2019年云南省昆明市中考二模数学试卷

这是一份2019年云南省昆明市中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. −12 的倒数是 ．

2. 据报道，截止 2019 年 1 月，在全国公安机关开展扫黑除恶专项斗争中，共破获各类刑事案件 79270 起，刑事案件同比下降 7.7%．数字 79270 用科学记数法表示为 ．

3. 分解因式：2a3b−2ab3= ．

4. 如图，分别以线段 AB 的端点 A 和 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线 l，在直线 l 上取一点 C，使得 ∠CAB=25∘，延长 AC 至 M，∠BCM 的度数为 ∘．

5. 如图，点 A，B 为反比例函数 y=kx 的图象上两点，过 A 作 AC⊥x 轴于点 C，作 AE⊥y 轴于点 E，过 B 作 BD⊥x 轴于点 D 交 AE 于 F，若点 C−4,0，D 为 OC 中点，BF=1，则 k 的值为 ．

6. 如图，正方形 ABCD 由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 构成．设直角三角形的两条直角边分别为 a，bb>a，正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积分别为 25，9，则 a+b= ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 下列四个几何体的俯视图中与其他三个俯视图不同的是
A. B.
C. D.

8. 下列说法正确的是
A. 甲、乙两人射中环数的方差分别为 s甲2=2，s乙2=3，说明甲的射击成绩比乙稳定
B. 为了解全国七年级学生的身高情况，适宜采用全面调查
C. 数据 5，3，5，1，1，1 的众数是 5
D. 数据 3，5，4，6，2 的平均数是 5

9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A1,2，B2,5，C5,3，如果将 △ABC 平移得到 △A1B1C1，已知点 A1 的坐标为 −2,1，则点 B1，C1 的坐标分别为
A. −2,4，2,2B. −2,4，2,1
C. −1,4，2,2D. −1,4，2,1

10. 不等式组 x+1>0,2x−6≤0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

11. 下列运算正确的是
A. 25−5=2B. 20190−−12−1=3
C. tan60∘−1=1−3D. 3a−2a−2=a−4

12. 如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，则 ∠ADB 的度数是
A. 50∘B. 48∘C. 36∘D. 30∘

13. 已知 ⊙O 的半径为 6，弦 AB 与半径相等，则用扇形 OAB 围成的圆锥的底面半径为
A. 1 或 4B. 4C. 1 或 5D. 5

14. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，其对称轴为 x=1，与 x 轴负半轴的交点为 −1,0，则下列结论正确的是
A. abc>0
B. 一元二次方程 ax2+b−2x+c=0 无实根
C. 2a−b=0
D. b2−4ac=6a+b2

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上，BF=CE，∠B=∠E，请添加一个条件，使 △ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线），并证明．

16. 观察下列等式的规律：
11×2+12×3+13×4+14×5=1−12+12−13+13−14+14−15=1−15=45.
请用上述等式反映出的规律解决下列问题．
（1）请直接写出 11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12019×2020 的值为 ；
（2）化简：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1n×n+1．

17. 4 月 23 日为世界阅读日，为响应党中央“倡导全民阅读，建设书香社会”的号召，某校团委组织了一次全校学生参加的“读书活动”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了部分学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表（频数频率分布表和频数分布直方图）：
成绩x分频数人频率50≤x<60100.0560≤x<70300.1570≤x<8040n80≤x<90m0.3590≤x≤100500.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）抽取的样本容量是 ；m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；这 200 名学生成绩的中位数会落在 分数段；
（3）全校有 1200 名学生参加比赛，若得分为 90 分及以上为优秀，请你估计全校参加比赛成绩优秀的学生人数．

18. 如图，有四张正面标有数字 −2，3，−1，2，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字．
−23−12
（1）第一次抽到数字 2 的卡片的概率是 ；
（2）设第一次抽到的数字为 x，第二次抽到的数字为 y，点 M 的坐标为 x,y，请用树状图或列表法求点 M 在第三象限的概率．

19. 某学校举行“青春心向党，建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用 480 元购买甲种奖品的数目恰好与用 360 元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多 10 元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元?
（2）如果需要购买甲乙两种奖品共 100 个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的 2 倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少?

20. “普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为 30 元/盒，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于 240 盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 500 元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少?（注：净利润 = 总利润 − 捐款）

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 O 在 BC 上，以 OB 为半径的 ⊙O 经过点 A，交 BC 于点 D，连接 AD，AD=CD．
（1）求证：AC 为 ⊙O 的切线；
（2）延长 AD 到点 F，连接 BF，交 ⊙O 于点 E，连接 DE，若 AF=4，BF=5，求 ⊙O 的半径．

22. 如图，二次函数 y=ax2−2x+c 的图象与 x 轴交于 A1,0，B−3,0 两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点 E 的坐标；
（2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标．

