中考数学复习9：三角形

这是一份中考数学复习9：三角形，共46页。教案主要包含了相似三角形的定义，相似三角形的性质，直角三角形的边和角的关系，解直角三角形的类型及解法等内容，欢迎下载使用。

中考数学复习9：三角形
知识集结
知识元
三角形
图形的相似
知识讲解
比例的性质及相关计算
1．比例性质：
（1）基本性质：
（2）合比性质：
（3）等比性质：

(其中k为正整数，且b1＋b2＋b3＋…＋bk≠0)
补充：（1）反比性质：
（2）更比性质：或
（3）分比性质：
（4）合分比性质：
2．比例线段及相关概念
（1）两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比.
（2）成比例线段：如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作或a∶b＝c∶d。其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的第四比例项.
（3）比例中项：若，则称b是a，c的比例中项.
平行线分线段成比例定理
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图所示，如果l1∥l2∥l3，则，，.

2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
如图所示，若DE∥BC，则有，，.

如图所示，若AB∥DE，则有.

相似的概念和性质
一、相似三角形的定义
1.定义：
相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．
如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．

2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；
全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”.
二、相似三角形的性质：
1．相似三角形的对应角相等
如图，与相似，则有．

2．相似三角形的对应边成比例
如图，与相似，则有（为相似比）．

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
4．相似三角形周长的比等于相似比．
5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.
3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.
【补充说明】：
1.直角三角形相似的判定方法：
（1）以上各种判定方法均适用；
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；
（3）垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
2．几种特殊三角形相似的判定方法：
（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
（3）如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
相似的基本模型
（1）平行型：（A型，X型）




（2）交错型：

 



（3）旋转型： （4）母子三角形：

 



（5）一线三等角模型与相似
一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示：




总结出三等角模型的基本图形是：

位似
定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形。这个店叫做位似中心.
说明：从位似的定义中可以找到位似图形的判定及性质，在做题中这就是做题的依据.

例题精讲
图形的相似
例1.
（2019∙绥化）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN=MC；
（2）若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG=3：5，求NG∙CG的值．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°，∴ME=BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME=MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∵∠FME=90°，∴∠CME=∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN=MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴===，∴AF=2.4，CE=2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN=EC=2.4，∴AN=4.8，BN=6-4.8=1.2，∴AN=4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH=45°，∠DCM=∠BCH，∴∠MBH=90°，∠MCH=90°，∵MC=MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC=45°，∴∠NCH=45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG=HG，∵BG：MG=3：5，设BG=3a，则MG=GH=5a，在Rt△BGH中，BH=4a，则MD=4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD=6，∴DM+MG+BG=12a=6，∴a=，∴BG=，MG=，∵∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°，∴△MGC∽△NGB，∴=，∴CG∙NG=BG∙MG=。
例2.
（2019∙淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB=2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB=2α（0<α<90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H。∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM=∠FHM，∵∠EMD=∠FMH，EM=FM，∴△EDM≌△FHM（AAS），∴DE=FH，DM=MH，∵DE=2FG，BG=DG，∴HG=DG，∵∠DGH=∠BGF=90°，MH=DM，∴GM⊥DM，DM=MG，连接EB，BF，设BC=a，则AB=2a，BE=2a，BF=a，∵∠EBD=∠DBF=45°，∴∠EBF=90°，∴EF==a，∵EM=MF，∴BM=EF=a，∵HM=DM，GH=FG，∴MG=DF=a，∴==．（2）（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO=OA，DG=GB，∴GO∥AB，OG=AB，∵GF∥AC，∴O，G，F共线，∵FG=AB，∴OF=AB=DF，∵GF∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD与EF互相平分，∵EM=MF，∴点M在直线AD上，∵GD=GB=GO=GF，∴四边形OBFD是矩形，∴∠OBF=∠ODF=∠BOD=90°，∵OM=MD，OG=GF，∴MG=DF，设BC=m，则AB=2m，易知BE=2OB=2∙2m∙sinα=4msinα，BF=2BO°=2m∙cosα，DF=OB=2m∙sinα，∵BM=EF==，GM=DF=m∙sinα，∴==．
例3.
（2019∙绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图1中，作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O。∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值=，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．（3）连接FN，ME．∵k=3，MP=EF=3PE，∴==3，∴==2，∵∠FPN=∠EPM，∴△PNF∽△PME，∴==2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．∵∠MPE=∠FPH=60°，∴PH=2m，FH=2m，DH=10m，∴===．②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH=m，HE=m，∴HC=PH+PC=13m，∴tan∠HCE===，∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，∴==2，∴===，综上所述，a：b的值为或．
例4.
（2019∙成都）如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，∴△BAD∽△DCE。（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM∙tanB=4k×=3k，由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2，∴202=（3k）2+（4k）2，∴k=4或-4（舍弃），∵AB=AC，AM⊥BC，∴BC=2BM=2∙4k=32，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，∴∠BAD=∠ACB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴=，∴DB===，∵DE∥AB，∴=，∴AE===．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN=90°，MH=AN，∵AB=AC，AM⊥BC，∵AB=20，tanB=∴BM=CM=16，∴BC=32，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM===12，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF=90°=∠AMD，∵∠DAF=90°=∠MAN，∴∠NAF=∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴==tan∠ADF=tanB=，∴AN=AM=×12=9，∴CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7，当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD=2CH=14，∴BD=BC-CD=32-14=18，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=18．
例5.
（2019∙衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．

