中考数学一轮复习讲义第11讲《一元一次不等式（组）程》教案

这是一份中考数学一轮复习讲义第11讲《一元一次不等式（组）程》教案，共23页。教案主要包含了不等式的概念，不等式基本性质，一元一次不等式，一元一次不等式组等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习讲义
考点十一: 一元一次不等式（组)
聚焦考点☆温习理解
一、不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

名师点睛☆典例分类
考点典例一、不等式的性质
【例1】【江苏省宿迁市2018年】若a＜b，则下列结论不一定成立的是（   ）
A. a-1＜b-1 B. 2a＜2b C. D.

【举一反三】
1.下列说法不一定成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

2.从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，使该不等式组的解集为x≥1，那么这个不等式可以是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2

考点典例二、解一元一次不等式
【例2】【安徽省2018年】不等式的解集是___________.

【举一反三】
1.【江苏省南京市2018年】 如图，在数轴上，点、分别表示数、.

（1）求的取值范围.
（2）数轴上表示数的点应落在（ ）
A．点的左边 B．线段上 C．点的右边

2. （2018山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，

若输入后程序操作仅进行了一次就停止，则的取值范围是 .

考点典例三、一元一次不等式组
【例3】【江苏省连云港市2018年】解不等式组：

【举一反三】
1. 【四川省凉山州2018年】若不等式组的解集为，则________.

2. 【四川省宜宾市2018年】不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为_____．

考点典例四、一元一次不等式（组）的应用
【例4】【四川省凉山州2018年】我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）

【举一反三】
1. （2018黑龙江齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
2. （2017黑龙江绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？

课时作业☆能力提升
一．选择题
1.设a，b是常数，不等式＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＜0的解集是 （ ）
A. x＞ B. x＜﹣ C. x＞﹣ D. x＜

2．【山东省滨州市2018年】把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A. B. C. D.

3. 【山东省泰安市2018年】不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

5. 【2018年重庆市】若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二．填空题
6. 【浙江省温州市2018年】不等式组的解是________．

7.对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．

8. （2018内蒙古通辽）不等式组的整数解是 ．

9. （2018•宜宾）在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是　　．

10.不等式组的解集为_________．

三、解答题
11.【天津市2018年】解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式（1），得 ．
（Ⅱ）解不等式（2），得 ．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

12解关于x的不等式组：．
13自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________.
根据上述规律，求不等式 的解集。

14（2018贵州安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

15. （2018内蒙古呼和浩特）已知关于的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）取何值时，该不等式有解，并求出解集．

16.（2018年湖北荆门）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？





















参考答案：
考点典例一、不等式的性质
【例1】【江苏省宿迁市2018年】若a＜b，则下列结论不一定成立的是（   ）
A. a-1＜b-1 B. 2a＜2b C. D.
【答案】D

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；
不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；
不等式性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.
【举一反三】
1.下列说法不一定成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C．[来源:学科网ZXXK]
【解析】
试题分析：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
C．当c=0时，若，则不等式不成立，故本选项正确；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．
故选C．
考点：不等式的性质．
2.从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，使该不等式组的解集为x≥1，那么这个不等式可以是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
【答案】A

点睛：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点典例二、解一元一次不等式
【例2】【安徽省2018年】不等式的解集是___________.
【答案】x＞10
【解析】【分析】按去分母、移项、合并同类项的步骤进行求解即可得.
【详解】去分母，得 x-8＞2，
移项，得 x＞2+8，
合并同类项，得 x＞10，
故答案为：x＞10.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤及注意事项是解题的关键.
【举一反三】
1.【江苏省南京市2018年】 如图，在数轴上，点、分别表示数、.

（1）求的取值范围.
（2）数轴上表示数的点应落在（ ）
A．点的左边 B．线段上 C．点的右边
【答案】（1）.（2）B.
【解析】分析：(1)根据点B在点A 的右侧列出不等式即可求出;
(2)利用(1)的结果可判断-x+2的位置.
详解：
（1）根据题意，得.解得.
（2）B.
点睛：本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案.
2. （2018山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，

若输入后程序操作仅进行了一次就停止，则的取值范围是 .
【答案】x＜8．
【解析】
试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，
解得x＜8．
考点：一元一次不等式的应用．
考点典例三、一元一次不等式组
【例3】【江苏省连云港市2018年】解不等式组：
【答案】﹣3≤x＜2

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
【举一反三】
1. 【四川省凉山州2018年】若不等式组的解集为，则________.
【答案】-1
【解析】分析：解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．
详解：由不等式得x＞a+2，x＜b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
2. 【四川省宜宾市2018年】不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为_____．
【答案】15

点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
考点典例四、一元一次不等式（组）的应用
【例4】【四川省凉山州2018年】我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）
【答案】至少涨到每股6.06元时才能卖出.

