2018_2019学年青岛市李沧区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年青岛市李沧区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 等腰三角形的一个角是 70∘，则它顶角的度数是
A. 70∘B. 40∘C. 70∘ 或 20∘D. 70∘ 或 40∘

3. 下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是
A. x2−y2B. −x2−y2C. 4x2−y2D. −4+y2

4. 下列不等式求解的结果，正确的是
A. 不等式组 x≤−3,x≤−5 的解集是 x≤−3
B. 不等式组 x>−5,x≥−4 的解集是 x>−4
C. 不等式组 x>5,x<−7 无解
D. 不等式组 x≤10,x>−3 的解集是 −3≤x≤10

5. 如图，如果把 △ABC 的顶点 A 先向下平移 3 格，再向左平移 1 格到达 Aʹ 点，连接 AʹB，则线段 AʹB 与线段 AC 的关系是
A. 垂直B. 相等C. 平分D. 平分且垂直

6. 下列各式从左到右的变形不正确的是
A. −−5x3y=5x−3yB. −y−6x=y6x
C. 3x−4y=−3x4yD. −23y=−23y

7. 如图，已知：在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 边的中点，G，H 是对角线 BD 上的两点，且 BG=DH，则下列结论中不正确的是
A. GF⊥FHB. GF=EH
C. EF 与 AC 互相平分D. EG=FH

8. 如图，△ABC 的周长为 32，点 D，E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC=12，则 PQ 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式：3m2−27= ．

10. 小明家离学校 2000 米，小明平时从家到学校需要用 x 分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快 5 米/分钟，结果比平时少用了 2 分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．

11. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，若 DB=10 cm，则 AC= cm．

12. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图 1 所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE，其中 ∠BAC= 度．

13. 已知 x−32+∣2x−3y−m∣=0 中，y 为正数，则 m 的取值范围是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=2 cm．现在将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转至 △AʹBʹCʹ，使得点 Aʹ 恰好落在 AB 上，连接 BBʹ，则 BBʹ 的长度为 ．

15. 如图，直线 y=kx+b 经过 A2,1，B−1,−2 两点，则不等式 −2
16. 如图所示是一种棱长分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用 3 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2，如果用 4 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2，如果用 12 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知：直线 AB 与 BC 相交于点 B，点 D 是直线 BC 上一点．
求作：点 E，使直线 DE∥AB，且 E 到 B，D 两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）．

18. （1）分解因式：xy2−2xy+x．
（2）若代数式 −3x，2x3−1，1 在数轴上位置为从左往右依次排列，求 x 的取值范围．
（3）化简：2m+1m+m÷m2−1m．
（4）先化简，再求值 x2−1x2−2x+1+x2−2xx−2÷x，其中 x=12．

19. 解方程：
（1）x−2x−3=2+13−x．
（2）2x2−4+xx−2=1．

20. 已知：关于 x 的方程 x+m3−2x−12=m 的解为非正数，求 m 的取值范围．

21. 如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC，AE⊥BD 于点 O，交 BC 于点 E，AD∥BC，连接 CD．
（1）求证：AO=EO；
（2）若 AE 是 △ABC 的中线，则四边形 AECD 是什么特殊四边形?证明你的结论．

22. 五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共 2000 件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵 10 元，用 350 元购买甲种物品的件数恰好与用 300 元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元?
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的 3 倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000 件物品，需筹集资金多少元?

