2018年江苏省无锡市滨湖区中考一模数学试卷

这是一份2018年江苏省无锡市滨湖区中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 16 等于
A. −4B. 4C. ±4D. 256

2. 下列运算正确的是
A. a32=a6B. 2a+3a=5a2C. a8÷a4=a2D. a2⋅a3=a6

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图，一个由 6 个大小相同、棱长为 1 的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是
A. 主视图的面积为 6B. 左视图的面积为 2
C. 俯视图的面积为 4D. 俯视图的面积为 3

5. 如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则 ∠1+∠2 的度数为
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 135∘

6. 某校春季运动会比赛中，八年级（1）班和（5）班的竞技实力相当．关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为 6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的 2 倍少 40 分．若设（1）班得 x 分，（5）班得 y 分，根据题意所列的方程组应为
A. 6x=5y,x=2y−40B. 6x=5y,x=2y+40C. 5x=6y,x=2y+40D. 5x=6y,x=2y−40

7. 下列说法中，正确的是
A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是 12
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件

8. 随着“互联网 +”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用 y（单位：元）与行驶里程 x（单位：千米）的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为
A. 33 元B. 36 元C. 40 元D. 42 元

9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，BC=2，沿对角线 AC 剪开（如图①）；固定 △ADC，把 △ABC 沿 AD 方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离 AAʹ 等于
A. 1B. 1.5C. 2D. 0.8 或 1.2

10. 如图，在平面直角坐标系中，A0,23，动点 B，C 从原点 O 同时出发，分别以每秒 1 个单位和每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，以点 A 为圆心，OB 的长为半径画圆；以 BC 为一边，在 x 轴上方作等边 △BCD．设运动的时间为 t 秒，当 ⊙A 与 △BCD 的边 BD 所在直线相切时，t 的值为
A. 3−32B. 3+32C. 43+6D. 43−6

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 使 1x+2 有意义的 x 取值范围是 ．

12. 分解因式：3x2−12= ．

13. 2017 年，无锡全市实现地区生产总值约 10500 亿元，成为继苏州、南京之后，江苏第三个 GDP 破万亿元的城市．将 10500 亿元这个数据用科学记数法表示为 亿元．

14. “微信发红包”是一种流行的娱乐方式，小红为了解家庭成员“除夕夜”使用微信发红包的情况，随机调查了 15 名亲戚朋友，结果如下表：
平均每个红包的钱数元25102050人数74211
则此次调查中平均每个红包的钱数的中位数为 元．

15. 一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是 ．

16. 如图，点 G 是 △ABC 的重心，AG 的延长线交 BC 于点 D，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，如果 BC=6，那么线段 GE 的长为 ．

17. 如图，正方形 OABC 的边长为 8，A，C 两点分别位于 x 轴、 y 轴上，点 P 在 AB 上，CP 交 OB 于点 Q，函数 y=kx 的图象经过点 Q，若 S△BPQ=19S△OQC，则 k 的值为 ．

18. 如图，AB，CD 是 ⊙O 的两条互相垂直的直径，P 为 ⊙O 上一动点，过点 P 分别作 PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分别为 E，F，M 为 EF 的中点．若点 P 从点 B 出发，以 每秒 15∘ 的速度按逆时针方向旋转一周，当 ∠MAB 取得最大值时，点 P 运动的时间为 秒．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）2tan45∘−2−10+−12−2．
（2）a+2b2−a+ba−b．

20. 请回答下列问题：
（1）解方程：xx−2=3；
（2）解不等式组 5+3x>18,x3≤4−x−22.

21. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的中线，过点 C 作 CE∥AB，过点 B 作 BE∥CD，CE，BE 相交于点 E．求证：四边形 BECD 为菱形．

22. 某区对即将参加中考的 4000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图．请根据图表信息回答下列问题：
初中毕业生视力抽样调查频数分布表
视力频数人频率4.0≤x<≤x<≤x<≤x<≤x<5.510b
（1）本次调查样本容量为 ；
（2）在频数分布表中，a= ，b= ，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在 4.9 以上（含 4.9）均属标准视力，根据上述信息估计全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有多少人?

