2019-2020学年广东省东莞市九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省东莞市九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球，2 个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是
A. 23B. 12C. 25D. 13

3. 已知点 3,−4 在反比例函数 y=kx 的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是
A. 3,4B. −3,−4C. −2,6D. 2,6

4. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，若 AD:DB=1:2，则 △ADE 与 △ABC 的面积之比是
A. 1:3B. 1:4C. 1:9D. 1:16

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48∘ 得到 Rt△AʹBʹCʹ，点 A 在边 BʹC 上，则 ∠Bʹ 的大小为
A. 42∘B. 48∘C. 52∘D. 58∘

6. 关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k<1
C. k>−1 且 k≠0D. k<1 且 k≠0

7. 下列命题错误的是
A. 经过三个点一定可以作圆
B. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
C. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

8. 如图，过 ⊙O 上一点 C 作 ⊙O 的切线，交 ⊙O 直径 AB 的延长线于点 D．若 ∠D=40∘，则 ∠A 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 40∘

9. 已知一个圆锥的母线长为 30 cm，侧面积为 300π cm，则这个圆锥的底面半径为
A. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm

10. 函数 y=kx 与 y=kx2−kk≠0 在同一直角坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 在平面直角坐标系中，点 P2,−3 关于原点对称点 Pʹ 的坐标是 ．

12. 已知关于 x 方程 x2−3x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根为 ．

13. 如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为 ．

14. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △ADE，点 C 和点 E 是对应点，若 AB=1，则 BD= ．

15. 已知 A−4,y1，B−1,y2 是反比例函数 y=−kxk>0 图象上的两个点，则 y1 与 y2 的大小关系为 ．

16. 已知：如图，△ABC 的面积为 12，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为 ．

17. 如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90∘，正方形 CDEF 的顶点 C 是弧 AB 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 4 时，阴影部分的面积为

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 解方程：x+32=2x+6．

19. 甲口袋中装有 3 个小球，分别标有号码 1，2，3；乙口袋装有 2 个小球，分别标有 1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少?

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，△DCE 是 △ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转得到的，此时 B，C，E 在同一直线上．
（1）旋转角的大小；
（2）若 AB=10，AC=8，求 BE 的长．

21. 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年 10 月份的 14000 元/m2 下降到 12 月份的 11340 元/m2．
（1）求 11，12 两月平均每月降价的百分率是多少?
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年 2 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 10000 元/m2?请说明理由．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在 ⊙O 上，弦 PB 与 CD 交于点 F，且 FC=FB．
（1）求证：PD∥CB；
（2）若 AB=26，EB=8，求 CD 的长度．

23. 如图，一次函数 y=x+b 和反比例函数 y=kxk≠0 交于点 A4,1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．

