2018年无锡市江阴市锡北片区中考数学一模试卷

这是一份2018年无锡市江阴市锡北片区中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的倒数是
A. 2B. 12C. −12D. −2

2. 要使式子 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x≥1B. x<1C. x≤1D. x≠1

3. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a3+a3=a6
C. −a2=a2D. −a23=a6

4. 一元二次方程 x2+5x+7=0 解的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定

5. 若二次函数 y=a−1x2+3x+a2−1 的图象经过原点，则 a 的值必为
A. 1 或 −1B. 1C. −1D. 0

6. 已知圆锥的底面半径为 3 cm，母线为 5 cm，则圆锥的侧面积是
A. 30π cm2B. 15π cm2C. 15π2 cm2D. 10π cm2

7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB 垂直于弦 CD，∠BOC=70∘，则 ∠ABD=
A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. 70∘

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是
A. 4B. 6C. 8D. 10

9. 已知如图，菱形 ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 AC，BD 交于原点 O，DF⊥AB 交 AC 于点 G，反比例函数 y=3xx>0 经过线段 DC 的中点 E，若 BD=4，则 AG 的长为
A. 433B. 3+2C. 23+1D. 332+1

10. 如图，△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将 △ABD 沿 AD 翻折得到 △AED，连 CE，则线段 CE 的长等于
A. 2B. 54C. 53D. 75

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是 0.0007 mm，则数据 0.0007 用科学记数法表示为 ．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=2，BC=3，则 sinA= ．

13. 因式分解：3x2−27= ．

14. 如图，点 D 在 ∠AOB 的平分线 OC 上，点 E 在 OA 上，ED∥OB，∠1=25∘，则 ∠AED 的度数为 ∘．

15. 某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 环．

16. 如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 4，2，则通过 A，B，C 三点的拋物线对应的函数关系式是 ．

17. 如图，A 点的坐标为 −1,5，B 点的坐标为 3,3，C 点的坐标为 5,3，D 点的坐标为 3,−1．小明发现：线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．

18. 如图，正方形 ABCD 中，AB=3 cm，以 B 为圆心，1 cm 长为半径画 ⊙B，点 P 在 ⊙B 上移动，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 APʹ，连接 BPʹ．在点 P 移动的过程中，BPʹ 长度的最小值为 cm．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）−12−2−94+−30；
（2）3x2+2−x+1x−1．

20. 解下列方程：
（1）解方程：x2+4x−2=0；
（2）解不等式组：x−3x−2≥2,4x−2<5x+1.

21. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国 2013 年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查．问卷调查的结果分为 A，B，C，D 四类．其中，A 类表示“非常了解”，B 类表示“比较了解”，C 类表示“基本了解”，D 类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：
类别ABCD频数304024b频率
（1）表中的 a= ，b= ；
（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为 B 的学生数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有学生 1000 名，根据调查结果估计该校学生中类别为 C 的人数约为多少．

22. 如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD=∠EDC=90∘，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED．
（2）当 ∠B=140∘ 时，求 ∠BAE 的度数．

23. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字 −2，1，2，它们除了数字不同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 1 的小球的概率为 ．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为 k 的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为 b 的值，请用树状图或表格列出 k，b 的所有可能的值，并求出直线 y=kx+b 不经过第四象限的概率．

24. 我市绿化部门决定利用现有的不同种类花卉搭配园艺造型，摆放于城区主要大道的两侧．A，B两种园艺造型均需用到杜鹃花，A种造型每个需用杜鹃花 25 盆，B种造型每个需用杜鹃花 35 盆，解答下列问题：
（1）已知人民大道两侧搭配的A，B两种园艺造型共 60 个，恰好用了 1700 盆杜鹃花，A，B两种园艺造型各搭配了多少个?
（2）如果搭配一个A种造型的成本 W 与造型个数 x 的关系式为：W=100−12x0
25. 在正方形网格中以点 A 为圆心，AB 为半径作 ⊙A 交网格于点 C（如图（1）），过点 C 作圆的切线交网格于点 D，以点 A 为圆心，AD 为半径作圆交网格于点 E（如图（2））．问题：
（1）求 ∠ABC 的度数；
（2）求证：△AEB≌△ADC；
（3）△AEB 可以看作是由 △ADC 经过怎样的变换得到的?并判断 △AED 的形状（不用说明理由）；
（4）如图（3），已知直线 a，b，c，且 a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形 AʹBʹCʹ，使三个顶点 Aʹ，Bʹ，Cʹ，分别在直线 a，b，c 上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1x1,y1 与 P2x2,y2 的“非常距离”，给出如下定义：
若 x1−x2≥y1−y2，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 x1−x2；
若 x1−x2例如：点 P11,2，点 P23,5，因为 1−3<2−5，所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 2−5=3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）．
（1）已知点 A−12,0，B 为 y 轴上的一个动点，
①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标；
②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值；
（2）已知 C 是直线 y=34x+3 上的一个动点，
①如图 2，点 D 的坐标是 0,1，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标；
②如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标．

