AFEF=ADCE=425x−x=4x25−x2，
∴AFAE=4x25−x2+4x，即 AF=4x25−x2+4x⋅AE，
∴AFAC=4x25−x2+4xx5=2025−x2+4x，即 y=20x2−4x+250 （3） 52 或 3509 或 2565+10049．
【解析】当 PA=PD 时，作 AH⊥BM 于 H，作 PG⊥AD 于 G 交 BE 于 N，如图，
∵AD∥BE，
∴GN⊥BE，
∴AG=DG=2，BN=EN=12BE=252x，而 BN=BH+CN=3+2=5，
∴252x=5，解得 x=52；
当 AP=AD=4 时，
∵AD∥BE，
∴BP=EP=25x，
在 Rt△AHE 中，AH2+HE2=AE2，
∴42+25x−32=4+25x2，解得 x=3509；
当 DP=DA=4 时，作 AH⊥BM 于 H，作 DK⊥BE 于 K，如图 4，
∵AD∥BE，
∴BP=EP=25x，
∴BD=4+25x，在 Rt△BDK 中，BD=BK2+DK2=72+42=65，
∴4+25x=65，
∴x=2565+10049，
综上所述，x 的值为 52 或 3509 或 2565+10049．