（1）求CD的长．
（2）若点M是线段AD的中点，求的值．
（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，在Rt△ADC中，DC=AC∙tan30°=6×=2。（2）由题意易知：BC=6，BD=4，∵DE∥AC，∴∠FDM=∠GAM，∵AM=DM，∠DMF=∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，∵DE∥AC，∴==，∴====．（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图3-1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．连接QC，QG．设⊙Q的半径为r．则QH=r，r+r=2，∴r=，∴CG=×=4，AG=2，由△DFM∽△AGM，可得==，∴DM=AD=．②当⊙Q经过点E时，如图3-2中，延长CQ交AB于K，设CQ=r．∵QC=QG，∠CQG=120°，∴∠KCA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠AKC=90°，在Rt△EQK中，QK=3-r，EQ=r，EK=1，∴12+（3-r）2=r2，解得r=，∴CG=×=，由△DFM∽△AGM，可得DM=．③当⊙Q经过点D时，如图3-3中，此时点M，点G与点A重合，可得DM=AD=4．观察图象可知：当DM=或 例6.
（2019∙重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是（　）

A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵△ABO∽△CDO，
∴=，
∵BO=6，DO=3，CD=2，
∴=，
解得：AB=4。
例7.
（2019∙玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（　）

A．3对
B．5对
C．6对
D．8对
【答案】C
【解析】
题干解析:
图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA
例8.
（2019∙苏州）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE=1，则△ABC的面积为（　）

A．4
B．4
C．2
D．8
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE=1，AB=2，即DE：AB=1：2，
∴S△DEC：S△ACB=1：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB=3：4，
∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE=×2×2+×2×1=2+1=3，
∴S△ACB=4，

例9.
（2019∙河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则=___．

【答案】

【解析】
题干解析:∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴===．
例10.
（2019∙淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=___．

【答案】
4
【解析】
题干解析:∵l1∥l2∥l3，∴=，又AB=3，DE=2，BC=6，∴EF=4，
例11.
（2019∙西藏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD=2，BD=6，则边AC的长为___．

【答案】
4
【解析】
题干解析:由射影定理得，AC2=AD∙AB=2×（2+6），解得，AC=4，
例12.
（2019∙吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为____m．
【答案】
54
【解析】
题干解析:设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴=，解得h=54（m）．
例13.
（2019∙凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为___．

【答案】
4
【解析】
题干解析:∵∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ．又∠B=∠C=90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ=y，BP=x，则CP=12-x．∴，化简得y=-（x2-12x），整理得y=-（x-6）2+4，所以当x=6时，y有最大值为4．
例14.
（2019∙宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=___．

【答案】

【解析】
题干解析:在Rt△ABC中，AB==5，由射影定理得，AC2=AD∙AB，∴AD==，
例15.
（2019∙岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
①AM平分∠CAB；
②AM2=AC∙AB；
③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；
④若AC=3，BD=1，则有CM=DM=．

【答案】
①②④
【解析】
题干解析:连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM=∠AMO，∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵∠CAM=∠MAB，∠ACM=∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2=AC∙AB，故②正确；∵∠APE=30°，∴∠MOP=∠OMP-∠APE=90°-30°=60°，∵AB=4，∴OB=2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB=，∴，BD=，∴PB=OB=OA，∴在Rt△OMP中，OM==2，∴∠OPM=30°，∴PM=2，∴CM=DM=DP=，故④正确．
例16.
（2019∙凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是___________．
【答案】
4：25或9：25
【解析】
题干解析:①当AE：ED=2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC=2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF=（）2=4：25；②当AE：ED=3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF=（）2=9：25，
例17.
（2019∙滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是_______________．
【答案】
（-1，2）或（1，-2）
【解析】
题干解析:以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（-2，4），∴点C的坐标为（-2×，4×）或（2×，-4×），即（-1，2）或（1，-2），
锐角三角函数
知识讲解
锐角三角函数的定义
一、锐角三角函数的定义
如图所示，在中，、、分别为、、的对边．

