2018-2019学年广东省东莞市九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省东莞市九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 从上面看如图中的几何体，得到的平面图形正确的是
A. B.
C. D.

2. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. “投掷一枚硬币，正面朝上”这一事件是
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件

4. 下列格点，在反比例函数 y=6x 图象上的是
A. 3,−2B. −3,−2C. 2,−3D. −2,3

5. 两个三角形的相似比是 3:2，则其面积之比是
A. 2:3B. 3:2C. 9:4D. 27:8

6. 已知关于 x 的方程 x2−2x+3k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k<13B. k<−13C. k<3D. k>−3

7. 在平面直角坐标系中，点 P4,−2 关于原点对称的点的坐标是
A. −4,2B. 4,2C. −2,4D. −4,−2

8. 如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度 ym 与水平距离 xm 满足 y=−x−22+6，则水柱的最大高度是
A. 2B. 4C. 6D. 2+6

9. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 两点在圆上，∠CAB=20∘，则 ∠ADC 的度数等于
A. 114∘B. 110∘C. 108∘D. 106∘

10. 如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=4 cm，动点 P 从点 O 出发，沿 OA→AB→BO 的路径以每秒 1 cm 的速度运动一周．设运动时间为 t，s=OP2，则下列图象能大致刻画 s 与 t 的关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x2−2x=0 的两个根是：x1= ，x2= ．

12. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．

13. 抛物线 y=−x2 向上平移 2 个单位后所得的抛物线表达式是 ．

14. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 100∘，得到 △ADE，若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 ∠B 的大小为 ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A1.5,0，D4.5,0，△ABC 与 △DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 DE=7.5，则 AB= ．

16. 如图，等腰 Rt△ABC 的直角边长为 4，以 A 为圆心，直角边 AB 为半径作弧 BC1，交斜边 AC 于点 C1，C1B1⊥AB 于点 B1，设弧 BC1，C1B1，B1B 围成的阴影部分的面积为 S1，然后以 A 为圆心，AB1 为半径作弧 B1C2，交斜边 AC 于点 C2，C2B2⊥AB 于点 B2，设弧 B1C2，C2B2，B2B1 围成的阴影部分的面积为 S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积 S3= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：π0+4−13−1．

18. 先化简，再求值：a+1a−3−a−3a+2÷a2−6a+9a2−4，当 a=−3 时，求代数式的值．

19. 如图在 ⊙O 中，OA 是半径，OA=4．
（1）用直尺和圆规作 OA 的垂直平分线 BC，BC 交 OA 于点 D，交 ⊙O 于点 B，C（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在第（1）问的基础上，求线段 BC 的长度．

20. 2018 年 2 月 16 日，由著名导演林超贤的电影《红海行动》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号 1∼4 的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于 5，则小亮获胜，若两次数字之和小于 5，则小丽获胜．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率．

21. 从甲地到乙地的火车原来的平均速度是 100 千米每小时，经过两次提速后平均速度为 121 千米每小时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）若甲乙两地铁路长 220 千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时?

22. 如图所示，∠DBC=90∘，∠C=45∘，AC=2，△ABC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 △DBE，连接 AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接 AD，求 AD 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 内，函数 y=12x 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 图象有公共点 A，点 A 的坐标为 8,a，AB⊥x 轴，垂足为点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 P 在线段 OB 上，若 AP=BP+2，求线段 OP 的长；
（3）点 D 为射线 OA 上一点，在（2）的条件下，若 S△ODP=S△ABO，求点 D 的坐标．

24. 如图 1，圆内接四边形 ABCD，AD=BC，AB 是 ⊙O 的直径．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图 2，连接 OD，作 ∠CBE=2∠ABD，BE 交 DC 的延长线于点 E，若 AB=6，AD=2，求 CE 的长；
（3）如图 3，延长 OB 使得 BH=OB，DF 是 ⊙O 的直径，连接 FH，若 BD=FH，求证：FH 是 ⊙O 的切线．

25. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EF∥AB 交 AD 于点 F，连接 BF．
（1）如图 1，若 AB=4，DE=2，求 BF 的长；
（2）如图 2，连接 AE，交 BF 于点 H，若 DF=HF=2，求线段 AB 的长；
（3）如图 3，连接 BF，AB=32，设 EF=x，△BEF 的面积为 S，请用 x 的表达式表示 S，并求出 S 的最大值；当 S 取得最大值时，连接 CE，线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 30∘ 得到线段 DJ，DJ 与 CE 交于点 K，连接 CJ，求证：CJ⊥CE．
答案
第一部分
1. B【解析】从上边看是，故B．
2. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选A．
3. B【解析】【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案．
【解析】解：抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，
∴“抛一枚硬币，正面朝上”这一事件是随机事件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. B【解析】在反比例函数 y=6x 图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为 6，
∴−3,−2 在 y=6x 上．
5. C
【解析】因为两个三角形的相似比是 3:2，则其面积之比是 9:4．
6. A【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−2x+3k=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4×1×3k>0，解得：k<13．
7. A【解析】点 P4,−2 关于原点对称的点的坐标是：−4,2．
8. C【解析】∵ 抛物线形水柱，其解析式为 y=−x−22+6，
∴ 水柱的最大高度是：6．
9. B【解析】连接 BC．
∵AB 为 ⊙O 直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAB=20∘，
∴∠B=90∘−20∘=70∘，
在圆内接四边形 ABCD 中，∠ADC=180∘−70∘=110∘．
10. C
【解析】利用图象可得出：当点 P 在半径 AO 上运动时，s=OP2=t2；
在弧 AB 上运动时，s=OP2=4；
在 OB 上运动时，s=OP2=2π+4−t2．
第二部分
11. 0，2
【解析】x2−2x=0，xx−2=0，解得：x1=0，x2=2．
12. 12
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解析】解：由题意可得，3a+3×100%=20%，
解得a=12．
经检验：a=12是原分式方程的解，
所以a的值约为12，
故答案为：12．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13. y=−x2+2
【解析】∵ 抛物线 y=−x2 向上平移 2 个单位后的顶点坐标为 0,2，
∴ 所得抛物线的解析式为 y=−x2+2．
14. 40∘
【解析】根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100∘，
∴∠B=∠ADB=12×180∘−100∘=40∘．
15. 2.5
【解析】∵A1.5,0，D4.5,0，
∴OAOD=，
∵△ABC 与 △DEF 位似，原点 O 是位似中心，
∴ABDE=OAOD=13，
∴AB=13DE=13×7.5=2.5．
16. π2−1
【解析】根据题意，得 AC1=AB=4．
所以 AC2=AB1=22．
所以 AC3=AB2=2．
所以 AB3=2．
所以阴影部分的面积 S3=45π×4360−12×2=π2−1．
第三部分
17. π0+4−13−1=1+2−3=0.
18. 原式=a+1a−3−a−3a+2⋅a+2a−2a−32=a+1a−3−a−2a−3=3a−3.
当 a=−3 时，
原式=3−3−3=−12．
19. （1） 如图所示，直线 BC 即为所求．
（2） ∵BC 垂直平分 OA，且 OA=4，
∴OD=2，则 BD=OB2−OD2=42−22=23，
∴BC=2BD=43．
20. （1） 画树状图为：
共有 16 种等可能的结果数．