24. 已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，DE=EC，以 AE 为直径的 ⊙O 与边 CD 相切于点 D，点 B 在 ⊙O 上，连接 OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若 CD∥AB，求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：四边形 ABCD 是菱形．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−1,0，B3,0，C0,3 三点，直线 l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 △PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；
（3）在直线 l 上是否存在点 M，使 △MAC 为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若抛物线顶点为 D，点 Q 为直线 AC 上一动点，当 △DOQ 的周长最小时，求点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2. A【解析】从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率 =46=23．
3. C【解析】∵ 点 3,−4 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=3×−4=−12，
而 3×4=−3×−4=2×6=12，−2×6=−12，
∴ 点 −2,6 在该反比例函数图象上．
4. C【解析】∵AD:DB=1:2，
∴AD:AB=1:3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=132=19．
5. A
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48∘ 得到 Rt△AʹBʹCʹ，
∴∠Aʹ=∠BAC=90∘，∠ACAʹ=48∘，
∴∠Bʹ=90∘−∠ACAʹ=42∘．
6. C【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0 且 Δ>0，即 −22−4×k×−1>0，
解得 k>−1 且 k≠0．
7. A【解析】A、经过不在同一直线上的三个点可以作圆，故本选项错误；
B、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；
故选：A．
8. B【解析】连接 OC．
∵CD 切 ⊙O 于 C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90∘，
∵∠D=40∘，
∴∠COD=180∘−90∘−40∘=50∘，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=50∘，
∴∠A=25∘．
9. B【解析】设这个圆锥的底面半径为 r cm，
300π=12×2πr×30，
解得，r=10．
10. D
【解析】分两种情况讨论：
①当 k<0 时，反比例函数 y=kx，在二、四象限，而二次函数 y=kx2−k 开口向下，故A，B，C，D都不符合题意；
②当 k>0 时，反比例函数 y=kx，在一、三象限，而二次函数 y=kx2−k 开口向上，与 y 轴交点在原点下方，故选项D正确，故选：D．
第二部分
11. −2,3
【解析】根据中心对称的性质，得点 P2,−3 关于原点的对称点 Pʹ 的坐标是 −2,3．
12. 2
【解析】设方程的另一个根为 m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
13. 14
【解析】∵ 四边形是平行四边形，
∴ 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积 =14S四边形，
∴ 针头扎在阴影区域内的概率为 14．
14. 2
【解析】∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △ADE，
∴AB=AD=1，∠DAB=90∘，
∴BD=AD2+AB2=2．
15. y1【解析】∵k>0，
∴−k<0，
因此在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵−4<−1，
∴y116. 9
【解析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 S△ADE=12−x．
∵ 点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC 且 DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，则 S△ADES△ABC=DEBC2，
即 12−x12=14，解得：x=9，即四边形 BCED 的面积为 9．
17. 4π−8．
【解析】连接 OC，
∵ 在扇形 AOB 中 ∠AOB=90∘，正方形 CDEF 的顶点 C 是弧 AB 的中点，
∴∠COD=45∘，
∴OC=2CD=42，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积=45π×422360−12×4×4=4π−8.
第三部分
18.
x+32−2x+3=0.x+3x+3−2=0.x+3=0 或 x+3−2=0.∴x1=−3,x2=−1.
19.
P两个小球的号码相同=13．
20. （1） ∵△DCE 是 △ABC 绕着点 C 顺时针方向旋转得到的，此时点 B，C，E 在同一直线上，
∴∠ACE=90∘，即旋转角为 90∘．
（2） 在 Rt△ABC 中，
∵AB=10，AC=8，
∴BC=AB2−AC2=6，
∵△ABC 绕着点 C 旋转得到 △DCE，
∴CE=CA=8，
∴BE=BC+CE=6+8=14．
21. （1） 设 11，12 两月平均每月降价的百分率是 x，
则 11 月份的成交价是：140001−x，
12 月份的成交价是：140001−x2．
∴140001−x2=11340.∴1−x2=0.81.∴x1=0.1=10%,x2=1.9不合题意,舍去.
答：11，12 两月平均每月降价的百分率是 10%．
（2） 会跌破 10000 元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年 2 月份该市的商品房成交均价为：113401−x2=11340×0.81=9185.4<10000．
由此可知今年 2 月份该市的商品房成交均价会跌破 10000 元/m2．
22. （1） ∵FC=FB，
∴∠C=∠CBF，
∵∠P=∠C，
∴∠P=∠CBF，
∴PD∥BC．
（2） 连接 AC．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵AB⊥CD，
∴CE=ED，∠AEC=∠CEB=90∘，
∵∠CAE+∠ACE=90∘，∠ACE+∠BCE=90∘，
∴∠CAE=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴AEEC=ECBE，
∴18EC=EC8，
∴EC2=144，
∵EC>0，
∴EC=12，
∴CD=2EC=24．
23. （1） ∵ 反比例函数 y=kx 的图象过点 A4,1，
∴1=k4，即 k=4，
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x．
∵ 一次函数 y=x+bk≠0 的图象过点 A4,1，
∴1=4+b，解得 b=−3，
∴ 一次函数的解析式为 y=x−3．
（2） ∵ 令 x=0，则 y=−3，
∴D0,−3，即 DO=3．
解方程 4x=x−3，得 x=−1，
∴B−1,−4，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12×3×4+12×3×1=152．
（3） ∵A4,1，B−1,−4，
∴ 一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围为 −14．
24. （1） 如图，连接 OD，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90∘，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE．
（2） ∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60∘，
∴∠2=∠1=30∘，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30∘，
∴∠BOC=∠DOC=60∘，
在 △CDO 与 △CBO 中，
OD=OB,∠DOC=∠BOC,OC=OC,
∴△CDO≌△CBOSAS，
∴∠CBO=∠CDO=90∘，
∴OB⊥BC，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（3） ∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，
∴OA=OB=DE=EC，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30∘，
∴△ABO≌△CDEAAS，
∴AB=CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAE=12∠DOE=30∘，
∴∠1=∠DAE，
∴CD=AD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
25. （1） 方法一：
将 A−1,0，B3,0，C0,3 代入抛物线 y=ax2+bx+c 中，
得：a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=3, 解得：a=−1,b=2,c=3,
∴ 抛物线的解析式：y=−x2+2x+3．
【解析】方法二：
∵A−1,0，B3,0，C0,3，
∴y=−x+1x−3，即 y=−x2+2x+3．
（2） 方法一：
连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P；
∵ 点 A，B 关于直线 l 对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+bk≠0，将 B3,0，C0,3 代入上式，
得：3k+b=0,b=3, 解得：k=−1,b=3,
∴ 直线 BC 的函数关系式 y=−x+3．
当 x=1 时，y=2，即 P 的坐标 1,2．
【解析】方法二：
连接 BC．
∵l 为对称轴，
∴PB=PA，
∴C，B，P 三点共线时，△PAC 周长最小，
把 x=1 代入 lBC：y=−x+3，得 P1,2．
（3） 符合条件的点有 4 个，M11,6，M21,−6，M31,1，M41,0．
【解析】方法一：
抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，设 M1,m，已知 A−1,0，C0,3，
则：MA2=m2+4，MC2=3−m2+1=m2−6m+10，AC2=10．
①若 MA=MC，则 MA2=MC2，得：m2+4=m2−6m+10，得：m=1；
②若 MA=AC，则 MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±6；
③若 MC=AC，则 MC2=AC2，得：m2−6m+10=10，得：m1=0，m2=6，
当 m=6 时，M，A，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M1,6，1,−6，1,1，1,0．
方法二：
设 M1,t，A−1,0，C0,3．
∵△MAC 为等腰三角形，
∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，
1+12+t−02=1−02+t−32，
∴t=1；
1+12+t−02=−1−02+0−32，
∴t=±6；
1−02+t−32=−1−02+0−32，
∴t1=6，t2=0，
经检验，t=6 时，M，A，C 三点共线，故舍去．
综上可知，符合条件的点有 4 个，M11,6，M21,−6，M31,1，M41,0．
（4） 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H，作 HG⊥AO，垂足为 G，
∴∠AHG+∠GHO=90∘，∠AHG+∠GAH=90∘，
∴∠GHO=∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2=GO⋅GA，
∵A−1,0，C0,3，
∴lAC：y=3x+3，H−910,310，
∵H 为 OOʹ 的中点，
∴Oʹ−95,35，
∵D1,4，
∴lOʹD：y=1714x+3914，lAC：y=3x+3，
∴x=−325，y=6625，
∴Q−325,6625．