点睛：本题考查的是一元一次不等式在生活中的实际运用，解决本题的关键是读懂题意根据“总售价-两次交易费≥总成本+1000”列出不等关系式．
【举一反三】
1. （2018黑龙江齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
【答案】A
【解析】
试题分析：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，解得：m≤16 ，
∵m为整数，∴m最大取16，∴最多可以买16个篮球．
故选A．[来源:学科网]
考点：一元一次不等式的应用．
2. （2017黑龙江绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【答案】（1）甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）甲工程队至少修路8天．
【解析】
试题分析：（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
试题解析：（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：1.5× =，解得x=1.5，
经检验x=1.5是原方程的解，且x﹣0.5=1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路=15﹣1.5a（天），
由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
考点：1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1.设a，b是常数，不等式＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＜0的解集是 （ ）
A. x＞ B. x＜﹣ C. x＞﹣ D. x＜
【答案】B
【解析】解：解不等式，移项得： ．∵解集为x＜，∴，且a＜0，∴b=﹣5a＞0，解不等式bx﹣a＜0，得：-5ax＜a，两边同时除以-5a得： x＜．故选B．
2．【山东省滨州市2018年】把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
3. 【山东省泰安市2018年】不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题的关键．
5. 【2018年重庆市】若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加即可得.

【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.
二．填空题
6. 【浙江省温州市2018年】不等式组的解是________．
【答案】x＞4

点睛: 考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.
7.对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，∴a的范围为，故答案为：．
考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．新定义；3．含字母系数的不等式；4．阅读型．
8. （2018内蒙古通辽）不等式组的整数解是 ．
【答案】0，1，2

考点：一元一次不等式组的整数解
9. （2018•宜宾）在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是　　．
【答案】﹣3＜x＜0

点睛：本题考查点的坐标、一元一次不等式组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10.不等式组的解集为_________．
【答案】2≤x<4
【解析】解：解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，解不等式3x+2≤4x，得：x≥2，∴不等式组的解集为：2≤x＜4．故答案为：2≤x＜4．
三、解答题
11.【天津市2018年】解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式（1），得 ．
（Ⅱ）解不等式（2），得 ．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） （Ⅳ）.
【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．
详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；
（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来

（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键
12解关于x的不等式组：．
【答案】详见解析.
【解析】试题分析：利用不等式组的求解方法，求得各不等式组的解集，然后分别讨论a的取值，即可求得答案．
试题解析：∵，
由①得：（a﹣1）x＞2a﹣3③，
由②得：x＞，
当a﹣1＞0时，解③得：x＞，
若≥，即a≥时，
不等式组的解集为：x＞；
当1≤a＜时，不等式组的解集为：x≥；
当a﹣1＜0时，解③得：x＜，
若≥，即a≤时，＜x＜；
当a＜1时，不等式组的解集为：＜x＜．
∴原不等式组的解集为：当a≥时，x＞；
当a＜时，＜x＜．
13自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________.
根据上述规律，求不等式 的解集。
【答案】（1），（2）x＞2或x＜-1.
【解析】

考点：解不等式组.
14（2018贵州安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）4.
【解析】
试题分析：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
试题解析：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，

x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
15. （2018内蒙古呼和浩特）已知关于的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）取何值时，该不等式有解，并求出解集．
【答案】（1）x＜2；（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．
【解析】
试题分析：（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．

考点：不等式的解集．
16.（2018年湖北荆门）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一费用最低，最低费用是22320元．
【解析】
试题分析：（1）设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角（30﹣x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．若组建一个中型图书角的费用是860本，组建一个小型图书角的费用是570本，因此可以列出不等式组 ，解不等式组然后去整数即可求解．（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用即可．[来源:学科网ZXXK]
试题解析：解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30﹣x）个．
由题意，得，
化简得，
解这个不等式组，得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30﹣x=12；当x=19时，30﹣x=11；当x=20时，30﹣x=10．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；
方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；
方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
考点：一元一次不等式组的应用．