2018-2019学年广东省广州市增城区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省广州市增城区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 一元二次方程 3x2−2x−4＝0 的二次项系数为
A. 3B. 2C. −2D. −4

3. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=x−12+3 的顶点坐标是
A. −1,−3B. 1,−3C. −1,3D. 1,3

4. 如图，在半径为 5 的 ⊙O 中，弦 AB＝8，OP⊥AB，垂足为点 P，则 OP 的长为
A. 4B. 5C. 3D. 2

5. 点 A3,−1 关于原点对称的点的坐标为
A. 3,1B. −3,−1C. −3,1D. 1,−3

6. 在不透明的袋中有 5 个白球，3 个黑球，除颜色外均相同，从中一次任意摸出一个球，则摸到黑球的概率是
A. 38B. 35C. 58D. 34

7. 如图所示的图象对应的函数关系式可能是
A. y=5xB. y=2x+3C. y=4xD. y=−3x

8. 如图，已知 ∠ADE=∠C，若 AB=10，AC=8，AD=4，则 AE 的长是
A. 20B. 3.2C. 4D. 5

9. 学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共 21 场比赛．若比赛组织者计划邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为
A. 12xx+1=21B. 12xx−1=21
C. xx+1=21D. xx−1=21

10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，DC，AE 的延长线交于点 F，下列结论错误的是
A. AFFE=BCCEB. CEEF=CBAEC. EFAF=CECBD. AEEF=ABCF

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，△ABC 中，∠BAC＝30∘，将 △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 85∘，对应得到 △ADE，则 ∠CAD= 度．

12. 若 m,n 是一元二次方程 x2−2x−8=0 的两根，则 mn= ．

13. ⊙O 的半径为 5 cm，点 O 到直线 AB 的距离为 d，当 d= 时，AB 与 ⊙O 相切．

14. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ，相似比为 3:1，若 AʹCʹ=3，则其对应边的长度为 ．

15. 一个扇形的面积是 6πcm2，圆心角是 60∘，则此扇形的半径是 cm．

16. 抛物线 y=ax2+bx+c 中，b=4a，它的图象如图，有以下结论：
① c>0；
② a+b+c>0；
③ a−b+c>0；
④ b2−4ac<0；
⑤ abc<0；
⑥ 4a>c；
其中正确的为 （填序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2+10x+9=0．

18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A2,−1，B1,−3，C4,−4．
（1）作出 △ABC 关于原点 O 对称的 △A1B1C1；
（2）写出点 A1，B1，C1 的坐标．

19. 一个不透明的袋子中装有 3 个标号分别为 1，2，3 的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个小球号码之和等于 4 的概率．

20. 如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于点 A，B），AD⊥CD，∠CAD=∠CAB．求证：直线 CD 是 ⊙O 的切线．

21. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8．
（1）尺规作图：作出 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求 CE 的长．

22. 如图，某中学准备用长为 20 m 的篱笆围成一个长方形生物园 ABCD 饲养小兔，生物园的一面靠墙（围墙 MN 最长可利用 15 m），设 AB 长度为 xm，矩形 ABCD 面积为 ym2．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式，直接写出 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大?最大面积为多少?

23. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标是 −2,1，点 B 的坐标是 1,n；
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）直接写出不等式 kx+b≥mx 的解集．

24. 已知：在 ⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC 于点 E，过点 C 作直线 FC，使 ∠FCA=∠AOE，交 AB 的延长线于点 D．
（1）求证：FD 是 ⊙O 的切线；
（2）设 OC 与 BE 相交于点 G，若 OG=2，求 ⊙O 半径的长；
（3）在（2）的条件下，当 OE=3 时，求图中阴影部分的面积．