23. 数学问题：计算等差数列 5，2，−1，4⋯⋯ 前 n 项的和．
问题探究：为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行探究．
（1）探究一：首先我们来认识什么是等差数列．
数学上，称按一定顺序排列的一列数为数列，其中排在第一位的数称为第 1 项，用 a1 表示；排在第二位的数称为第 2 项，用 a2 表示 ⋯⋯ 排在第 n 位的数称为第 n 项，用 an 表示．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．如：数列 2，4，6，8，⋯ 为等差数列，其中 a1=2，公差 d=2．
（1）已知等差数列 5，2，−1，−4，⋯ 则这个数列的公差 d= ，第 5 项是 ．
（2）如果一个数列 a1，a2，a3，a4，⋯ 是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到：a2−a1=d，a3−a2=d，a4−a3=d，⋯⋯an−an−1=d，所以 a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a1+3d，⋯⋯；由此可得 an= （用 a1 和 d 的代数式表示）．
（3）对于等差数列 5，2，−1，−4，⋯，an= ．请判断 −2020 是否是此等差数列的某一项，若是，请求出是第几项；若不是，说明理由．
（2）探究二：二百多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出 1+2+3+4+⋯+100 的值．我们从这个算法中受到启发，用此方法计算数列 1，2，3，⋯，n 的前 n 项和：由 1+2+⋯+n−1+nn+n−1+⋯+2+1n+1n+1+⋯+n+1+n+1 可知 1+2+3+⋯+n=n+1×n2．
（4）请你仿照上面的探究方式，解决下面的问题：
若 a1，a2，a3，⋯，an 为等差数列的前 n 项，前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+⋯+an．证明：Sn=na1+nn−12d．
（5）计算：计算等差数列 5，2，−1，−4⋯ 前 n 项的和 Sn（写出计算过程）．

