2020年广东省广州市番禺区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省广州市番禺区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列计算正确的是
A. 2a2⋅3a2=6a2B. −3a2b2=6a4b2
C. a−b2=a2−b2D. −a2+2a2=a2

2. 如图，由 4 个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

3. 在某学校“我的中国梦”演讲比赛中，有 7 名学生参加决赛，它们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前 3 名，不仅要知道自己的成绩，还要了解这 7 名学生成绩的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

4. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. ac>0B. bC. a>−dD. b+d>0

5. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 CO，AD，∠BAD=25∘，则下列说法中正确的是
A. ∠OCE=50∘B. CE=OEC. ∠BOC=50∘D. BD=OC

6. 在平面直角坐标系中，将函数 y=3x 的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为
A. 2,0B. −2,0C. 6,0D. −6,0

7. 某商品原售价 225 元，经过连续两次降价后售价为 196 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程中正确的是
A. 2251−x2=196B. 1961−x2=225
C. 2251−x2=196D. 1961−x2=225

8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点 A，C 在坐标轴上，∠ACB=90∘，OA=OC=3，AC=2BC，函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过点 B，则 k 的值为
A. 3+3B. 6C. 274D. 3+33

9. 如图，长为定值的弦 CD 在以 AB 为直径的 ⊙O 上滑动（C，D 与点 A，B 不重合），点 E 是 CD 的中点，过点 C 作 CF⊥AB 于 F，若 CD=3，AB=8，则 EF 的最大值是
A. 92B. 4C. 83D. 6

10. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=AC，点 E，F 分别为边 AB，BC 上的点，且 AE=BF，连接 CE，AF 交于点 H，连接 DH 交 AC 于点 O，则下列结论：① △ABF≌△CAE；② ∠FHC=∠B；③ △AEH∽△DAH；④ AE⋅AD=AH⋅AF；其中正确的结论个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：4a2b−b= ．

13. 计算：tan260∘+2cs45∘2sin260∘−cs60∘= ．

14. 已知关于 x 的方程 x2−3x+m=0 的一个根是 1，则 m= ．

15. 一扇形面积是 3π，半径为 3，则该扇形圆心角度数是 ．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 A−5,85 与点 B−2,m，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过原点 O，顶点是 B−2,m，且与 x 轴交于另一点 Cn,0，则 m+n= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程组：x+y=4, ⋯⋯①2x−3y=3. ⋯⋯②

18. 如图，点 A，E，F，B 在直线 l 上，AE=BF，AC∥BD，且 AC=BD，求证：CF=DE．

19. 已知 A=x2−1x2−2x+1−1x−1÷x+1x−1．
（1）化简 A；
（2）若 x2−3x−4=0，求 A 的值．

20. 如图，一次函数 y=kx+2 的图象与反比例函数 y=4x 的图象交于点 A1,m，与 x 轴交于点 B．
（1）求一次函数的解析式和点 B 的坐标；
（2）在反比例函数 y=4x 的图象上取一点 P，直线 AP 交 x 轴于点 C，若点 P 恰为线段 AC 的中点，求点 P 的坐标．

21. 现有 A，B 两个不透明袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有 2 个白球，1 个红球；B 袋装有 2 个红球，1 个白球．
（1）将 A 袋摇匀，然后从 A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

22. 如图，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC ．小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为 45∘ ，在 D 处观察旗杆顶端 C 的俯角为 30∘ ，楼高 BD 为 20 米．
（1）求 ∠BCD 的度数；
（2）求旗杆 AC 的高度．

23. 已知，如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，D 为 BC 边中点．
（1）尺规作图：以 AC 为直径作 ⊙O，交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不需写作法）；
（2）连接 DE，求证：DE 为 ⊙O 的切线；
（3）若 AC=10，AE=8，求 DE 的长．

24. 如图，正方形 ABCD 中，AB=2，点 Q 是正方形所在平面内一动点，满足 DQ=1．
（1）当点 Q 在直线 AD 上方且 AQ=1 时，求证：AQ∥BD；
（2）若 ∠BQD=90∘，求点 A 到直线 BQ 的距离；
（3）记 S=AQ2−BQ2，在点 Q 运动过程中，S 是否存在最大值或最小值?若存在，求出其值，若不存在，说明理由．