23. 2018 无锡市体育中考男生项目分为速度耐力类、力量类和灵巧类，每位考生只能在三类中各选一项进行考试．其中速度耐力类项目有：50 米跑、 800 米跑、 50 米游泳；力量类项目有：掷实心球、引体向上；灵巧类项目有：30 秒钟跳绳、立定跳远、俯卧撑、 篮球运球．男生小明“50 米跑”是强项，他决定必选，其它项目在平时测试中成绩完全相同，他决定随机选择．
（1）请用画树状图或列表的方法求“小明‘选 50 米跑、引体向上和立定跳远’”的概率；
（2）小明所选的项目中有立定跳远的概率是 ．

24. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形 ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形．）
（1）△ABC 是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
（2）若 P，Q 分别为线段 AB，BC 上的动点，当 PC+PQ 取得最小值时，
①在网格中用无刻度的直尺，画出线段 PC，PQ（请保留作图痕迹．）
②直接写出 PC+PQ 的最小值： ．

25. 如图，已知在 ⊙O 中，AB 是 ⊙O 的直径，AC=8，BC=6．
（1）求 ⊙O 的面积；
（2）若 D 为 ⊙O 上一点，且 △ABD 为等腰三角形，求 CD 的长．

26. 无锡水蜜桃享誉海内外，老王用 3000 元购进了一批水蜜桃．第一天，很快以比进价高 40% 的价格卖出 150 千克．第二天，他发现剩余的水蜜桃卖相已不太好，于是果断地以比进价低 20% 的价格将剩余的水蜜桃全部售出，本次生意老王一共获利 750 元．
（1）根据以上信息，请你编制一个问题，并给予解答；
（2）老王用 3000 元按第一次的价格又购进了一批水蜜桃．第一天同样以比进价高 40% 的价格卖出 150 千克，第二天，老王把卖相不好的水蜜桃挑出，单独打折销售，售价为 10 元/千克，结果很快被一抢而空，其余的仍按第一天的价格销售，且当天全部售完．若老王这次至少获利 1100 元，请问打折销售的水蜜桃最多多少千克?（精确到 1 千克）

27. 如图，二次函数 y=ax2+2ax−3a 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右边），与 y 轴交于点 C．
（1）请直接写出 A，B 两点的坐标：A ，B ．
（2）若以 AB 为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点．
①求这个二次函数的表达式；②若 P 为二次函数图象位于第二象限部分上的一点，过点 P 作 PQ 平行于 y 轴，交直线 BC 于点 Q．连接 OQ，AQ，是否存在一个点 P，使 tan∠OQA=12?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

28. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，G 是边 AB 的中点，平行于 AB 的动直线 l 分别交 △ABC 的边 CA，CB 于点 M，N，设 CM=m．
（1）当 m=1 时，求 △MNG 的面积；
（2）若点 G 关于直线 l 的对称点为点 Gʹ，请求出点 Gʹ 恰好落在 △ABC 的内部（不含边界）时，m 的取值范围；
（3）△MNG 是否可能为直角三角形?如果能，请求出所有符合条件的 m 的值；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】16=4．
2. A【解析】A、 a32=a6，故此选项正确；
B、 2a+3a=5a，故此选项错误；
C、 a8÷a4=a4，故此选项错误；
D、 a2⋅a3=a5，故此选项错误；
故选：A．
3. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
4. C【解析】A、从正面看，可以看到 5 个正方形，面积为 5，故A选项错误；
B、从左面看，可以看到 3 个正方形，面积为 3，故B选项错误；
C、从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故C选项正确；
D、从上面看，可以看到 4 个正方形，面积为 4，故D选项错误．
故选：C．
5. D
【解析】如图：
∵ 等腰直角三角形 ACB，
∴∠ACB=90∘，∠A=∠B=45∘，
∵EF∥CD，
∴∠1=∠AEF，
∵∠A+∠2+∠AEF=180∘，
∴∠2+∠AEF=∠2+∠1=180∘−45∘=135∘．
6. D【解析】设（1）班得 x 分，（5）班得 y 分，根据题意得：
5x=6y,x=2y−40.
7. C【解析】A、为检测我市正在销售的酸奶质量，此调查具有破坏性，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
C、抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是 36=12，此选项正确；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：C．
8. C【解析】当行驶里程 x≥8 时，设 y=kx+b，
将 8,12，11,18 代入，得：8k+b=12,11k+b=18, 解得：k=2,b=−4,
∴y=2x−4，当 x=22 时，y=2×22−4=40，
∴ 如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为 40 元．
9. A【解析】如图，设 AʹBʹ 交 AC 于点 E．
tan∠DAC=ADDC=AAʹAʹE，
设 AAʹ=x，AʹD=2−x，
∵AD=2，DC=3，
∴23=xAʹE，
∴AʹE=32x，
∵ 两个三角形重叠部分的面积是 S=AE×AʹD=32x2−x=−32x−12+32，
解当 x=1 时，阴影部分的面积最大，AAʹ=1．
10. C
【解析】作 AH⊥BD 于 H，延长 DB 交 y 轴于 E，如图，
∵⊙A 与 △BCD 的边 BD 所在直线相切，
∴AH=OB=t，
∵△BCD 为等边三角形，
∴∠DBC=60∘，
∴∠OBE=60∘，
∴∠OEB=30∘，
在 Rt△OBE 中，OE=3OB=3t，
在 Rt△AHE 中，AE=2AH=2t，
∵A0,23，
∴OA=23，
∴23+3t=2t，
∴t=43+6．
第二部分
11. x≠−2
【解析】根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2．
12. 3x−2x+2
【解析】原式=3x2−4=3x+2x−2.
13. 1.05×104
【解析】10500 亿元 =1.05×104 亿元．
14. 5
【解析】由题意知共有 15 个数据，
所以中位数为第 8 个数据，即中位数为 5 元，
故答案为：5．
15. 3π
【解析】侧面积是：12×π×22=2π．
底面的周长是 2π．
则底面圆半径是 1，面积是 π．
则该圆锥的全面积是：2π+π=3π．
16. 2
【解析】∵ 点 G 是 △ABC 重心，BC=6，
∴CD=12BC=3，AGDG=2，
∵GE∥BC，
∴△AEG∽△ACD，
∴GECD=AGAD=23，
∴GE=2．
17. −36
【解析】∵PB∥OC（四边形 OABC 为正方形），
∴△PBQ∽△COQ，
∴S△BPQS△OQC=PBOC2=19，
∵ 正方形 OABC 的边长为 8，
∴PB=13OC=83．
∴ 点 C0,8，点 P−8,163，直线 OB 的解析式为 y=−x, ⋯⋯①
∴ 设直线 CP 的解析式为 y=ax+8，
∵ 点 P−8,163 在直线 CP 上，
∴163=−8a+8，解得：a=13，
故直线 CP 的解析式为 y=13x+8. ⋯⋯②
联立①②得：y=−x,y=13x+8, 解得：x=−6,y=6,
∴ 点 Q 的坐标为 −6,6．
将点 Q−6,6 代入 y=kx 中，得：6=k−6，解得：k=−36．
18. 8 或 16
【解析】如图 1 中，连接 OP．
∵AB⊥CD，PF⊥OC，PE⊥OB，
∴∠EOF=∠PFO=∠PEO=90∘，
∴ 四边形 PEOF 是矩形，
∴EF 与 OP 互相平分，
∵ME=MF，
∴ 点 M 在 OP 上，OM=MP=12OP，
如图 2 中，当 OM⊥AM 时，∠MAB 的值最大，
∵OA=2AM，
∴∠MAO=30∘，∠AOM=60∘，
∴∠BOP=120∘或240∘ 时，∠MAB 的值最大，
∴t=12015=8（秒）或 t=24015=16（秒），
故答案为 8 或 16．
第三部分
19. （1） 原式=2×1−1+4=5.
（2） 原式=a2+4ab+4b2−a2−b2=4ab+5b2.
20. （1） 解方程：
xx−2=3.x2−2x−3=0.
因式分解，得
x−3x+1=0.
于是，得
x−3=0或x+1=0.∴x1=3.x2=−1.
（2）