（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，
即．
（2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，
即．
（3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，
即．
二、解直角三角形的概念
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.
三、直角三角形的边和角的关系
如图，在中，若，则

三边之间的关系： (勾股定理)
锐角之间的关系：
边角之间的关系：，，
四、解直角三角形的类型及解法
1、已知两边
（1）已知两直角边(如和)，求出，由，得．
（2）已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则， ．
2、已知一边一角
（1）已知斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，，．
（2）已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，，．
特殊角的三角函数值
三角函数















常见辅助线的添加
对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程（组）来转化为四种基本类型求解.
（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；
（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：
①化斜为直：作垂线构成直角三角形；
②补成直角三角形：把特殊角放到补后的直角三角形中，利用特殊角的三角函数值去解题.
锐角三角函数的实际问题
一、仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图（1）．
二、坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图（2）．
三、方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向
作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．

 
例题精讲
锐角三角函数
例1.
（2019∙杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（　）

A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
【答案】D
【解析】
题干解析:
作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，
∴∠EAB=x，
∴∠FBA=x，
∵AB=a，AD=b，
∴FO=FB+BO=a∙cosx+b∙sinx，

例2.
（2019∙日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　）

A．11米
B．（36-15）米
C．15米
D．（36-10）米
【答案】D
【解析】
题干解析:
过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE=30米，∠BAE=30°，
∴BE=30×tan30°=10（米），
∴AC=ED=BD-BE=（36-10）（米）。
∴甲楼高为（36-10）米．

例3.
（2019∙长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　）

A．2
B．4
C．5
D．10
【答案】B
【解析】
题干解析:
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M。

∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴sin∠DBH===，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
例4.
（2019∙重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（　）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
【答案】B
【解析】
题干解析:
过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，BC=CD=52米，
∴设DG=x，则CG=2.4x。
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2=DC2，即x2+（2.4x）2=522，解得x=20，
∴DG=20米，CG=48米，
∴EG=20+0.8=20.8米，BG=52+48=100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM=BG=100米，BM=EG=20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM=27°，
∴AM=EM∙tan27°≈100×0.51=51米，
∴AB=AM+BM=51+20.8=71.8米．

例5.
（2019∙重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（　）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

A．17.0米
B．21.9米
C．23.3米
D．33.3米
【答案】C
【解析】
题干解析:
如图，设CD与EA交于F，
∵=1：2.4=，
∴设CF=5k，AF=12k，
∴AC==13k=26，
∴k=2，
∴AF=24，CF=10，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∵∠DEF=48°，
∴tan48°===1.11，
∴DF=33.3，
∴CD=33.3-10=23.3，
古树CD的高度约为23.3米

例6.
（2019∙泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　）km。

A．30+30
B．30+10
C．10+30
D．30
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE=45°，AB=30，
∴AE=BE=AB=30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，
∴CE=BE=10km，
∴AC=AE+CE=30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，


例7.
（2019∙荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为____海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）

【答案】
22
【解析】
题干解析:由题意得，MN=20，∠ANB=63.5°，∠BMN=45°，∠AMN=∠BNM=90°，∴BN=MN=20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE=MN=20，EN=AM，∵AM=MN∙tan26.5°=20×0.50=10，∴BE=20-10=10，∴AB==10≈22海里．
例8.
（2019∙天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD=9.6m，则旗杆AB的高度为______m．

