2019年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市虹口区中考一模数学试卷（期末），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 抛物线 y=x2−1 与 y 轴交点的坐标是
A. −1,0B. 1,0C. 0,−1D. 0,1

2. 如果抛物线 y=a+2x2 开口向下，那么 a 的取值范围为
A. a>2B. a<2C. a>−2D. a<−2

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=5，AB=13，那么 csA 的值为
A. 513B. 1213C. 125D. 512

4. 如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了 10 米，那么物体离地面的高度为
A. 5 米B. 53 米C. 25 米D. 45 米

5. 如果向量 a 与单位向量 e 的方向相反，且长度为 3，那么用向量 e 表示向量 a 为
A. a=3eB. a=−3eC. e=3aD. e=−3a

6. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 在 AD 上，如果 ∠ABE=∠C，AE=2ED，那么 △ABE 与 △ADC 的周长比为
A. 1:2B. 2:3C. 1:4D. 4:9

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 ab=23，那么 a+ba 的值为 ．

8. 计算：2a−3b−a= ．

9. 如果抛物线 y=ax2+2 经过点 1,0，那么 a 的值为 ．

10. 如果抛物线 y=m−1x2 有最低点，那么 m 的取值范围为 ．

11. 如果抛物线 y=x−m2+m+1 的对称轴是直线 x=1，那么它的顶点坐标为 ．

12. 如果点 A−5,y1 与点 B−2,y2 都在抛物线 y=x+12+1 上，那么 y1 y2（填“>”，“<”或“=”）．

13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 sinA=23，BC=4，那么 AB= ．

14. 如图，AB∥CD∥EF，点 C，D 分别在 BE，AF 上，如果 BC=6，CE=9，AF=10，那么 DF 的长为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，点 G 为 ABC 的重心，过点 G 作 DE∥AC 分别交边 AB，BC 于点 D，E，过点 D 作 DF∥BC 交 AC 于点 F，如果 DF=4，那么 BE 的长为 ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作 AE⊥CD 交 BC 于点 E，如果 AC=2，BC=4，那么 ct∠CAE= ．

17. 定义：如果 △ABC 内有一点 P，满足 ∠PAC=∠PCB=∠PBA，那么称点 P 为 △ABC 的布罗卡尔点，如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点 P 为 △ABC 的布罗卡尔点，如果 PA=2，那么 PC= ．

18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 O 为对角线 AC，BD 的交点，点 E 为边 AB 的中点，△BED 绕着点 B 旋转至 △BD1E1，如果点 D，E，D1 在同一直线上，那么 EE1 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2cs230∘−sin30∘tan260∘−4cs45∘．

20. 已知抛物线 y=2x2−4x−6．
（1）请用配方法求出顶点的坐标．
（2）如果该抛物线沿 x 轴向左平移 m（m>0）个单位后经过原点，求 m 的值．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ctA=43，BC=6，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 DE∥BC，tan∠DBC=12．
（1）求 AD 的长；
（2）如果 AC=a，AB=b，用 a，b 表示 DE．

22. 如图 1 是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图 2，从侧面看，立柱 DE 高 1.8 米，踏板静止时踏板连杆与 DE 上的线段 AB 重合，BE 长为 0.2 米，当踏板连杆绕着点 A 旋转到 AC 处时，测得 ∠CAB=37∘，此时点 C 距离地面的高度 CF 为 0.45 米，求 AB 和 AD 的长（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是边 BC 的中点，DE⊥AC，垂足为点 E．
（1）求证：DE⋅CD=AD⋅CE．
（2）设 F 为 DE 的中点，连接 AF，BE，求证：AF⋅BC=AD⋅BE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B4,0，点 A3,m 在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求 tan∠OAB 的值．