（2） 因为两次数字之和大于 5 的结果数为 6，
所以小亮获胜的概率 =616=38，
因为两次数字之和小于 5 的结果数为 6，
所以小丽获胜的概率 =616=38．
21. （1） 设该火车每次提速的百分率为 x，根据题意得：
1001+x2=121.
解得：
x=0.1=10% 或 x=−2.1舍去.
答：该火车每次提速的百分比为 10%．
（2） ∵ 第一次提速后火车的平均速度为 1001+10%=110 千米/小时，
∴ 第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为：220100−220110=2.2−2=0.2（小时）．
22. （1） ∵△ABC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 △DBE，
∴∠DBE=∠ABC，∠EBC=60∘，BE=BC，
∵∠DBC=90∘，
∴∠DBE=∠ABC=30∘，
∴∠ABE=30∘，
在 △ABC 与 △ABE 中，
BC=BE,∠ABC=∠ABE=30∘,AB=BA,
∴△ABC≌△ABESAS．
（2） 连接 AD，
∵△ABC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 △DBE，
∴DE=AC，∠BED=∠C，DE=AC=2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA=∠C，AE=AC=2，
∵∠C=45∘，
∴∠BED=∠BEA=∠C=45∘，
∴∠AED=90∘，DE=AE，
∴AD=2AE=22．
23. （1） ∵ 函数 y=12x 的图象过点 A8,a，
∴a=12×8=4，
∴ 点 A 的坐标为 8,4，
∵ 反比例函数 y=kxk≠0 图象过点 A8,4，
∴4=k8，得 k=32，
∴ 反比例函数的解析式为 y=32x．
（2） 设 BP=b，则 AP=b+2．
∵ 点 A8,4，AB⊥x 轴于点 B，
∴AB=4，∠ABP=90∘，
∴b2+42=b+22，解得 b=3，
∴OP=8−3=5，即线段 OP 的长是 5．
（3） 设点 D 的坐标为 d,12d．
∵ 点 A8,4，点 B8,0，点 P5,0，S△ODP=S△ABO，
∴5×12d2=8×42，解得 d=645，
∴12d=325，
∴ 点 D 的坐标为 645,325．
24. （1） 圆内接四边形 ABCD，AD=BC，
∴ 弧 AD= 弧 BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD．
（2） 由（1）知，∠BCE=∠CBA=∠DAO，
∵∠CBE=2∠ABD 且 ∠AOD=2∠ABD，
∴△AOD∽△CBE，
∴ADCE=OABC=OAAD，
∴CE=AD2OA=2212×6=43．
（3） 作 FM⊥AH 于 M，
∵∠ADB=∠AFB=∠DAF=90∘，
∴ 四边形 AFBD 是矩形，
∴FH=BD=AF，
∴AM=HM，OM=BM，
∴OF=BF=OD，
∴∠FOH=60∘，∠OHF=30∘，∠DFH=90∘，
又 ∵DF 是 ⊙O 的直径，
∴FH 是 ⊙O 的切线．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=4，∠A=90∘，∠BDA=45∘=∠DBA，
∵EF∥AB，
∴∠DFE=∠A=90∘，∠DEF=∠DBA=∠EDF=45∘，
∴DF=EF，
∴DE=2DF=2，
∴DF=1，
∴AF=AD−DF=3，
∴BF=AB2+AF2=5．
（2） ∵DF=EF，DF=HF=2，
∴EF=2=FH，
∴∠FEH=∠FHE，
∵EF∥AB，
∴∠FEH=∠BAE，
∴∠BAE=∠FHE=∠BHA，
∴AB=BH，
∵ 在 Rt△ABE 中，BF2=AF2+AB2，
∴AB+22=AB−22+AB2，
∴AB=8，AB=0（不合题意舍去），
∴AB=8．
（3） 如图，过点 J 作 JN⊥BD 于 N，
∵S△BEF=12EF×AF=12x32−x=−12x−3222+94，
∴ 当 x=322 时，S△BEF 最大值为 92，
∵x=322，
∴EF=322，
∵EF∥AB，
∴EFAB=DEBD=DFAD=12，
∴BD=2DE，AD=2DF，
∵CB=CD，BD=2DE，
∴CE⊥BD，BD=2CE，
∵ 旋转，
∴JD=BD，∠JDB=30∘，
又 ∵JN⊥BD，
∴JD=2JN，
∴BD=2JN，
∴JN=CE，
∵JN⊥BD，CE⊥BD，
∴JN∥CE 且 CE=JN，
∴ 四边形 JCEN 是平行四边形，
∵JN⊥BD，
∴ 四边形 JCEN 是矩形，
∴CJ⊥CE．