第6讲《圆》第3课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第六讲“圆”.（第三课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练掌握圆中的性质并准确计算弧长、扇形面积；
2.会解、证角与线段相关的几何问题；
3.会解与三角形、方程、函数等知识点结合、设计一类的与圆相关的中考试题.
数学思考
通过应用、计算、证明等学习，让学生深刻了解中考圆部分重难知识点考察内容，并能掌握与三角形、方程、函数等知识结合内容.
问题解决
1.培养学生的计算证明推理能力；
2.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，设计具有挑战性的场景，激发学生求知、探索的欲望.
[教学重点、难点]
教学重点：圆心角，圆周角，直线、图形与圆的关系.
教学难点：方程、函数、三角形、四边形等与圆结合.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 佳题补充
教学路径
教学说明
佳题补充
分三页出示
（选讲）如图所示，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
解析：（1）可过点C作y轴垂线CH，易得△CHA≌△AOB，从而C点坐标易知，进而抛物线解析式易得．
动画作CH⊥y轴于点H，之后△CHA、△AOB涂色
答案：解：过点C作CH⊥y轴于H，易得△CHA≌△AOB，
∵△CHA≌△AOB，
∴AH=BO=2，CH=AO=1，OA与CH边颜色一样，BO与AH
∴OH=OA+AH=3，
∴C（-1，-3）, 下一步
将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，
解得 b=，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（选讲）如图所示，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
解析：（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，
动画直尺向右运动，运动到与BC相交的地方（差不多BC中间位置就可以）下一步
因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．交BC于M，交抛物线于点N，之后在M边上写（x，yM），N边上写（x，yN） 下一步
作差得MN= yM-yN，关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．
答案：设lBC：y=kx+b，
∵B（-2，0），C（-1，-3），
易求得lBC：y=-3x-6，
设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），下一步
∵xM=xN（记为x），yM≥yN，
∴MN =-3x-6-（x2+x-3）=，（-2≤x≤-1），
∴当x=-时，线段MN长度为最大值．
（选讲）如图所示，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
（3）设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）

解析：根据（1）中所求B、C点坐标可得BC=，那么⊙Q是以BC长为直径的圆;
动画右图，先颜色描BC，之后在图边上写一下BQ=，在之后以Q为圆心BC为直径画圆（圆画虚线）， 下一步
由点P为A’D’边上一点，且PQ=，所以P定为A’D’与⊙Q的交点;
动画表示A’D’线段（这个地不要直尺了，用A’D’线段）在B点处向右运动，A’D’运动到y轴时停止，
下一步
停止后先动画将弧CD. 画为实线
下一步
在画弧AB和弧EC，画为实线，（D点为现在右图中直尺与圆相交的点，E为y轴于圆的交点）（其中弧CD一个颜色，弧AB和弧EC一个颜色）
下一步
动画换另外颜色涂下B、C点， 下一步
由此点P可在抛物线外、抛物线上、抛物线内三种情况，进而分析PA、PB、PC之间的数量关系.
答案：解： = 1 \* GB3 ①当P在抛物线外时，即在弧CD上运动（不含C），连接PB、PC、PA，
出来上面的话后 先闪烁一下弧CD（点C点别闪），之后在连接PB、PC、PA
下一步
由图知：PB2+PC2=BC2＞PA2
∴PB2+PC2＞PA2
下一步或PB+PC＞BC＞PA
∴PB+PC＞PA 下一步
= 2 \* GB3 ②当P在抛物线上时，即P与B或C重合时
出来上面的话后 先闪烁一下点B、C，之后在连接PB、PC、PA 下一步
由图知：PB+PC=PA 下一步
= 3 \* GB3 ③当P在抛物线内时，即P在弧AB或弧CE上运动时，连接PB、PC、PA，
出来上面的话后 先闪烁一下弧AB或弧CE，之后在连接PB、PC、PA 下一步
由图知：PB2+PC2=BC2＞PA2
∴PB2+PC2＞PA2 下一步
或PB+PC＞BC＞PA
∴PB+PC＞PA
下一步
综上所述： = 1 \* GB3 ①当P在抛物线外时PB2+PC2＞PA2（PB+PC＞PA）
= 2 \* GB3 ②当P在抛物线上时PB+PC=PA
= 3 \* GB3 ③当P在抛物线内时PB2+PC2＞PA2（PB+PC＞PA）
教师讲解重点：
= 1 \* GB3 ①在抛物线与直线结合中求解竖直线段的最值时，可选用该题目的方法，亦可选用平移直线，与抛物线相切的方法.
