中考数学复习11：圆

这是一份中考数学复习11：圆，共29页。教案主要包含了简称：等边对等角，简称：三线合一等内容，欢迎下载使用。

中考数学复习11：圆
知识集结
知识元
圆
知识讲解
圆的定义及有关概念
1.圆的定义：
(1)形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径.
(2)描述性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧可分为优弧、劣弧、半圆三类.
2.圆的对称性：
(1)轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，过圆心的直线都是它的对称轴.
(2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
垂径定理及推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
【注意】
垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用.
3.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线.
4.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个.
圆心角、弧、弦之间的关系
1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对应的其余各组量也分别相等.
圆周角定理及其推论
1.圆周角定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等.
推论2：半圆（或直弦）所对的圆周角是直角， 900的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形
1.定义：如果一个四边形的所有顶点都在圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
2.性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.
点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系：
设点与圆心的距离为，圆的半径为，则
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内．
2.过三点的圆：
（1）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆；
（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
直线与圆的位置关系
1.直线和圆三种不同位置关系及相关概念
直线和圆的位置关系
直线名称
公共点名称
公共点个数
d与r的大小关系
相交
割线
　
2个
d 相切
切线
切点
1个
d=r
相离
　
　
无
d>r
2.代数表示：
设圆心到直线的距离为，圆的半径为.
直线和圆的位置关系，由与的大小关系确定：
直线AB和⊙O相交；
直线AB和⊙O相切；
直线AB和⊙O相离.
切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直与经过切点的半径.
3.注意：
（1）由切线的性质定理和判定定理可知：圆的切线经过半径外端并且垂直于半径.即切线与垂直是密不可分的，在解决与切线有关问题时，经常要用到垂直或90°的角.
（2）切线的判定通常有两种常见的题型：A.过半径，证垂直；B.作垂直，证半径.
切线长定理
1.切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角.
3.几何语言表达：

∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB，PO平分∠BPA
4.三角形的内切圆：如果一个圆与三角形的三条边都相切，这个圆叫做三角形的内切圆，三角形叫圆的外切三角形，圆心叫做这个三角形的内心.
5.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离都相等.

圆中求角度的方法
1.利用切线的性质倒角
圆的切线垂直于经过切点的半径，故切线的性质可以为倒角提供直角（90°角）的已知条件，如果该角在直角三角形中，则根据三角形内角和可以得出另外两个内角之和是90°.
2.利用圆中相关的性质倒角
（1）垂径定理倒角：垂径定理构造的模型，是一个标准的对称结构，在对称轴两侧，对应的角都是相等的，能够为几何证明和计算提供相等的角度.

（2）圆心角、弧、弦关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【注意】正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（3）圆周角定理及其推论
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
直径所对的圆周角是90°.
3.“角分、平行、等腰”倒角三人组
角平分线、两直线平行和等腰三角形构造的模型中，如果已知其中两个条件，则可以推出另外的一个结论，该模型在倒角过程中经常出现，而圆中的半径都相等，会提供天然存在的等腰三角形，所以该模型在圆中的倒角中更易出现.

4.利用等腰三角形的性质倒角
（1）等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：三线合一】
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，每个角都相等、都是60°.
5.利用三角形、四边形的特点倒角
（1）三角形中：内角和是180°；
外角等于与它不相等的两个内角之和.
（2）四边形中：四边形内角和是360°；
四边形的外角和是360°；
圆内接四边形的对角之和是180°（常会与圆周角定理结合）.
【注意】四边形内角和常会与圆内接四边形、圆周角定理结合使用.
6.利用图形之间的关系倒角
（1）全等三角形：对应角相等；
（2）相似三角形：对应角相等；
（3）两直线平行：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；
（4）对顶角相等；
（5）邻补角互补.
【注意】以上的倒角的方法会结合使用.
圆中线段求长
在以圆做依托的几何问题中求线段的长度是中考中非常典型的一种题型，一般常会用到的知识包括：勾股定理、锐角三角函数、等面积法、相似三角形等，较复杂的问题则会同时用到不止一个知识，会涉及到知识的组合情况.
1.勾股定理：当出现直角三角形时，常会考虑使用勾股定理来处理，常用的模式包括直接求值型和设未知数、列方程求值型；
2.锐角三角函数：当出现特殊角（30°、45°、60°和120°、135°、150°）时，一般会考虑构造直角三角形利用特殊角的三角函数值来处理；当直接已知某一个角（非特殊角也可以）的三角函数值时，则也可以通过构造直角三角形来处理.
3.等面积法：当同一个图形有多种计算面积的方法时，则这些面积是相等的，根据这一特点可以列出等式，求出各个线段的长度.
4.相似的性质：根据相似的性质可以列出等式，求出相应的线段的长度.
【注意】相似是比较常用的求线段的方法，一般出现的频率较高，记住常见的相似模型是快速解题的关键，而相似的判定则需要倒角基础.


