2023年上海市虹口区中考数学一模试卷（含解析）

2023年上海市虹口区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果某个斜坡的坡度是：，那么这个斜坡的坡角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，，，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知抛物线有最低点，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知二次函数的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如果点与点都在抛物线上，那么和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.  如图，点、分别在边、上，，且，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  已知线段是线段和的比例中项，，，则 ______ ．

8.  计算：        ．

9.  抛物线与轴交点坐标是______．

10.  沿着轴正方向看，抛物线在其对称轴右侧的部分是        的填“上升”或“下降”

11.  在平面直角坐标系中，将抛物线沿着轴向下平移个单位，所得到的新抛物线的表达式为        ．

12.  已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：

如果点在此抛物线上，那么        ．

13.  已知∽，顶点、、分别与、、对应，，，的平分线的长为，那么的平分线的长为        ．

14.  如图，在中，点在边上，已知和的面积比是：，，，那么用向量、表示向量为        ．

15.  如图，在梯形中，，点、分别在边、上且，已知：：，，，那么的长是        ．

16.  如图，在中，，点为的重心，过点作交于点已知，，那么的长为        ．

17.  魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为        ．

18.  我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知直线，与之间的距离是，“等高底”的“等底”在直线上点在点的左侧，点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，那么的长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
求此抛物线的表达式及点的坐标；
将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．

21.  本小题分
如图，在中，，，，点在边上，且，过点作交边于点，的平分线交线段于点，求的长．

22.  本小题分
如图是钢琴缓降器，图和图是钢琴缓降器两个位置的示意图是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知．
如图，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；
现将压柄从图的位置旋转到与底座成角即，如图所示，求此时液压伸缩连接杆的长结果保留根号参考数据：，，；，，

23.  本小题分
如图，在四边形中，对角线与交于点，．
求证：；
过点作交于点，求证：．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点．
如果点的坐标为，点在抛物线上，联结．
求顶点和点的坐标；
过抛物线上点作轴，垂足为，交线段于点，如果，求点的坐标；
联结，如果与轴负半轴的夹角等于与的和，求的值．

25.  本小题分
如图，在中，，，点、分别在边、上，满足点是延长线上一点，且．
当点是的中点时，求的值；
如果，求的值；
如果是等腰三角形，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：：，
；
故选A．
根据坡角的正切坡度，列式可得结果．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，，由勾股定理，得
．
由锐角的余弦，得．
故选：．
根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线有最低点，
抛物线开口向上，
，
解得，
故选：．
由抛物线有最低点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，故选项A正确，不符合题意；
抛物线对称轴在轴右侧，，
，故选项B错误，符合题意；
抛物线交轴于正半轴，
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据二次函数图象的开口方向可以得到的正负，再根据左同右异，可以得到的正负，然后根据抛物线与的轴的交点位置，可以得到的正负，从而可以得到的正负，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键判断出、、的正负．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为轴，
时，随增大而减小，
，
，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
设，，，，则，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
故选：．
根据题意，可以先设，，，，再根据题意可以得到∽，然后即可得到的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：线段，，线段是、的比例中项，
，
，舍去．
故答案为：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
 

8.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于向量的计算过程中．
 

9.【答案】 

【解析】解：时，，
所以，抛物线与轴交点坐标是．
故答案为．
令，求出的值，即可得到与轴的交点．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题主要是与轴交点的求法，需熟记．
 

10.【答案】下降 

【解析】解：因为，
所以抛物线在对称轴右侧部分是下降的，
故答案为：下降．
根据二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将抛物线沿着轴向下平移个单位得函数解析式为，
故答案为：．
根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由表格中点，，
可知函数的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
故答案为：．
由表格中点，可求对称轴直线，即可求解．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：∽，、，
相似比为：，
的平分线的长为，
设的平分线的长为，则，
．
故答案为：．
直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对角平分线的比得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比等于相似比是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：和的面积比是：，
：：，
，
，
，
，
，，
故答案为：，
利用三角形法则可知：，求出即可解决问题．
本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，交于点，交于点，
，，
四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，
，
，，
∽，，
，
：：，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
根据平行四边形的判定和相似三角形的判定和性质，可以得到和的长，从而可以得到的长．
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，
，，
，
，
点为的重心，
，

：：：，
，
故答案为：．
通过解直角三角形得，利用重心得出，用比例线段求出长．
本题考查的是三角形的重心和解直角三角形，解题的关键是列出比例式．
 

17.【答案】 

【解析】解：都是正方形，
，
，
∽，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，
．
故答案为：．
证明∽，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
 

18.【答案】 

【解析】解：如下图：

，，，
，
故答案为：．
先根据勾股定理求出，再根据旋转法性质求解．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

20.【答案】解：抛物线与轴交于点和，
，
解得，
即此抛物线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为；
，点，
当时，，得，，
点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为，
此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，
，
即的值是． 

【解析】根据抛物线与轴交于点和，可以得到、的值，从而可以得到此抛物线的解析式，然后令求出的值，即可得到点的坐标；
将代入中的抛物线，求出点关于对称轴对称的点的坐标，即可得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：，，，，
，
解得，
，，
，，
，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】根据锐角三角函数可以求得的长，然后根据，即可得到和的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到的长和的长，从而可以求得的长．
本题考查解直角三角形、平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：在中，，，，
，
．
答：的长为；
在图中，过点作于点．
在中，，，，
，，
，．
在中，，，，
．
答：此时液压伸缩连接杆的长为． 

【解析】在中，由，结合的长及的度数，即可求出的长；
在图中，过点作于点，在中，通过解直角三角形，可求出，的长，再在中，利用勾股定理，即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：在中，通过解直角三角形求出的长；在中，利用勾股定理求出的长．
 

23.【答案】证明：，，
∽，
，
，
，
∽，
，即；
，
，
，
∽，
，
，
由知∽，
，
，
． 

【解析】由，，得∽，有，又，即得∽，故；
由，，可得∽，有，而∽，有，即可得．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：将点的坐标为代入得，，
，
，
顶点的坐标为，
将代入得，，
点的坐标为；
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
如图，

设点，则，，
，，
，
，解得，
点的坐标为；
如图，过点作轴于点，作轴于点，

，
顶点的坐标为，，
，，，
，
，，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
或，
，
的值为． 

【解析】将点的坐标为代入求出的值，可得抛物线解析式，化为顶点式可得顶点的坐标，将代入解析式可得点的坐标；
求出直线的解析式，设点，则，，根据即可求解；
过点作轴于点，作轴于点，由得顶点的坐标为，，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，相似三角形判定和性质等，解题的关键是画出图形，运用数形结合的思想解决问题．
 

25.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图，
，
，
，，
．
．
．
，，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
．
在中，
；
，
．
，
∽，
．
，
．
，，
∽，
．
，，
，
，
；
如果是等腰三角形，
当时，
则．
，
，
，这与已知条件不符，
此种情况不存在；
当时，
则，
，
，
，
，
，
，
，
为钝角，
此种情况不存在；
当时，
过点作于点，如图，
由题意得：，
，
，
，
．
．
，，
∽，
，
，
．
由知：∽，
，
．
． 

【解析】过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可；
利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
利用分类讨论的思想方法分当时，当时，当时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．