【答案】
14.4
【解析】
题干解析:作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED=90°，四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=9.6m，∠CDE=∠DEA=90°，∴∠ADC=90°+30°=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACD=30°，∴∠CAD=30°=∠ACD，∴AD=CD=9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=AD=4.8m，∴AB=AE+BE=4.8m+9.6m=14.4m；
例9.
（2019∙宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为_____米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】
566
【解析】
题干解析:如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=OC．∵OA=400米，∴OC=OA∙cos45°=400×=200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC=200米，∴OB===400≈566（米）
例10.
（2019∙河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1m，∵AB=21m，∴BC=AC-AB=61.1m，在Rt△BCD中，tan60°==，∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7m，∴DE=CD-EC=105.7-55≈51m，答：炎帝塑像DE的高度约为51m。
例11.
（2019∙郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA=90°，由题意得：AC=30km，∠CAD=90°-45°=45°，∠BAD=90°-60°=30°，∴AD=CD=AC=15，AD=BD，∴BD==5，∴AB===10≈10×2.449≈24.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km。
例12.
（2019∙怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:如图，作AD⊥BC于D。由题意可知：BC=1.5×40=60米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=60米．在Rt△ACD中，AD=AC∙sin60°=60×=30（米）．答：这条河的宽度为30米．
例13.
（2019∙绍兴）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图2中，作BO⊥DE于O。∵∠OEA=∠BOE=∠BAE=90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA=90°，∴∠DBO=150°-90°=60°，∴OD=BD∙sin60°=20（cm），∴DF=OD+OE=OD+AB=20+5≈39.6（cm）．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH=60°，∠CHB=90°，∴∠BCH=30°，∵∠BCD=165°，°∠DCP=45°，∴CH=BCsin60°=10（cm），DP=CDsin45°=10（cm），∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=（10+10+5）（cm），∴下降高度：DE-DF=20+5-10-10-5=10-10=3.2（cm）．
例14.
（2019∙广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．（参考数据：=1.4，=1.7）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）在Rt△EFH中，∠HEF=90°，∠HFE=45°，∴HE=EF=10，∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED=60°，∴DG=DEtan60°=DE，设DE=x米，则DG=x米，在Rt△GFD中，∠GDF=90°，∠GFD=45°，∴GD=DF=EF+DE，∴x=10+x，解得：x=5+5，∴CG=DG+DC=x+1.5=（5+5）+1.5=16.5+5≈25，答：教学楼CG的高约为25米。
例15.
（2019∙衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG=FP=BH，DF=GP，∵坡面CD=10米，山坡的坡度i=1：，∴∠DCG=30°，∴FP=DG=CD=5，∴CG=DG=5，∵∠FEP=60°，∴FP=EP=5，∴EP=，∴DF=GP=5+10+=+10，∵∠AEB=60°，∴∠EAB=30°，∵∠ADH=30°，∴∠DAH=60°，∴∠DAF=30°=∠ADF，∴AF=DF=+10，∴FH=AF=+5，∴AH=FH=10+5，∴AB=AH+BH=10+5+5=15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米。
例16.
（2019∙陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=BD，BH=CD=0.5。在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴AH=CH=BD，∴AB=AH+BH=BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG=∠ABG=90°．由题意，易知∠EGF=∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴=即=，解之，得BD=17.5，∴AB=17.5+0.5=18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．
当堂练习
单选题
练习1.
（2019∙泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　）km。

A．30+30
B．30+10
C．10+30
D．30
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE=45°，AB=30，
∴AE=BE=AB=30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，
∴CE=BE=10km，
∴AC=AE+CE=30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，


练习2.
（2019∙广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN：S△ADM=1：4．其中正确的结论有（　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵四边形EFGB是正方形，EB=2，
∴FG=BE=2，∠FGB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD=4，AH=2，
∠BAD=90°，
∴∠HAN=∠FGN，AH=FG，
∵∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN=∠HFG，
∵AG=FG=2=AH，
∴AF=FG=AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN=AG=1，
∵GM=BC=4，
∴==2，
∵∠HAN=∠AGM=90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN=∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK=∠AMG，
∴∠AHK=∠HAK，
∴AK=HK，
∴AK=HK=NK，
∵FN=HN，
∴FN=2NK；故③正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM=AG=2，
∵S△AFN=AN∙FG=2×1=1，S△ADM=AD∙DM=×4×2=4，
∴S△AFN：S△ADM=1：4故④正确，

填空题
练习1.
（2018∙衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_______（只需写一个，不添加辅助线）．

【答案】
AB=ED
【解析】
题干解析:添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），
练习2.
（2018∙湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为_______________．

【答案】
x2+32=（10-x）2
【解析】
题干解析:设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．
练习3.
（2019∙乐山）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，cosC=．则AB边的长为___．

【答案】

【解析】
题干解析:如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=2，cosC=，∴=，∴CH=，∴AH===，在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°，∴AB=2AH=，
练习4.
（2018∙安顺）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，-1），（-2，0），则点P4的坐标为_______．

【答案】
（8，0）
【解析】
题干解析:∵点P1，P2的坐标分别为（0，-1），（-2，0），∴OP1=1，OP2=2，∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，∴=，即=，解得，OP3=4，∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，∴=，即=，解得，OP4=8，则点P4的坐标为（8，0），
解答题
练习1.
（2018∙桂林）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1小时）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D∵∠BCD=45°，BD⊥CD∴BD=CD在Rt△BDC中，∵cos∠BCD=，BC=60海里即cos45°=，解得CD=海里∴BD=CD=海里在Rt△ADC中，∵tan∠ACD=即tan60°==，解得AD=海里∵AB=AD-BD∴AB=-=30（）海里∵海监船A的航行速度为30海里/小时则渔船在B处需要等待的时间为==≈2.45-1.41=1.04≈1.0小时∴渔船在B处需要等待1.0小时