27. 如图，A，B 两点的坐标分别为 0,6，0,3，点 P 为 x 轴正半轴上一动点，过点 A 作 AP 的垂线，过点 B 作 BP 的垂线，两垂线交于点 Q，连接 PQ，M 为线段 PQ 的中点．
（1）求证：A，B，P，Q 四点在以 M 为圆心的同一个圆上；
（2）当 ⊙M 与 x 轴相切时，求点 Q 的坐标；
（3）当点 P 从点 2,0 运动到点 3,0 时，请直接写出线段 QM 扫过图形的面积．

28. 如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求 b，c 的值；
（2）如图①，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；
（3）如图②，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得 △PQN 与 △APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小?如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】由题意得，x−1≥0，
解得 x≥1．
3. C【解析】A、底数不变指数相加，故A错误；
B、系数相加字母部分不变，故B错误；
C、负数的绝对值是它的相反数，故C正确；
D、 −a23=−a6，故D错误．
4. C【解析】∵Δ=52−4×7=−3<0，
∴ 方程没有实数根．
5. C
【解析】把 0,0 代入 y=a−1x2+3x+a2−1，得 a2−1=0，解得 a=1 或 a=−1，
∵a−1≠0，
∴a≠1，即 a=−1．
6. B【解析】3π×5=15πcm2．
7. C【解析】连接 BC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=180∘−∠BOC2=180∘−70∘2=55∘，
∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠ABD=∠OBC=55∘．
8. B【解析】平行四边形 ADCE 的对角线的交点是 AC 的中点 O，当 OD⊥BC 时，OD 最小，即 DE 最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又 ∵OC=OA，
∴OD 是 △ABC 的中位线，
∴OD=12AB=3，
∴DE=2OD=6．
9. A【解析】过 E 作 y 轴和 x 的垂线 EM，EN，
设 Eb,a，
∵ 反比例函数 y=3xx>0 经过点 E，
∴ab=3，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴BD⊥AC，DO=12BD=2，
∵EN⊥x 轴，EM⊥y 轴，
∴ 四边形 MENO 是矩形，
∴ME∥x 轴，EN∥y 轴，
∵E 为 CD 的中点，
∴DO⋅CO=43，
∴CO=23，
∴tan∠DCO=DOCO=33，
∴∠DCO=30∘，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60∘，∠1=30∘，AO=CO=23，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30∘，
∴DG=AG，
设 DG=r，则 AG=r，GO=23−r，
∵AD=AB，∠DAB=60∘，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠ADB=60∘，
∴∠3=30∘，
在 Rt△DOG 中，DG2=GO2+DO2，
∴r2=23−r2+22，解得：r=433，
∴AG=433．
10. D
【解析】如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H．
在 Rt△ABC 中，
∵AC=4，AB=3，
∴BC=32+42=5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=52，
∵12⋅BC⋅AH=12⋅AB⋅AC，
∴AH=125，
∵AE=AB，
∴ 点 A 在 BE 的垂直平分线上．
∵DE=DB=DC，
∴ 点 D 在 BE 的垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，
∴AD 垂直平分线段 BE，
∵12⋅AD⋅BO=12⋅BD⋅AH，
∴OB=125，
∴BE=2OB=245，
在 Rt△BCE 中，EC=BC2−BE2=52−2452=75．
第二部分
11. 7×10−4
【解析】0.0007=7×10−4．
12. 32
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=2，BC=3，