正多边形和圆
1.正多边形的定义及有关概念：
(1)各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.
2.把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；
(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3.正多边形的作法：
依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形.　
4. 正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心；
(2)边数相同的正多边形相似.
5.正多边形的有关计算
设正多边形的边长为a，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则有：
(1)每个内角的度数为；每个外角的度数为.
(2)正n边形的边长；内切圆半径；正n边形的周长P=na.
(3)正n边形的面积.
6.常用辅助线：
连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

扇形的面积和弧长公式
1.弧长公式：l=
2.扇形面积公式：S==
圆柱和圆锥的侧面积
1.圆柱侧面展开图：

（1）侧面展开图：矩形：长：圆柱底面周长，宽：圆柱的高.
（2）圆柱的侧面积：S侧=2πrh(r为圆柱的底面半径、h为圆柱的高)
（3）圆柱的表面积：S表=S侧+ 2S底=2πrh+2πr2.
2.圆锥侧面展开图
（1）侧面展开图：扇形：扇形的半径为圆锥的母线；扇形的弧长为底面周长.
（2）侧面积：S侧=πrR(r为圆锥的底面半径、R为圆锥的母线)
（3）圆柱的表面积：S表=S侧+ S底=πrR+πr2.

 
例题精讲
圆
例1.
（2019∙株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=____度．

【答案】
20
【解析】
题干解析:连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE=90°，∵∠AEC=65°，∴∠OCE=90°-65°=25°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCE=25°，∴∠DOC=180°-25°-25°=130°，∴∠BOD=∠DOC-∠COE=40°，∴∠BAD=∠BOD=20°，
例2.
（2019∙连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为___．

【答案】
6
【解析】
题干解析:∵∠BOC=2∠BAC=60°，又OB=OC，∴△BOC是等边三角形∴OB=BC=6，
例3.
（2019∙宜昌）如图，点O是线段AH上一点，AH=3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH=AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH=AH，BN=，连接MN，求OH和MN的长．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠AHC=90°，∴∠HAD=90°，即OA⊥AD，又∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线；（2）如右图，连接OC，∵OH=OA，AH=3，∴OH=1，OA=2，∵在Rt△OHC中，∠OHC=90°，OH=OC，∴∠OCH=30°，∴∠AOC=∠OHC+∠OCH=120°，∴S扇形OAC==，∵CH==，∴S△OHC=×1×=，∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积=S扇形OAC+S△OHC=+；（3）设⊙O半径OA=r=OC，OH=3-r，在Rt△OHC中，OH2+HC2=OC2，∴（3-r）2+12=r2，∴r=，则OH=，在Rt△ABH中，AH=3，BH=+1=，则AB=，在Rt△ACH中，AH=3，CH=NH=1，得AC=，在△BMN和△BCA中，∠B=∠B，∠BMN=∠BCA，∴△BMN∽△BCA，∴=即==，∴MN=，∴OH=，MN=。
例4.
（2019∙娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，则AD=___。

【答案】
1
【解析】
题干解析:∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，∴AD=AB=×2=1．
例5.
（2019∙宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB=2，则⊙O的半径为____．

【答案】
3
【解析】
题干解析:连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC=，OC⊥AB，∴AC==，∵OA2-OC2=AC2，∴，解得，x=3．
例6.
（2019∙铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=100°，则∠DCE的度数为______；