24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm．∠B=30∘．点 P 在 BC 上由点 B 向点 C 出发，速度为每秒 2 cm；点 Q 在边 AD 上，同时由点 D 向点 A 运动，速度为每秒 1 cm，当点 P 运动到点 C 时，P，Q 同时停止运动．连接 PQ，设运动时间为 t 秒．
（1）当 t 为何值时四边形 ABPQ 为平行四边形?
（2）设四边形 ABPQ 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式．
（3）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三，并求出此时 ∠PQD 的度数．
（4）连接 AP，是否存在某一时刻 t，使 △ABP 为等腰三角形?并求出此刻 t 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
2. D【解析】分两种情况：
① 70∘ 是底角时，则顶角为：180∘−70∘×2=40∘；
② 70∘ 为顶角．
综上所述，顶角的度数为 40∘ 或 70∘．
3. B【解析】A、 x2−y2 符合平方差公式，故本选项错误；
B、 −x2 与 −y2 符号相同，不能运用平方差公式，故本选项正确；
C、 4x2−y2 符合平方差公式，故本选项错误；
D、 −4+y2，符合平方差公式，故本选项错误．
4. C【解析】A．不等式组 x≤−3,x≤−5 的解集根据“同小取较小”的原则可知，此不等式组的解集为 x≤−5，故选项错误；
B．不等式组 x>−5,x≥−4 的解集根据“同大取较大”的原则可知，此不等式组的解集为 x≥−4，故选项错误；
C．不等式组 x>5,x<−7 的解集根据“大大小小解不了”的原则可知，此不等式组的解集为无解，故选项正确；
D．不等式组 x≤10,x>−3 的解集根据“小大大小中间找”的原则可知，此不等式组的解集为 −35. D
6. A【解析】A、改变分式本身的符号，分母，分子的符号，分式的值变成原来的相反数，不正确；
B、同时改变分式的分子，分母的符号，其值不变，正确；
C、改变分式本身的符号，分母的符号，分式的大小不变，正确；
D、改变分式本身的符号，分子的符号，分式的大小不变，正确．
7. A【解析】如图，连接 EF 交 BD 于点 O，
在平行四边形 ABCD 中的 AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E，F 分别是 AD，BC 边的中点，
∴DE∥BF，DE=BF=12BC，
∴ 四边形 AEFB 是平行四边形，有 EF∥AB，
∵ 点 E 是 AD 的中点，
∴ 点 O 是 BD 的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点 O 也是 AC 的中点，也是 EF 的中点，故C正确，
又 ∵BG=DH，
∴△DEH≌△BFG，
∴GF=EH，故B正确，
∠DHE=∠BGF，
∴∠GHE=∠HGF，
∴△EHG≌△FGH，
∴EG=HF，故D正确，
∴GF∥EH，即四边形 EHFG 是平行四边形，而不是矩形，故 ∠GFH 不是 90 度，
∴ A不正确．
8. C【解析】∵BQ 平分 ∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠ABQ=∠EBQ，
∵∠ABQ+∠BAQ=90∘，∠EBQ+∠BEQ=90∘，
∴∠BAQ=∠BEQ，
∴AB=BE，
同理：CA=CD，
∴ 点 Q 是 AE 中点，点 P 是 AD 中点（三线合一），
∴PQ 是 △ADE 的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=32−BC=32−12=20，
∴DE=BE+CD−BC=8，
∴PQ=12DE=4．
第二部分
9. 3m+3m−3
10. 2000x−2−2000x=5
【解析】设小明平时从家到学校需要用 x 分钟，
则实际从家到学校用 x−2 分钟，
根据题意，
得 2000x−2−2000x=5．
11. 5
【解析】如图，连接 AD，
∵AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，
∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15∘，
∴∠ADC=30∘，
∵ 在 △ABC 中，∠C=90∘，
∴AC=12AD=5 cm．
12. 36
【解析】∵∠ABC=5−2×180∘2=108∘，△ABC 是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36 度．
13. m<6
【解析】因为 x−32+∣2x−3y−m∣=0，
所以 x−3=0，2x−3y−m=0，
所以 x=3，
则 6−3y−m=0，
则 y=6−m3．
因为 y 为正数，
所以 6−m3>0．
所以 m<6．
14. 23 cm
【解析】∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=2 cm，
∴∠A=60∘，AB=4 cm，
∴AʹC=2 cm，AʹBʹ=4 cm，BC=BʹC，∠ACAʹ=∠BCBʹ，
∵AC=AʹC，∠A=60∘，
∴△ACAʹ 是等边三角形，
∴∠ACAʹ=60∘，AAʹ=2 cm，
∴AʹB=2 cm，∠BCBʹ=60∘，且 BC=CBʹ，
∴△BCBʹ 是等边三角形，
∴∠CBBʹ=60∘，
∴∠AʹBBʹ=90∘，
∴BBʹ=23 cm．
15. −1【解析】由题意可得：一次函数图象在 y=1 的下方时 x<2，在 y=−2 的上方时 x>−1，
∴ 关于 x 的不等式 −216. 202，258，484
【解析】用 3 块来搭成的大长方体长 3×3=9cm，宽 4 cm，高 5 cm，
S表面积=9×4+9×5+4×5×2=36+45+20×2=101×2=202cm2.
