2019年广州市番禺区中考模拟数学试卷（a卷）【六校联考】

这是一份2019年广州市番禺区中考模拟数学试卷（a卷）【六校联考】，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −1 的绝对值是
A. −1B. 1C. 0D. ±1

2. 如图所示，几何体的主视图是
A. B.
C. D.

3. 下列运算正确的是 .
A. a+a=2a2B. a2⋅a=2a3
C. −ab2=ab2D. 2a2÷a=4a

4. 课间休息，小亮与小明一起玩“剪刀、石头、布”的游戏，小明出“剪刀”的概率是
A. 12B. 13C. 14D. 16

5. 不等式组 x+1>0,x−1≤0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

6. 如图，A，D 是 ⊙O 上的两点，BC 是直径，若 ∠D=35∘，则 ∠OCA 的度数是
A. 35∘B. 55∘C. 65∘D. 70∘

7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 sinA=35，则 csB 的值是
A. 34B. 43C. 45D. 35

8. 若方程 x2−3x−4=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 1x1+1x2 的值是
A. 1B. 2C. −34D. −43

9. 如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，已知 △DEF 的面积为 1，则平行四边形 ABCD 的面积为
A. 9B. 12C. 15D. 18

10. 二次函数 y=x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx−t=0（t 为实数）在 −1A. t≥−1B. −1≤t<3C. −1≤t<8D. 3
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若二次根式 2x+1 有意义，则 x 的取值范围为 ．

12. 分解因式：ay2+2ay+a= ．

13. 如图，△ABC 的周长为 24，AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，垂足为 E，若 AE=4，则 △ADB 的周长是 ．

14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−23x+3k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 ．

15. 已知正方形 ABCD 的边长为 12 cm，E 为 CD 边上一点，DE=5 cm．以点 A 为中心，将 △ADE 按顺时针方向旋转得 △ABF，则点 E 所经过的路径长为 cm．

16. 如图，已知双曲线 y=kxk<0 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为 −6,4，则 △AOC 的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程组 2x+y=8, ⋯⋯①x−y=1. ⋯⋯②

18. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 AD，BC 于 E，F 两点，连接 BE，DF．求证：△DOE≌△BOF．

19. 先化简 2xx2−4−1x−2，然后在不等式 5−2x>−1 的非负整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．

20. 如图，在 △AOB 中，∠ABO=90∘，OB=4，AB=8，反比例函数 y=kx 在第一象限内的图象分别交 OA，AB 于点 C 和点 D，且 △BOD 的面积 S△BOD=4．
（1）求直线 AO 的解析式；
（2）求反比例函数解析式；
（3）求点 C 的坐标．

21. 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学?
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，并将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学中男同学不少于 1 人的概率．

22. 如图，AB，CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 m，从建筑物 AB 的顶部 A 点测得建筑物 CD 的顶部 C 点的俯角 ∠EAC 为 30∘，测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角 ∠EAD 为 45∘．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离 BD 的长度；
（2）求建筑物 CD 的高度（结果保留根号）．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D．
（1）动手操作：利用尺规作 ⊙O，使 ⊙O 经过点 A，D，且圆心 O 在 AB 上；并标出 ⊙O 与 AB 的另一个交点 E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
① 判断直线 BC 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
② 若 AB=6，BD=23，
求线段 BD，BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根号和 π）．

24. 四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 是直线 AD 上两动点，且 AE=DF，CF 所在直线与对角线 BD 所在直线交于点 G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H．
（1）如图 1，当点 E，F 在线段 AD 上时，
① 求证：∠DAG=∠DCG；
② 猜想 AG 与 BE 的位置关系，并加以证明；
（2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分 ∠BHG；
（3）当点 E，F 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出 ∠BHO 的度数．