【答案】
100°
【解析】
题干解析:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE=∠A=100°，
例7.
（2019∙鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE=∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A=30°，BC=4，求DF的长．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵∠ACB=90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，∵∠FDE=∠DCE，∠BCE+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠BDE+∠FDE=90°，即∠BDF=90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线。（2）如图，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=2×4=8，∴=4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∴∠DEA=180°-∠DEB=90°，∴，在Rt△BCD中，==2，在Rt△BED中，BE===5，∵∠FDE=∠DCE，∠DCE=∠DBE，∴∠FDE=∠DBE，∵∠DEF=∠BED=90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．
例8.
（2019∙鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC．过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH=2，求OM的长．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：连接OE，如图，∵GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，而∠GFE=∠AFH，∴∠GEF=∠AFH，∵AB⊥CD，∴∠OAF+∠AFH=90°，∴∠GEA+∠OAF=90°，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAF，∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，∴OE⊥GE，∴EG是⊙O的切线；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，在Rt△OCH中，（r-2）2+（2）2=r2，解得r=3，在Rt△ACH中，AC==2，∵AC∥GE，∴∠M=∠CAH，∴Rt△OEM∽Rt△CHA，∴=，即=，∴OM=。
例9.
（2018∙聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　）

A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
例10.
（2018∙眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（　）

A．27°
B．32°
C．36°
D．54°
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°。
例11.
（2018∙济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（　）

A．50°
B．60°
C．80°
D．100°
【答案】D
【解析】
题干解析:
圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
例12.
（2018∙重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（　）

A．4
B．2
C．3
D．2.5
【答案】A
【解析】
题干解析:
连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4。

例13.
已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　）
A．2cm
B．4cm
C．2cm或4cm
D．2cm或4cm
【答案】C
【解析】
题干解析:
连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4（cm），OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3（cm），
∴CM=OC+OM=5+3=8（cm），
∴AC===4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5-3=2（cm），
在Rt△AMC中，AC===2（cm）。

例14.
（2019∙葫芦岛）如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为（　）

A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
【答案】B
【解析】
题干解析:
连接OA、OC，
∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，
∴∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=70°，
∵OA=OB（都是半径），
∴∠ABO=∠OAB=（180°-∠AOB）=55°。

例15.
（2019∙宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（　）

A．6-π
B．6-π
C．12-π
D．12-π
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：=6×=6，∠FAB=∠EDC=120°，
∴图中阴影部分的面积是：6-=，
例16.
（2019∙玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　）

A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
题干解析:
如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP-OF，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5
∵∠OPB=90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB=×5=，==，
∴OP=，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴==，
∴OD=1，
∴MN最小值为OP-OF=-1=，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值=+1=，
∴MN长的最大值与最小值的和是6。

例17.
（2019∙包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（　）

A．π-1
B．4-π
C．
D．2
【答案】D
【解析】
题干解析:
连接CD，
∵BC是半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CD=BD，
∴阴影部分的面积=×22=2，


当堂练习
单选题
练习1.
（2018∙德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　）

A．2
B．
C．πm2
D．2πm2
【答案】A
【解析】
题干解析:

连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC=m，
∴阴影部分的面积是=（m2），
练习2.
（2018∙枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　）

A．
B．2
C．2
D．8
【答案】C
【解析】
题干解析:
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA-AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2。

练习3.
（2018∙天水）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（　）

A．π-4
B．
C．π-2
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴△OBC的BC边上的高为：OB=，
∴BC=2
∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=-×2×=π-2，
练习4.
（2018∙临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
设OA与BC相交于D点。
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．


填空题
练习1.
（2018∙随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=____度．

【答案】
60
【解析】
题干解析:如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，
练习2.
（2018∙孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．
【答案】
2或14
【解析】
题干解析:①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
解答题
练习1.
（2018∙金华）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B，∵∠B=∠1，∴∠1=∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，∴∠4=180°-（∠2+∠3）=90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，根据勾股定理得：AB==4，∴OA=4-r，在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，∴CD=ACtan∠1=2，根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4-r）2=r2+20，解得：r=。
练习2.
（2018∙河池）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A=∠CDE。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=4，BD=3，求CD的长．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：连接OC，∵DE⊥AE，∴∠E=90°，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠A=∠CDE，∴∠A+∠DCE=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO+∠DCE=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵AB=4，BD=3，∴OC=OB=AB=2，∴OD=2+3=5，∴CD===。
练习3.
（2018∙青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线。（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．