答：如果用 3 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 202 cm2．
用 4 块来搭成的大长方体长 4×2=8cm，宽 3×2=6cm，高 5 cm，
S表面积=9×6+9×5+6×5×2=54+45+30×2=129×2=258cm2.
答：如果用 4 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 258 cm2．
用 12 块来搭成的大长方体长 3×3=9cm，宽 4×2=8cm，高 5×2=10cm，
S表面积=9×8+9×10+8×10×2=72+90+80×2=242×2=484cm2.
答：如果用 12 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 484 cm2．
第三部分
17. （1）作 ∠MDC=∠ABC；
（2）作 BD 的垂直平分线交 MN 于 E，
如图，点 E 为所作．
18. （1） 原式=xy2−2y+1=xy−12.
（2） 由题意，得：
−3x<2x3−1, ⋯⋯①2x3−1<1. ⋯⋯②
解不等式 ①，得：
x>311.
解不等式 ②，得：
x<3.
则
311 （3） 原式=m2+2m+1m⋅mm+1m−1=m+12m⋅mm+1m−1=m+1m−1.
（4） 原式=x+1x−1x−12+xx−2x−2⋅1x=x+1x−1+1=x+1x−1+x−1x−1=2xx−1.
当 x=12 时，
原式=2×1212−1=1−12=−2.
19. （1） 化简得：
x−2=2x−6−1.
解得：
x=5.
经检验 x=5 是分式方程的解．
（2） 化简得：
2+x2+2x=x2−4.
解得：
x=−3.
经检验 x=−3 是分式方程的解．
20. 解方程 x+m3−2x−12=m，得：x=3−4m4，
∵ 方程的解为非正数，
∴3−4m4≤0，
解得：m≥34．
21. （1） ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AOB=∠EOB=90∘．
又 ∵BO=BO，
∴△AOB≌△EOB，
∴AO=EO．
（2） 平行四边形．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又 ∵AO=EO，∠AOD=∠EOB，
∴△AOD≌△EOB，
∴AD=BE，
∵AE 是 △ABC 的中线，
∴BE=CE，
∴AD=CE，
又 ∵AD∥EC，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形．
22. （1） 设每件乙种物品的价格是 x 元，则每件甲种物品的价格是 x+10 元，
根据题意，得
350x+10=300x.
解得
x=60.
经检验 x=60 是原方程的解．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是 70 元、 60 元．
（2） 设甲种物品件数为 m 件，则乙种物品件数为 3m 件，
根据题意，得
m+3m=2000.
解得
m=500.
即甲种物品件数为 500 件，则乙种物品件数为 1500 件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000 件物品，需筹集资金 125000 元．
23. （1） （1）−3；−7
（2）an=a1+n−1d
（3）−3n+8
等差数列 5，2，−1，−4，⋯，
则公差 d=2−5=−3，
∴an=5−3n−1=−3n+8，
5−3n−1=−2020，
n=676，
∴−2020 是此等差数列的某一项，是第 676 项．
【解析】（1）d=2−5=−3，第 5 项是：−4−3=−7．
（2）由题意得：an=a1+n−1d．
（2） （4）∵Sn=a1+a2+a3+⋯+an−1+an, ⋯⋯①
∴Sn=an+an−1+an−2+⋯+a2+a1, ⋯⋯②
则：①+② 得 2Sn=na1+an，
又 ∵an=a1+n−1d，
∴2Sn=na1+a1+n−1d，
∴Sn=na1+nn−12d．
（5）等差数列 5，2，−1，−4⋯，
∵a1=5，d=2−5=−3，
∴ 由前 n 项和的公式 Sn=na1+nn−12d 得：Sn=5n+−3nn−12=−3n22+132n．
24. （1） 由运动知，AQ=12−t，BP=2t，
∵ 四边形 ABPQ 为平行四边形，
∴AQ=BP，
∴12−t=2t，
∴t=4，
即：t=4 s 时，四边形 ABPQ 是平行四边形．
（2） 如图 1，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，
在 Rt△ABE 中，
∵∠B=30∘，AB=6，
∴AE=3，
由运动知，BP=2t，DQ=t，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=12，
∴AQ=12−t，
∴y=S四边形ABPQ=12BP+AQ⋅AE=122t+12−t×3=32t+180 （3） 由（2）知，AE=3，
∵BC=12，
∴S四边形ABCD=12×3=36cm2，
由（2）知，y=S四边形ABPQ=32t+180 ∵ 四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三，
∴32t+18=34×36，
∴t=6；
如图 3，
当 t=6 时，点 P 和点 C 重合，DQ=6，
∵CD=AB=6，
∴DP=DQ，
∴∠DQC=∠DPQ，
∵∠D=∠B=30∘，
∴∠DQP=75∘．
（4） 分三种情况讨论：
①当 AB=BP 时，BP=6，即 2t=6，t=3；
②当 AP=BP 时，如图 2，
∵∠B=30∘，过 P 作 PM 垂直于 AB，垂足为点 M，
∴BM=3，BP=23，
∴2t=23，
∴t=3；
③当 AB=AP 时，同（2）的方法得，BP=63，
∴2t=63，
∴t=33，
∴ 当 t=3或3或33 时，△ABP 为等腰三角形．