25. 如图，经过原点的抛物线 y=ax2−x+b 与直线 y=2 交于 A，C 两点，其对称轴是直线 x=2，抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，线段 AC 与 y 轴交于点 B．
（1）求抛物线的解析式，并写出点 D 的坐标；
（2）若点 E 为线段 BC 上一点，且 EC−EA=2，点 P0,t 为线段 OB 上不与端点重合的动点，连接 PE，过点 E 作直线 PE 的垂线交 x 轴于点 F，连接 PF，探究在 P 点运动过程中，线段 PE，PF 有何数量关系?并证明所探究的结论；
（3）设抛物线顶点为 M，求当 t 为何值时，△DMF 为等腰三角形?
答案
第一部分
1. D【解析】∵2a2⋅3a2=6a4，故选项A错误，
∵−3a2b2=9a4b2，故选项B错误，
∵a−b2=a2−2ab+b2，故选项C错误，
∵−a2+2a2=a2，故选项D正确．
2. A【解析】从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
故选：A．
3. B【解析】将 7 人的成绩从小到大排列后，处在第 4 名学生成绩，是这组数据的中位数，在知道自己成绩的同时，若再知道中位数，比较自己的成绩与中位数的大小，就可以知道自己是否进入前 3 名．
4. D【解析】根据数轴，−4 ∵−4 ∴ac<0，故A错误；
∵−2 ∴1 ∵−4 ∴−3<−d<−2，故 a<−d，故C错误；
∵−2 ∴b+d>0，故D正确．
5. C
【解析】连接 OD，如图，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90∘，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，BC=BD，
∴∠COE=2∠BAD=∠BOD=2×25∘=50∘，
∴ C选项正确；
∴∠OCE=40∘，
∴ A选项错误；
∴OE ∴ B选项错误；
∵∠BOD=50∘，∠OBD=65∘，
∴OD>BD，即 OC>BD，
∴ D选项错误．
6. B【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数 y=3x 的图象向上平移 6 个单位长度所得函数的解析式为 y=3x+6，
∵ 此时与 x 轴相交，则 y=0，
∴3x+6=0，即 x=−2，
∴ 点坐标为 −2,0．
7. A【解析】第一次降价后的价格为 225×1−x，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低 x，为 225×1−x×1−x，则列出的方程是 2251−x2=196．
8. C【解析】过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，
∵OA=OC=3，
在 Rt△AOC 中，AC=OA2+OC2=32
又 ∵AC=2BC，
∴BC=322，
又 ∵∠ACB=90∘，
∴∠OAC=∠OCA=45∘=∠BCD=∠CBD，
∴CD=BD=322×22=32，
∴OD=3+32=92，
∴B92,32 代入 y=kx 得：k=274．
9. B【解析】如图，延长 CF 交 ⊙O 于 T，连接 DT．
∵AB 是直径，AB⊥CT，
∴CF=FT，
∵DE=EC，
∴EF=12DT，
当 DT 是直径时，EF 的值最大，最大值 =12×8=4．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即 △ABC 是等边三角形，
同理：△ADC 是等边三角形，
∴∠B=∠EAC=60∘，
在 △ABF 和 △CAE 中，
BF=AE,∠B=∠EAC,AB=AC,
∴△ABF≌△CAESAS
∴∠BAF=∠ACE，EC=AF，
∵∠FHC=∠ACE+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60∘，
∴∠FHC=∠B，
故①正确，②正确；
∵∠AHC+∠ADC=120∘+60∘=180∘，
∴ 点 A，H，C，D 四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60∘，∠ACH=∠ADH=∠BAF，
∴∠AHD=∠FHC=∠AHE=60∘，
∴△AEH∽△DAH，故③正确；
∵∠ACE=∠BAF，∠AEH=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴AEEC=AHAC，
∴AE⋅AC=AH⋅EC，
∴AE⋅AD=AH⋅AF，故④正确．
第二部分
11. x≥1
【解析】若 x−1 在实数范围内有意义，则 x−1≥0，
解得：x≥1．