5+3x>18, ⋯⋯①x3≤4−x−22. ⋯⋯②
由①得
x>133.
由②得
x≤6.∴
不等式组的解集是
13321. ∵CE∥AB，BE∥CD，
∴ 四边形 BECD 是平行四边形．
又 ∵∠ACB=90∘，CD 为 AB 边上的中线，
∴CD=12AB．
又 ∵CD 为 AB 边上的中线，
∴BD=12AB．
∴BD=CD．
∴ 平行四边形 BECD 是菱形．
22. （1） 200
【解析】根据题意得：20÷0.1=200，即本次调查的样本容量为 200．
（2） 60；0.05
补全频数分布图，如图所示：
【解析】a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05．
（3） 根据题意得：4000×0.3+0.05=1400（人）．
答：全区初中毕业生中达到标准视力的学生约有 1400 人．
23. （1） 记掷实心球、引体向上分别为甲、乙，30 秒钟跳绳、立定跳远、俯卧撑、 篮球运球分别为 A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中选择引体向上和立定跳远的只有 1 种结果，
所以小明‘选 50 米跑、引体向上和立定跳远’的概率为 18．
（2） 14
【解析】因为小明所选的项目中有立定跳远的结果有 2 种结果，
所以小明所选的项目中有立定跳远的概率为 28=14．
24. （1） 直角
【解析】结论：直角三角形；
理由：
∵AC=5，BC=25，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90∘．
（2） ①线段 PC，PQ 如图所示：
② 855
【解析】②设 AB 交 CCʹ 于 O，
由 △AOC∽△CQCʹ，
可得 CCʹAC=CʹQCO，
∴CʹQ=855，
∴PC+PQ 的最小值 =CʹQ=855．
25. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙O 的面积 =π×52=25π．
（2） 作直径 DD′⊥AB，BH⊥CD 于 H，如图，则 AD=BD，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD=45∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴△ADB 为等腰直角三角形，
∴DB=22AB=52，
易得 △BCH 为等腰直角三角形，
∴CH=BH=22BC=32，
在 Rt△BDH 中，DH=522−322=42，
∴CD=CH+DH=32+42=72，
∵DD′ 是 ⊙O 的直径，
∴∠DCD′=90∘，
∴CD′=102−722=2，
综上所述，CD 的长为 2 或 72．
26. （1） 问题：水蜜桃的进价为多少元/千克?
设水蜜桃的进价为 x 元/千克，则降价销售了 3000x−150 千克，
根据题意得：
150×1+40%x+3000x−150×1−20%x−3000=750.
解得：
x=15.
经检验，x=15 是原方程的解，且符合题意．
答：水蜜桃的进价为 15 元/千克．
（2） 购进第二批水蜜桃的重量为 3000÷15=200（千克）．
设打折销售了 y 千克水蜜桃，则原价销售了 200−y 千克水蜜桃，
根据题意得：
15×1+40%×200−y+10y−3000≥1100.
解得：
y≤9111.
答：打折销售的水蜜桃最多 9 千克．
27. （1） 1,0；−3,0
【解析】y=ax2+2ax−3a=ax+3x−1，
当 y=0 时，0=ax+3x−1，
解得：x=1或−3，
故 A1,0，B−3,0．
（2） ① ∵y=ax2+2ax−3a=ax+12−4a，
∴ 抛物线顶点 −1,−4a，
∵AB=4，以 AB 为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点，
∴−4a=2，
∴a=−12．
∴ 二次函数的表达式为：y=−12x2−x+32．
②存在一个点 P−35,4825，使 tan∠OQA=12．
∵OCOB=323=12，
∴tan∠ABQ=12，
∴∠OQA=∠QBA，
∴△AQO∽△ABQ．
∴AQ2=AO×AB=4．
设点 Px,−12x2−x+32，
设 BC 的解析式为：y=kx+d，
则 −3k+d=0,d=32,
解得：k=12，
故直线 BC 的解析式为：y=12x+32，
则 Qx,12x+32，
∴1−x2+12x+322=4．
解得：x=−35 或 x=1（不合题意，舍去），
当 x=−35 时，y=4825，
∴ 点 P 的坐标为 −35,4825．
28. （1） 作 CQ⊥AB 于 Q，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=5，
∴12×AC×BC=12×AB×CQ，解得 CQ=3×45=125，
当 m=1 时，CM=1，
∵ 直线 l∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴MNAB=CPCQ=CMCA，解得 MN=54，CP=35，
∴S△MNG=12×MN×PQ=12×54×95=98．
（2） 当点 G 关于直线 l 的对称点 Gʹ 落在 BA 边时，m=4，
当点 G 关于直线 l 的对称点 Gʹ 落在 AC 边时，△AGGʹ∽△ACB，
∴AGʹAB=AGAC，即 AGʹ5=524，解得 AGʹ=258，
∴CM=m=4−12×258=3916，
∴ 点 Gʹ 恰好落在 △ABC 的内部（不含边界）时，3916 （3） △MNG 能为直角三角形．
①当 ∠MGN=90∘ 时，四边形 CMGN 为矩形，
∴M 是 AC 的中点，
∴m=2；
②当 ∠GMN=90∘ 时，
∵ 直线 l∥AB，
∴∠AGM=∠GMN=90∘．
∴△AGM∽△ACB，
∴AMAB=AGAC，即 4−m5=524，解得 m=78；
③当 ∠GNM=90∘ 时，△NGB∽△ACB，
232−34m=34，m=−149（不合题意，舍去）．
∴m=2 或 m=78 时，△MNG 是直角三角形．