25. 如图，在四边形 ABCD 中 AD∥BC，∠A=90∘，AB=6，BC=10，点 E 为边 AD 上一点，将 ABE 沿 BE 翻折，点 A 落在对角线 BD 上的点 G 处，连接 EG 并延长交射线 BC 于点 F．
（1）如果 cs∠DBC=23，求 EF 的长；
（2）当点 F 在边 BC 上时，连接 AG，设 AD=x，S△ABGS△BEF=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出 x 的取值范围；
（3）连接 CG，如果 △FCG 是等腰三角形，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】当 x=0 时，y=x2−1=−1，
∴ 抛物线 y=x2−1 与 y 轴交点的坐标为 0,−1．
2. D【解析】∵ 抛物线 y=a+2x2 开口向下，
∴a+2<0，
∴a<−2．
3. A【解析】∵∠C=90∘，AC=5，AB=13，
∴csA=ACAB=513．
4. C【解析】作 BC⊥ 地面于点 C．
设 BC=x 米，
∵ 传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:2，
∴AC=2x 米，
由勾股定理得 AC2+BC2=AB2，即 2x2+x2=102，
解得 x=25，即 BC=25 米．
5. B
【解析】∵ 向量 e 为单位向量，向量 a 与向量 e 方向相反，
∴a=−3e．
6. B【解析】∵AD:ED=3:1，
∴AE:AD=2:3，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴L△ABE:L△ACD=2:3．
第二部分
7. 52
【解析】∵ab=23，
∴ 设 a=2x，则 b=3x，
那么 a+ba=2x+3x2x=52．
8. 3a−3b
【解析】原式=2a−3b+a=3a−3b．
9. −2
【解析】把 1,0 代入 y=ax2+2 得 a+2=0，解得 a=−2．
10. m>1
【解析】∵ 抛物线 y=m−1x2 有最低点，
∴m−1>0，即 m>1．
11. 1,2
【解析】∵ 抛物线 y=x−m2+m+1 的对称轴是直线 x=1，
∴m=1，
∴ 解析式 y=x−12+2，
∴ 顶点坐标为 1,2．
12. >
【解析】抛物线的对称轴为直线 x=−1，而抛物线开口向上，
∴ 当 x<−1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴y1>y2．
13. 6
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，sinA=BCAB=23，且 BC=4，
∴AB=BCsinA=423=6．
14. 6
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴BECE=AFDF，
∴6+99=10DF，
∴DF=6．
15. 8
【解析】连接 BG 并延长交 AC 于 H．
∵G 为 ABC 的重心，
∴BGHG=2，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形 DECF 是平行四边形，
∴CE=DF=4，
∵GE∥CH，
∴△BEG∽△CBH，
∴BECE=BGGH=2，
∴BE=8．
16. 2
【解析】∵∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的中线，
∴AD=CD=BD，
∴∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，
∵AE⊥CD，
∴∠CAE+∠ACD=∠B+∠CAD=90∘，
∴∠CAE=∠B，
∴ct∠CAE=ctB=BCAC=42=2．
17. 165
【解析】∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠PCB=∠PBA，
∴∠ACB−∠PCB=∠ABC−∠PBA，即 ∠ACP=∠CBP．
在 △ACP 与 △CBP 中，
∠ACP=∠CBP,∠PAC=∠PCB,
∴△ACP∽△CBP，
∴PAPC=ACBC，
∵AC=5，BC=8，PA=2，
∴PC=2×85=165．
18. 6105
【解析】∵ 正方形 ABCD 的边长为 4，
∴AB=AD=4．
∴BD=2AB=42．
∵ 点 E 为边 AB 的中点，
∴AE=12AB=2，
∵∠EAD=90∘，
∴DE=AD2+AE2=25，
过 B 作 BF⊥DD1 于 F，