12. b2a+12a−1
【解析】原式=b4a2−1=b2a+12a−1．
13. 3+2
【解析】原式=32+2×222×322−12=3+232−12=3+2.
14. 2
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−3x+m=0 的一个根是 1，
∴12−3×1+m=0，
解得，m=2．
15. 120∘
【解析】设扇形圆心角的度数为 n∘，
∴3π=nπ×32360，
∴n=120．
即扇形圆心角度数为 120∘．
故答案为 120∘．
16. 0
【解析】∵ 反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 A−5,85，
∴k=−5×85=−8，
∴ 反比例函数 y=−8x，
∵ 反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 B−2,m，
∴m=−8−2=4，
∴B−2,4，
设抛物线为 y=ax+22+4，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过原点 O，
∴0=4a+4，
∴a=−1，
∴ 抛物线为 y=−x2−4x
令 y=0，解得 x=0或−4，
∴C−4,0，
∴n=−4，
∴m+n=4−4=0，
故答案为 0．
第三部分
17. ① ×3+ ②得：
5x=15,
解得：
x=3,
把 x=3 代入①得：
y=1,
则方程组的解为
x=3,y=1.
18. ∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即 AF=BE，
∵AC∥BD，
∴∠CAF=∠DBE，
在 △ACF 和 △BDE 中，
AC=BD,∠CAF=∠DBE,AF=BE,
∴△ACF≌△BDESAS，
∴CF=DE
19. （1） 原式=x+1x−1x−12−1x−1⋅x−1x+1=x+1x−1−1x−1⋅x−1x+1=xx−1⋅x−1x+1=xx+1.
（2） 由 x2−3x−4=0，得到 x−4x+1=0，
解得：x=4 或 x=−1，
当 x=−1 时，原式没有意义；
当 x=4 时，原式=45．
20. （1） 把 A1,m 代入 y=4x 得 m=4，
∴A1,4，
把 A1,4 代入 y=kx+2 得 k+2=4，解得 k=2，
∴ 一次函数解析式为 y=2x+2；
当 y=0 时，2x+2=0，解得 x=−1，
∴B 点坐标为 −1,0；
（2） ∵ 点 P 恰为线段 AC 的中点，
而 A 点的纵坐标为 4，C 点的纵坐标为 0，
∴P 点的纵坐标为 2，
当 y=2 时，4x=2，解得 x=2，
∴P 点坐标为 2,2．
21. （1） 共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种，
∴ P摸出白球=23．
（2） 根据题意，列表如下：
A B红1红2白白1白1,红1白1,红2白1,白白2白2,红1白2,红2白2,白红红,红1红,红2红,白
由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 5 种，颜色相同的结果有 4 种，
∴ P颜色不相同=59，P颜色相同=49，
∵ 49<59，
∴ 这个游戏规则对双方不公平．
22. （1） 过点 C 作 CE⊥BD 于 E ，则 DF∥CE ， AB∥CE ，
∵DF∥CE ，
∴∠ECD=∠CDF=30∘ ，
同理 ∠ECB=∠ABC=45∘ ，
∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75∘ ．
（2） 在 Rt△ECD 中， ∠ECD=30∘ ，
∵tan∠ECD=DECE ，
∴DE=CE⋅tan∠ECD=33CE ，
同理 BE=CE ，
∵BD=BE+DE ，
∴20=CE+33CE ，
CE=603+3=103−3 ．
答： ∠BCD 为 75∘ ， CE 为 103−3 米．
23. （1） ⊙O 如图所示．
（2） 连接 OE，CE，
∵AC 为直径，
∴∠AEC=90∘，
∵D 为 BC 边中点，
∴DE 为 Rt△BDC 斜边 BC 上的中线，
∴DE=DC=BD，
∴∠ECD=∠CED，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OED=∠OEC+∠CED=∠OCE+∠ECD=∠ACB=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE 为 ⊙O 的切线．
（3） 在 Rt△ACE 中，EC=AC2−AE2=102−82=6，
∵∠AEC=∠CEB=90∘，∠ACE+∠ECB=90∘，∠B+∠ECB=90∘，