= 2 \* GB3 ②理解P点所在位置，能够做出以Q为圆心，BC为直径的圆，并理解P即为该圆与A’D’线段的交点.
= 3 \* GB3 ③能够分出P在抛物线外、在抛物线上、在抛物线内的三种情况.
分三页出示
（选做）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时：
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
解析：法一：以O为圆心，2为半径作圆，若点在此圆的内部或圆周上，则该点存在反称点；
在图中表示该圆，并在点N、T后打“√”，在M后打“×” 下一步
法二：验证OM、ON、OT与⊙O半径的数量关系， 若其长度大于2r，则不存在反称点；若其长度小于等于2r，则存在反称点.
下一步
答案：解：由M（2，1），
∴OM=＞2 连接OM，写出OM的长度，
∴不存在点M关于⊙O的反称点；
下一步
同理可得：ON=＜2r，OT=2=2r，
连接ON，写出ON的长度；连接OT，写出OT的长度2， 下一步
∴N关于⊙O的反称点N’=
T关于⊙O的反称点T’=（0,0）
（选做）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时：
②点P在直线y=-x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
解析：法一：以O为圆心，2为半径作圆，直线AB在该圆上或在该圆内的点对应的横坐标的取值即为所求；
在图中表示该圆，之后动画表示线段AB，并将A点、B点处画圈（代表不取）
下一步
法二：取直线AB上任意一点M（x，-x+2），表示MO的长度，且MO≤2.
答案：解：（法一）如图所示，以O为圆心，2为半径作圆，线段AB在该圆上和在该圆内部，线段AB对应的横坐标取值范围为：0≤x≤2，
上面的话出示后在动画画OA 下一步
又∵点P′不在x轴上，
∴0＜xP＜2 下一步
解：（法二）在AB上取任意一点M（x，-x+2），
动画在AB上点一点M，之后在M后面写上“（x，-x+2）”，之后在连接OM
下一步
∴OM2=x2+(x-2)2≤4
解得：0≤x≤2
又∵点P′不在x轴上，
∴0＜xP＜2
（选做）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
解析：注意“线段AB”及“存在”点P；
图示中动画表示“线段AB” 下一步
若P′在⊙C的内部，则线段AB上必存在点P，使得1＜PC≤2，
当C1（2,0）时，线段AB上只存在一点P1且C1P1⊥AB；
动画⊙C在x轴上运动过程中，做C到直线AB的垂线，当C运动到（2,0）时停止，标记此时为C1，做C1P1垂直AB，突出P1，得C1P1=2. 下一步
当C2（8,0）时，线段AB上只存在一点P2且P2与A重合.
动画⊙C，在上面的C1处开始继续沿x轴向前运动，运动到C2（8,0）处停止，标记C2（8,0），并连接AC2，指出AC2=2
答案：解：∵P′在⊙C的内部，
∴线段AB上必存在点P，使得1＜PC≤2，
又∵直线y=-x+2与x轴夹角∠BAO=30°，
∴当⊙C的圆心C在C1（2,0）时，作C1P1⊥AB，易求C1P1=2
此时恰好首次满足反称点P′在⊙C的内部，且P′（2,0），
同理可知，⊙C在x轴上运动，当⊙C的圆心C在C2（8,0）时，,在线段AB上只有点A到C2的距离为2，即AC2=2，此时也恰好满足反称点P′在⊙C的内部，且P′（8,0），
综上所述：若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，则圆心C的横坐标的取值范围为2≤x≤8.