25. 已知二次函数 y=mx2+nx+p 图象的顶点横坐标是 2，与 x 轴交于 Ax1,0，Bx2,0，x1<0（1）求证：n+4m=0；
（2）求 m，n 的值；
（3）当 p>0 且二次函数图象与直线 y=x+3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. B
5. B
6. B
7. D
8. C
9. B
10. C
【解析】对称轴为直线 x=−b2×1=1，解得 b=−2，
∴ 二次函数表达式为 y=x2−2x，y=x−12−1，
x=−1 时，y=1+2=3，x=4 时，y=16−2×4=8，
∵ x2+bx−t=0 的根即 y=x2+bx 与直线 y=t 的交点的横坐标，
∴ 当 −1≤t<8 时，在 −1第二部分
11. x≥−12
12. ay+12
13. 16
14. 1
15. 13π2
16. 9
第三部分
17. ①+② 得，
3x=9.∴x=3
，
把 x=3 代入 ② 得，
3−y=1.
解得
y=2.∴
原方程组的解为 x=3,y=2.
18. ∵ 在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在 △EOD 和 △FOB 中
∠EDO=∠OBF,DO=BO,∠EOD=∠FOB,
∴△DOE≌△BOFASA．
19. 原式=2xx+2x−2−1x−2=2xx+2x−2−x+2x+2x−2=1x+2.
5−2x>−1，解得：x<3，
∴ 非负整数解为，x=0，1，2，
答案不唯一，例如：
∴ 当 x=0 时，原式=12．
20. （1） ∵ OB=4，AB=8，∠ABO=90∘，
∴ A 点坐标为 4,8．
设直线 AO 的解析式为 y=kx，
则 4k=8，解得 k=2．
即直线 AO 的解析式为 y=2x．
（2） ∵ OB=4，S△BOD=4，∠ABO=90∘，
∴ D 点坐标为 4,2．
点 D4,2 代入 y=kx，
则 k4=2，解得 k=8．
∴ 反比例函数解析式为 y=8x．
（3） 直线 y=2x 与反比例函数 y=8x 构成方程组为：y=2x,y=8x,
解得 x1=2,y1=4, x2=−2,y2=−4, （舍去）
∴ C 点坐标为 2,4．
21. （1） 一共调查的学生数是：1+2÷15%=20（人）；
（2） 3；1
补全条形统计图如图：
（3） 画树状图如图：
则所有可能结果是：男男、男女、女男、女女、女男、女女，
即所选同学恰好是一位男同学和一位女同学或者两位男同学的概率 P男生不少于一人=46=23．
22. （1） 根据题意得 BD∥AE，
所以 ∠ADB=∠EAD=45∘．
因为 ∠ABD=90∘，
所以 ∠BAD=∠ADB=45∘．
所以 BD=AB=60（米）．
所以两建筑两底部之间的水平距离 BD 的长度为 60 米．
（2） 延长 AE，DC 交于点 F .
根据题意可知四边形 ABDF 是正方形，
所以 AF=BD=DF=60．
在 Rt△AFC 中，∠FAC=30∘，
由 tan∠CAF=CFAF，得
CF=AFtan∠CAF=60tan30∘=60×33=203.
又因为 DF=60，
所以 CD=60−203．
23. （1） 如图，作 ⊙O，标出点 E．
（2） ① BC 与 ⊙O 相切．
理由如下：连接 OD．
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠DAC=∠DAB．
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠DAB，
∴ ∠DAC=∠ODA，
∴ OD∥AC，
∴ ∠ODB=∠C，
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠ODB=90∘，
∴ OD⊥BC，
∴ BC 与 ⊙O 相切．
②连接 DE，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OB=6−r，
在 Rt△ODB 中，∠ODB=90∘，
∴ OB2=OD2+BD2，
即：6−r2=r2+232，
∴ r=2．
在 Rt△BOD 中，tan∠BOD=BDOD=232=3．
∴ ∠DOB=60∘．
∵ △ODB 的面积 S1=12×23×2=23．
扇形 ODE 的面积 S2=60360×π×22=23π，
∴ 线段 BD，BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为：
S=S1−S2=23−23π．
24. （1） ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠ADG=∠CDG．
∵GD=GD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG．
② AG⊥BE．证明如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90∘．
又 AE=DF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠GCD=∠ABE，
∴∠GAD=∠ABE．
又 ∠BAH+∠DAG=90∘，
∴∠BAH+∠ABE=90∘，
∴∠AHB=90∘，
∴AG⊥BE．
（2）
如图，过点 O 作 OM⊥AG 于点 M，ON⊥BE 于点 N．
∴∠ONH=∠OMH=90∘．
∵∠MHN=90∘，
∴ 四边形 OMHN 是矩形，
∴∠MON=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90∘，
∴∠BON+∠AON=∠AON+∠AOM，
∴∠BON=∠AOM，
∴△AMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON．
∴ 四边形 OMHN 是正方形，
∴HO 平分 ∠BHG．
（3）
补充作图如图所示，∠BHO=45∘．
【解析】提示：如图，过点 O 作 OM⊥AG 于点 M，ON⊥BE 于点 N．
同上，易证 HG⊥BE，HO 平分 ∠BHG，
∴∠BHO=45∘．
25. （1） 将 2 代入顶点横坐标得：−n2m=2，
∴ n+4m=0．
（2） ∵ 已知二次函数图象与 x 轴交于 Ax1,0，Bx2,0，且由（1）知 n=−4m，
∴x1+x2=−nm=−4mm=4，x1⋅x2=pm．
∵x1<0 ∴ 在 Rt△ACO 中，tan∠CAO=OCOA=OC−x1，
在 Rt△CBO 中，tan∠CBO=OCOB=OCx2，
∵tan∠CAO−tan∠CBO=1，
∴ OC−x1−OCx2=1，
∵ x1<0 ∴ OC=∣p∣≠0，
∴ 1x1+1x2=−1OC=−1∣p∣，即 x1+x2x1x2=−1∣p∣，
∴ 4pm=−1∣p∣，
∴ p=−4m∣p∣，
①当 p>0 时，m=−14，此时，n=1，
②当 p<0 时，m=14，此时，n=−1．
（3） 当 p>0 时，二次函数的表达式为：y=−14x2+x+p．
∵ 二次函数图象与直线 y=x+3 仅有一个交点，
∴ 方程组 y=−14x2+x+p,y=x+3 仅有一个解，
∴ 一元二次方程 x+3=−14x2+x+p，即 −14x2+p−3=0 有两个相等根，
∴Δ=02−4×−14×p−3=0，解得：p=3．
此时二次函数的表达式为：y=−14x2+x+3=−14x−22+4．
∵ a=−14<0，
∴ y 有最大值 4．