∴∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△CBE，
∴ACBC=AEEC，
∴10BC=86，
∴BC=152，
∴DE=12BC=154．
24. （1） 如图 1 中，
∵AQ=DQ=1，AD=2，
∴AQ2+DQ2=AD2，
∴∠Q=90∘，
∴∠QAD=∠ADQ=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADB=45∘，
∴∠ADB=∠QAD，
∴AQ∥BD．
（2） 如图 2 中，由题意点 Q 是以 D 为圆心，DQ 为半径的圆和以 BD 为直径的圆的交点（有两种情形，图中 Q，Qʹ）．
连接 BQ，BQʹ，过点 A 作 AH⊥BQ 于 H，过点 A 作 AHʹ⊥BQʹ 于 H，AHʹ 交 BQ 于 J．
∵BD=2AD=2，QD=1，
∴BQ=2DQ，
∴∠QBD=30∘，同法可得 ∠DBQʹ=30∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=30∘，
∴∠ABQ=∠CBQʹ=15∘，
∴∠ABHʹ=75∘，∠BAJ=15∘，
∴∠JAB=∠JBA=15∘，
∴∠AJH=∠JAB+∠JBA=30∘，设 AH=a，则 AJ=JB=2AH=2a，JH=3a，
在 Rt△ABH 中，则有 2=a2+2a+3a2，
解得 a=3−12，
∴AH=3−12，BH=3+12，
∵∠AHB=∠AHʹB=90∘，∠ABH=∠BAHʹ，AB=BA，
∴△AHB≌△BHʹAAAS，
∴AHʹ=BH=3+12，
∴ 点 A 到直线 BQ 的距离为 3−12 或 3+12．
（3） 如图 3−1 中，当 AQ ∵AQ2−BQ2=JQ2+AJ2−JQ2+BJ2=AJ2−BJ2=AJ+BJJA−BJ=−AB⋅2JA+AB=−22JA+2,
观察图象可知，当 JA 的值最大时，AQ2−BQ2 的值最小，此时点 Q 在 CD 的延长线上，
最小值 =−22+2=−2−22．
如图 3−2 中，当 QA>QB 时，过点 A 作 QJ⊥AB 交 BA 的延长线于 J．
∵AQ2−BQ2=JQ2+AJ2−JQ2+BJ2=AJ2−BJ2=AJ+BJJA−BJ=AB⋅AJ−BJ,
观察图象可知，当 JA−JB 的值最大时，AQ2−BQ2 的值最大，此时点 Q 在线段 CD 上，
最大值 =21−2+1=22−2．
25. （1） 抛物线过原点，则 b=0，
x=2=−−12a，解得：a=14，
故抛物线的表达式为：y=14x2−x，
令 y=14x2−x=0，解得 x=0 或 4，
故点 D 的坐标为 4,0．
（2） 线段 PE，PF 的数量关系为 PF=5PE，理由：
如图 1，设 AC 的中点为 G，则点 G2,2，
则 AE+EG=GC，
∴GE+GE=GE+GC−AE=EC−AE=2，故 EG=1，则点 E1,2，
∴BE=2−1=1，
过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，
∵∠FEH+∠HEP=90∘，∠HEP+∠PEB=90∘，
∴∠FEH=∠PEB，
∵∠PBE=∠FHE=90∘，
∴△PBE∽△FHE，
∴PEEF=BEHE=12，故 EF=2PE，
在 Rt△PEF 中，PF2=PE2+FE2=PE2+2PE2=5PE2，即 PF=5PE．
（3） 由 y=14x2−x=14x−22−1 知：点 M2,−1，则点 N1,0，
①当 FM=FD 时，如图 2，
在 △MND 中，MD=MN2+DN2=1+22=5，
在 △MNF 中，设 FM=FD=k，
由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即 2−k2+1=k2，解得：k=54，
故 FM=FD=54，NF=2−54=34，则 OF=ON+NF=2+34=114，
故点 F114,0；
点 P0,t，则 PB=2−t，而 BE=1，
在 △PBE 中，PE2=BP2+BE2，即 PE2=1+2−t2，
而 PF=5PE，则 PF2=5+52−t2，
在 △POF 中，OP2+OF2=PF2，即 t2+1142=52−t2，
解得：t=98；
②当 DF=DM 时，如图 3，连接 MG，
由①知 DM=5=DF，则 OF=4−5，故点 F4−5,0，
由①知，PE2=1+2−t2，PF2=5+52−t2，
在 Rt△OPF 中，OP2+OF2=PF2，即 t2+4−52=52−t2，
解得：t=5+12；
③当 FM=DM 时，
根据抛物线的对称性，则点 F，O 重合，即点 F0,0，
∵PE⊥EF，则点 P 在 AC 的上方，这与点 P0,t 为线段 OB 上的点矛盾，故这种情况不存在；
综上，t=98 或 5+12．