∴∠DAE=∠EFB=90∘，
∵∠AED=∠BEF，
∴△ADE∽△FEB，
∴EFAE=BEDE，
∴EF2=225，
∴EF=25，
∴DF=25+25=125，
∵△BED 绕着点 B 旋转至 △BD1E1，
∴BD1=BD，∠D1BD=∠E1BE，BE1=BE，
∴DD1=2DF=245，△D1BD∽△E1BE，
∴EE1DD1=BEBD，
∴EE1245=242，
∴EE1=6105．
第三部分
19. 原式=2×322−1232−4×22=2×34−123−22=13−22=3+22.
20. （1） y=2x2−4x−6=2x2−2x−6=2x−12−8,
故该函数的顶点坐标为：1,−8．
（2） 当 y=0 时，0=2x−12−8，
解得：x1=−1，x2=3，
即图象与 x 轴的交点坐标为：−1,0，3,0，
故该抛物线沿 x 轴向左平移 3 个单位后经过原点，
即 m=3．
21. （1） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ctA=43，BC=6，
∴ACCB=AC6=43，则 AC=8．
又 ∵ 在 Rt△BCD 中，tan∠DBC=12，
∴DCBC=DC6=12，
∴CD=3．
∴AD=AC−CD=5．
（2） ∵DE∥BC，
∴DEBC=ADAC=58．
∴DE=58BC．
∵AC=a，AB=b，
∴BC=AB−AC=b−a．
∴DE=58b−58a．
22. 过点 C 作 CG⊥AB 于 G，
则四边形 CFEG 是矩形，
∴EG=CF=0.45．
设 AD=x，
∴AE=1.8−x，
∴AC=AB=AE−BE=1.6−x，AG=AE−CF=1.35−x．
在 Rt△ACG 中，∠AGC=90∘，∠CAG=37∘，
cs∠CAG=AGAC=1.35−x1.6−x=0.8，解得 x=0.35．
∴AD=0.35 米，AB=1.25 米．
答：AB 和 AD 的长分别为 1.25 米，0.35 米．
23. （1） ∵AB=AC，D 是边 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠ADE+∠CDE=90∘．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90∘，
∴∠CDE+∠DCE=90∘，
∴∠ADE=∠DCE．
又 ∵∠AED=∠DEC=90∘，
∴△AED∽△DEC，
∴DEAD=CECD，
∴DE⋅CD=AD⋅CE．
（2） ∵AB=AC，
∴BD=CD=12BC．
∵F 为 DE 的中点，
∴DE=2DF．
∵DE⋅CD=AD⋅CE，
∴2DF⋅12BC=AD⋅CE，
∴CEDF=BCAD．
又 ∵∠BCE=∠ADF，
∴△BCE∽△ADF，
∴BCAD=BEAF，
∴AF⋅BC=AD⋅BE．
24. （1） 把点 O0,0，点 B4,0 分别代入 y=−x2+bx+c 得 c=0,−16+4b+c=0,
解得 b=4,c=0, 即抛物线的表达式为 y=−x2+4x，
它的对称轴为 x=−42×−1=2．
（2） 把点 A3,m 代入 y=−x2+4x 得 m=−32+4×3=3，
即点 A 的坐标为 3,3，
过点 B 作 BD⊥OA，交 OA 于点 D，过点 A 作 AE⊥OB，交 OB 于点 E，如图所示，
AE=3，OE=3，BE=4−3=1，
OA=32+32=32，AB=12+32=10，
S△OAB=12×OB×AE=12×OA×BD，
BD=OB×AEOA=4×332=22，AD=10−8=2，
tan∠OAB=BDAD=2．
25. （1） 将 ABE 沿 BE 翻折，点 A 落在对角线 BD 上的点 G 处，
∴BG⊥EF，BG=AB=6，
cs∠DBC=23=BGBF=6BF，则 BF=9，
S△BEF=12BF⋅AB=12EF⋅BG，即 9×6=6×EF，则 EF=9．
（2） 过点 A 作 AH⊥BG 交于点 H，连接 AG，设 BF=a，
在 Rt△BGF 中，cs∠GBF=csα=BGBF=6a，
则 tanα=a2−366，sinα=a2−36a，
y=S△ABGS△BEF=12BG×AH12BF×AB=6×6×csα6a=36a2, ⋯⋯①
tanα=ABAD=6x=a2−366，解得 a2=36+36x2, ⋯⋯②
把 ② 式代入 ① 式整理得 y=x2x2+36x≥92．
（3） ① 当 GF=FC 时，FC=10−a=GF=asinα=a2−36，
把 ② 式代入上式并解得 x=454；
② 当 CF=CG 时，同理可得 x=189191．
故 AD 的长为 454 或 189191．