23. 如图 1，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为点 E，GF⊥CD，垂足为点 F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形 CEGF 是正方形；
②推断：AGBE 的值为 ；
（2）探究与证明：
将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 α 角 0∘<α<45∘，如图 2 所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图 3 所示，延长 CG 交 AD 于点 H．若 AG=6，GH=22，求 BC．
答案
第一部分
1. −2
2. 7.927×104
3. 2aba+ba−b
4. 50
5. −4
6. 41
第二部分
7. D
8. A
9. C
10. B
11. B
12. C
13. C
14. D
第三部分
15. AB=DE
证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即 BC=EF，
在 △ABC 和 △DEF 中，
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEFSAS．
16. （1） 20192020
（2） 原式=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1.
17. （1） 200；70；0.2
（2） 补全频数图（略）；80∼90
（3） 1200×25%=300（人）．
答：全校参加比赛成绩优秀的学生约有 300 人．
18. （1） 14
（2） 列表如下：
列树状图（略）．
可能出现的结果共有 12 种，并且它们出现的可能性相同．
点 Mx,y 在第三象限有两种可能结果 −1,−2，−2,−1．
∴P点M在第三象限=212=16．
19. （1） 设甲种奖品的单价为 x 元，则乙种奖品的单价为 x−10 元．
由题意得
480x=360x−10.
解得
x=40.
经检验得 x=40 是原方程的解，
x−10=30．
答：甲种奖品的单价为 40 元，乙种奖品的单价为 30 元．
（2） 设购买甲种奖品 m 个，则购买乙种奖品 100−m 个；
则总费用
w=40m+30100−m.
即：
w=10m+3000.
由题意得：
m≥2100−m.
解得：
m≥2003.∵m
取正整数，
∴m≥67，
∵k=10>0，w 随 m 的增大而增大，
∴m=67 时，w 最小．
答：购买甲种奖品 67 个时，总费用最少．
20. （1） 设 y=kx+b，将 40,300，55,150 代入，得
40k+b=300,55k+b=150⇒k=−10,b=700.
∴y=−10x+700．
（2） 设净利润为 w 元，
w=x−30−10x+700−500=−10x2+1000x−21500=−10x−502+3500,
∵y≥240，
∴−10x+700≥240，解得 x≤46，
∵ 当 a=−10 开口向下，当 x<50 时，y 随 x 的增大而增大，
∴x=46 时，y最大=3340 元．
答：单价为 46 元时，利润最大为 3340 元．
21. （1） 连接 OA．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C．
∴∠ABC=∠DAC．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵BD 是直径，
∴∠BAD=90∘．
∴∠ABD+∠ODA=90∘．
∴∠DAC+∠OAD=90∘．
∴OA⊥CA．
∵OA 是 ⊙O 的半径，
∴AC 为 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：AB=BF2−AF2=52−42=3，
∴AB=AB=3．
∵∠AOD=2∠ABC，∠ABC=∠C．
∴∠AOD=2∠ACB．
∵∠OAC=90∘，
∴∠AOD+∠ACB=90∘．
∴∠C=30∘．
在 Rt△OAC 中，∠OAC=90∘，
∴tanC=OAAC．
∴OA=ACtanC−3×tan30∘=3．
∴⊙O 的半径为 3．
22. （1） 把点 A1,0，B−3,0 代入 y=ax2−2x+c，得 a−2+c=0,9a+6+c=0.
解之得 a=−1,c=3.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3，
当 x=−b2a=−−22×−1=−1 时，y=−1+2+3=4．
（2） 设直线 BE 的解析式为 y=kx+m，
把 B−3,0，E−1,4 代入得 −k+m=4,−3k+m=0.
解得 k=2,m=6.
∴ 直线 BE 的解析式为 y=2x+6，
设点 F0,m，
∵ 抛物线 y=−x2−2x+3 的对称轴为 x=−1，
∴ 点 Fʹ 为 −2,m，
把 Fʹ−2,m 代入 y=2x+6 得 m=−4+6=2，
∴ 点 F0,2．
23. （1） ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠BCA=45∘．
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90∘．
∴ 四边形 CEGF 是矩形，
∵∠CGE=∠ECG=45∘，
∴EG=EC，
∴ 四边形 CEGF 是正方形；
② 2
【解析】②由①知四边形 CEGF 是正方形，
∴∠CEG=∠B=90∘，∠ECG=45∘，
∴CGCE=2，GE∥AB，
∴AGBE=CGCE=2．
（2） 连接 CG．
由旋转性质知 ∠BCE=∠ACG=a．
在 Rt△CEG 和 Rt△CBA 中，易得 CECG=CBCA=22，
∴△ACG∽△BCE．
∴AGBE=CACB=2．
∴ 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG=2BE．
（3） ∵∠CGF=45∘，
∴∠AGH=∠CGF=45∘，
又 ∵∠AHG=∠CHA，
∴△AHG∽△CHA．
∴AGAC=GHAH=AHCH．
设 BC=CD=AD=a，则 AC=2a，
则由 AGAC=GHAH 得 62a=22AH，
∴AH=23a，则 DH=AD−AH=13a．
在 Rt△CHD 中，CH=CD2+DH2=103a，
∴ 由 AGAC=AHCH 得：62a=23a103a，
解得：a=35，即 BC 的长为 35．