∴sinA=BCAB=32．
13. 3x+3x−3
14. 50
15. 8
16. y=−512x2−12x+203
【解析】∵ 沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 4，2，
∴A 点的坐标为：−4,2，B 点的坐标为：−2,6，C 点的坐标为：2,4，
将 A，B，C 点的坐标代入 y=ax2+bx+c，
得 16a−4b+c=2,4a−2b+c=6,4a+2b+c=4, 解得：a=−512,b=−12,c=203,
∴ 二次函数的解析式为：y=−512x2−12x+203．
17. 1,1 或 4,4
18. 32−1
【解析】如图，当 Pʹ 在对角线 BD 上时，BPʹ 最小，连接 BP，
由旋转得：AP=APʹ，∠PAPʹ=90∘，
∴∠PAB+∠BAPʹ=90∘，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAPʹ+∠DAPʹ=90∘，
∴∠PAB=∠DAPʹ，
∴△PAB≌△PʹAD，
∴PʹD=PB=1，
在 Rt△ABD 中，
∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=32+32=32，
∴BPʹ=BD−PʹD=32−1，即 BPʹ 长度的最小值为 32−1cm．
第三部分
19. （1） −12−2−94+−30=4−32+1=72.
（2） 3x2+2−x+1x−1=3x2+6−x2−1=3x2+6−x2+1=2x2+7.
20. （1）
x2+4x−2=0.x2+4x+4=2+4.x+22=6.x+2=±6.x1=6−2,x2=−6−2.
（2）
x−3x−2≥2, ⋯⋯①4x−2<5x+1. ⋯⋯②
解 ① 得，
x≤2.
解 ② 得，
x>−3.∴
不等式组的解集是
−321. （1） 0.3；6
（2） 360∘×0.4=144∘．
（3） 1000×0.24=240（人）．
22. （1） ∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∵∠BCD=∠EDC=90∘，
∴∠ACB=∠ADE．
在 △ABC 和 △AED 中，
BC=ED,∠ACB=∠ADE,AC=AD,
∴△ABC≌△AEDSAS．
（2） 由（1）得 △ABC≌△AED，
∴∠B=∠E=140∘．
∵ 五边形 ABCDE 的内角和为 540∘，
∴∠BAE=540∘−2×140∘+90∘=80∘．
23. （1） 13
【解析】三个小球上分别标有数字 −2，1，2，随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 1 的小球的概率 =13．
（2） 列表：
共有 9 种等可能的结果数，其中符号条件的结果数为 4，
∴ 直线 y=kx+b 不经过第四象限的概率 =49．
24. （1） 解法一：设A种园艺造型搭配了 x 个，则B种园艺造型搭配了 60−x 个，
25x+3560−x=1700.
解得，
x=40.60−x=20
，
答：A种园艺造型搭配了 40 个，B种园艺造型搭配了 20 个．
【解析】解法二：设A种园艺造型搭配了 x 个，B种园艺造型搭配了 y 个，
x+y=60,25x+35y=1700,
解得，
x=40,y=20.
答：A种园艺造型搭配了 40 个，B种园艺造型搭配了 20 个．
（2） 能同时满足题设要求，
理由：设A种园艺造型搭配了 x 个，则B种园艺造型搭配了 50−x 个，成本总额 y 与A种园艺造型个数想 x 的函数关系式为：
y=x100−12x+8050−x=−12x2+20x+4000=−12x−202+4200,
∵x≥20，50−x≥20，
∴20≤x≤30，
∴ 当 x=20 时，y 取得最大值，此时 y=4200，
∵4200<4500，
∴ 能同时满足题设要求．
25. （1） 连接 BC，
由网格可知点 C 在 AB 的中垂线上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即 △ABC 是等边三角形．
∴∠ABC=60∘．
（2） ∵CD 切 ⊙A 于点 C，
∴∠ACD=90∘，∠ABE=∠ACD=90∘，
在 Rt△AEB 与 Rt△ADC 中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADCHL．
（3） △AEB 可以看作是由 △ADC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到的．△AED 是等边三角形．
（4） ①在直线 a 上任取一点，记为点 Aʹ，作 AʹMʹ⊥b，垂足为点 Mʹ；
②作线段 AʹMʹ 的垂直平分线，此直线记为直线 d；
③以点 Aʹ 为圆心，AʹMʹ 长为半径画圆，与直线 d 交于点 Nʹ；