25. 如图 1，抛物线 y=ax2−9ax−36aa≠0 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OC=53OA，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 D，连接 PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，当动点 P 只在第一象限的抛物线上运动时，连接 PB，试问 △PCB 的面积是否有最大值?如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点 P 在抛物线上运动时，将 △CPD 沿直线 CP 翻折，点 D 的对应点为点 Q，试问，四边形 CDPQ 是否能成为菱形?如果能，请直接写出点 P 的坐标；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】一元二次方程 3x2−2x−4=0 的二次项系数为 3，
故选：A．
3. D【解析】∵y=x−12+3，
∴ 该函数的顶点坐标是 1,3，
故选：D．
4. C【解析】连接 OA，则 OA=5，
∵ OP⊥AB，AB=8，OP 过 O，
∴ AP=BP=12AB=4，
在 Rt△OAP 中，由勾股定理得：OP=OA2−AP2=52−42=3，
故选：C．
5. C
【解析】点 A3,−1 关于原点对称的点的坐标为：−3,1．
故选：C．
6. A【解析】∵ 在不透明的袋中有 5 个白球，3 个黑球，除颜色外均相同，从中一次任意摸出一个球，
∴ 摸到黑球的概率是：35+3=38．
7. C【解析】由函数图象可知，函数图象对应的函数关系式是反比例函数，且 k>0．
8. D【解析】∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC，
∵AB=10，AC=8，AD=4，
∴AE10=48，
解得：AE=5．
故选：D．
9. B【解析】每支球队都需要与其他球队赛 x−1 场，但两队之间只有一场比赛，所以可列方程为：12xx−1=21．
故选：B．
10. B
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
A．∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴AFEF＝ADCE，
∵AD＝BC，
∴AFFE＝BCCE，正确，故本选项不符合题意；
B．∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴AFEF＝ADCE，
∵AD＝BC，
∴AFFE＝BCCE，
∴CEEF＝BCAF≠BCAE，错误，故本选项符合题意；
C．∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴EFAF＝CEAD，
∵AD＝BC，
∴EFAF＝CEBC，正确，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥CD，
∴△AEB∽△FEC，
∴AEEF＝ABCF，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
第二部分
11. 55
【解析】∵△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 85∘，对应得到 △ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30∘，∠EAC=85∘，
∴∠CAD=∠EAC−∠EAD=55∘．
12. −8
【解析】∵m，n 是一元二次方程 x2−2x−8=0 的两根，
∴mn=−8，
故答案为：−8．
13. 5 cm
【解析】∵⊙O 的半径为 5 cm，
∴ 点 O 到直线 AB 的距离为 5 cm 时，直线 AB 与 ⊙O 的位置关系是相切，
故答案为：5 cm．
14. 9
【解析】因为以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ，
所以 △ABC∽△AʹBʹCʹ，AʹBʹ∥AB，
所以 △OAʹCʹ∽△OAC，
因为相似比为 3:1，
所以 AʹCʹAC=OCʹOC=13，
因为 AʹCʹ=3，
所以 AC=9．
15. 6
【解析】设这个扇形的半径是 rcm．根据扇形面积公式，得 60πr2360＝6π，解得 r＝±6（负值舍去）．
16. ①②⑥
【解析】∵ 抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵ 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，
∴c>0，
∴ ①正确；
∵b=4a，
∴a，b 同号，即 b>0，
∴abc>0，
∴ ⑤错误；
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ ④错误；
当 x=1 时，y=a+b+c>0，
∴ ②正确；
当 x=−1 时，y=a−b+c<0，
∴ ③错误；
∵a−b+c<0，4a=b，
∴c<3a，
∴4a>c，
∴ ⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
第三部分
17. 方程分解得：
x+1x+9=0.
可得
x+1=0或x+9=0.
解得：
x1=−1,x2=−9.
18. （1） 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
（2） 由图知点 A1 的坐标为 −2,1，B1 的坐标为 −1,3，C1 的坐标为 −4,4．
19. （1） 根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有 6 种．
（2） 由树状图知摸出的两个小球号码之和等于 4 的有 2 种结果，
∴ 摸出的两个小球号码之和等于 4 的概率为 26=13．
20. 连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠OCD=90∘，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90∘，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
21. （1） 如图所示：
点 D，E 即为所求．
（2） ∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，
∴AC=62+82=10，
∵AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，
∴DC=AD=5，
∵∠B=∠EDC=90∘，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴CDCB=CEAC，
则 58=CE10，
解得：CE=254．
22. （1） 当长方形的宽 AB=x 时，其长 BC=20−2x，
故长方形的面积 y=x20−2x=−2x2+20x，
即 y=−2x2+20x52≤x<10．
（2） y=−2x2+20x=−2x−52+50，
∵−2<0，
∴ 当 x=5 时，y 取得最大值，最大值为 50，
答：当 x=5 时，面积最大为 50 m2．
23. （1） 把点 A 的坐标 −2,1 代入反比例函数 y=mx，可得：m=−2×1=−2，
∴ 反比例函数为 y=−2x，
∵ 反比例函数 y=mx 的图象经过 B 点，
∴ n=−21=−2，
∴ B1,−2，
把 A−2,1，B1,−2 代入 y=kx+b 得 −2k+b=1,k+b=−2
解得 k=−1，b=−1，
∴ 一次函数为 y=−x−1；
（2） 在直线 y=−x−1 中，令 x=0，则 y=−1，
∴ C0,−1，即 OC=1，
∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC×2+12OC×1=12×1×2+1=32；
（3） 不等式 kx+b≥mx 的解集是 x≤−2 或 024. （1） 连接 OC（如图①）．
∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90∘．
∴∠1+∠AOE=90∘．
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90∘，即 ∠OCF=90∘．
∴FD 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BC（如图②）．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC（垂径定理）．
又 ∵AO=OB，
∴OE∥BC 且 OE=12BC．
∴∠OEG=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∠EOG=∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∴△OEG∽△CBGAA．
∴OGCG=OECB=12．
∵OG=2，
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6，即 ⊙O 半径是 6．
（3） ∵OE=3，由（2）知 BC=2OE=6，
∵OB=OC=6，
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠COB=60∘．
∵ 在 Rt△OCD 中，CD=OC⋅tan60∘=63，
∴S阴影=S△OCD−S扇形OBC=12×6×63−60π×62360=183−6π.
25. （1） 当 y=0 时，ax2−9ax−36a=0，
解得 x1=−3，x2=12．
即 A−3,0，B12,0，
由 OC=53OA，得 −36a=53×3，解得 a=−536，
故抛物线的解析式为：y=−536x2+54x+5．
（2） 如图 2，设 Pm,−536m2+54m+5，
∵ 直线 BC 经过 B12,0，C0,5，
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，
则 12k+b=0,b=5, 解得：k=−512,b=5,
∴ 直线 BC 的解析式为：y=−512x+5，
则 Dm,−512m+5，PD=−536m2+53m，
S=12−536m2+53m×12，
S=−56m2+10m=−56m−62+30，
∴ 当 m=6 时，S最大=30．
（3） 215,395 或 995,−24710．
【解析】PD=CD，翻折后 PD=CD=CQ=PQ，PDCQ 是菱形．
设 Pn,−536n2+54n+5，则 Dn,−512n+5，
CD=n2+−512n2=1312n，
而 PD=−536n2+53n，
∵PD=CD，
−536n2+53n=1312n, ⋯⋯①
−536n2+53n=−1312n, ⋯⋯②
解方程①得：n=215或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n=995或0（不符合条件，舍去），
当 n=215 时，P215,395，
综上所述，存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，此时点 P 的坐标为 215,395 或 995,−24710．