④过点 Nʹ 作 NʹCʹ⊥AʹNʹ 交直线 c 于点 Cʹ，连接 AʹCʹ；
⑤以点 Aʹ 为圆心，AʹCʹ 长为半径画圆，此圆交直线 b 于点 Bʹ；
⑥连接 AʹBʹ，BʹCʹ，则 △AʹBʹCʹ 为所求等边三角形．
26. （1） ① ∵B 为 y 轴上的一个动点，
∴ 设点 B 的坐标为 0,y．
∵−12−0=12≠2，
∴0−y=2，解得，y=2 或 y=−2，
∴ 点 B 的坐标是 0,2 或 0,−2；
②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 12．
（2） ①如图 2，取点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值时，
需要根据运算定义“若 x1−x2≥y1−y2，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为 x1−x2”解答，此时 x1−x2=y1−y2，即 AC=AD，
∵C 是直线 y=34x+3 上的一个动点，点 D 的坐标是 0,1，
∴ 设点 C 的坐标为 x0,34x0+3，
∴−x0=34x0+2，此时，x0=−87，
∴ 点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为：x0=87，此时 C−87,157；
②当点 E 在过原点且与直线 y=34x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最小，
设 Ex,y（点 E 位于第二象限），
则 yx=−43,x2+y2=1, 解得，x=−35,y=45, 故 E−35,45．
−35−x0=34x0+3−45，解得，x0=−85，
则点 C 的坐标为 −85,95，最小值为 1．
27. （1） 如图 1 中，连接 AM，BM．
∵△PQB，△PQA 都是直角三角形，
又 ∵PM=MQ，
∴AM=12PQ，BM=12PQ，
∴MA=MB=MQ=MP，
∴A，B，P，Q 四点在以 M 为圆心的同一个圆上．
（2） 如图 2 中，作 MR⊥AB 于 R．
∵MR⊥AB，
∴AR=RB，
∵A0,6，B0,3，
∴OB=3，OA=6，AR=RB=32，
∵⊙M 与 x 轴相切，
∴QP⊥OP，
∴∠MRO=∠ROP=∠OPM=90∘，
∴ 四边形 ORMP 是矩形，
∴PM=MQ=OR=92，
在 Rt△MRB 中，RM=BM2−RB2=32，
∴Q32,9．
（3） 如图 3 中，由题意当点 P 从点 2,0 运动到点 3,0 时，线段 QM 扫过图形是梯形 MMʹQʹQ．
当 P2,0 时，直线 PB 的解析式为 y=−32x+3，直线 BQ 的解析式为 y=23x+3，
直线 PA 的解析式为 y=−3x+6，直线 AQ 的解析式为 y=13x+6，
由 y=23x+3,y=13x+6 解得 x=9,y=9, 可得 Q9,9，M112,92，
当 Pʹ3,0 时，同法可得 Qʹ6,9，Mʹ92,92．
∴ 线段 QM 扫过图形的面积 =12112−92+9−6×92=9．
28. （1） ∵ CD∥x 轴，CD=2，
∴ 抛物线对称轴为直线 l:x=1．
∴ −b2=1，b=−2．
∵ OB=OC，C0,c，
∴ B 点坐标为 −c,0．
∴ 0=c2+2c+c，解得 c=−3 或 c=0（舍去），
∴ c=−3．
（2） 设点 F 坐标为 0,m．
∵ 对称轴是直线 l:x=1，
∴ 点 F 关于直线 l 的对称点 Fʹ 的坐标为 2,m．
∵ 直线 BE 经过点 B3,0，E1,−4，
∴ 利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y=2x−6．
∵ 点 Fʹ 在 BE 上，
∴ m=2×2−6=−2，即点 F 坐标为 0,−2．
（3） 存在点 Q 满足题意．
设点 P 坐标为 n,0，则 PA=n+1，PB=PM=3−n，PN=−n2+2n+3．
作 QR⊥PN，垂足为 R .
∵ S△PQN=S△APM，
∴ 12n+13−n=12−n2+2n+3⋅QR，
∴ QR=1．
①点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点坐标为 n−1,n2−4n，R 点坐标为 n,n2−4n，N 点坐标为 n,n2−2n−3．
∴ 在 Rt△QRN 中，NQ2=1+2n−32，
∴ 当 n=32 时，NQ 取得最小值 1．
此时 Q 点坐标为 12,−154．
②点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点坐标为 n+1,n2−4．
同理 NQ2=1+2n−12，
∴ 当 n=12 时，NQ 取得最小值 1．
此时 Q 点坐标为 32,−154．
综上所述：满足题意的点 Q 的坐标为 12,−154 和 32,−154．