2018-2019学年广东省深圳中学九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018-2019学年广东省深圳中学九上期末数学试卷（一模），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 抛物线 y=12x−22−3 的顶点坐标是
A. 2,3B. 2,−3C. −2,3D. −2,−3

2. 一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是 4，则该组数据的平均数是
A. 3.6B. 3.8C. 3.6 或 3.8D. 4.2

3. 如图，是由 7 个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①，②，③，④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是
A. ①B. ②C. ③D. ④

4. 一元二次方程 x2−4x+4=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定

5. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 是反比例函数 y=kxx>0 图象上的一点，分别过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 3，则 k 的值为
A. 3B. −3C. 32D. −32

6. 如图，AB 是 ⊙O 的切线，A 为切点，连接 OB 交 ⊙O 于点 C．若 OA=3，tan∠AOB=43，则 BC 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

7. 如图，反比例函数 y=kxx<0 与一次函数 y=x+4 的图象交于 A，B 两点的横坐标分别为 −3，−1．则关于 x 的不等式 kxA. x<−3B. −3C. −1
8. 如图，已知在 △ABC 中，P 为 AB 上一点，连接 CP，以下条件中不能判定 △ACP∽△ABC 的是
A. ∠ACP=∠BB. ∠APC=∠ACB
C. ACAB=CPBCD. ACAP=ABAC

9. 某钢铁厂一月份生产钢铁 560 吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁 1850 吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少?若设二、三月份平均每月的增长率为 x，则可得方程
A. 5601+x2=1850
B. 560+5601+x2=1850
C. 5601+x+5601+x2=1850
D. 560+5601+x+5601+x2=1850

10. 将抛物线 y=−3x2 平移，得到抛物线 y=−3x−12−2，下列平移方式中，正确的是
A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位

11. 按如下方法，将 △ABC 的三边缩小的原来的 12，如图，任取一点 O，连 AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得 △DEF，则下列说法正确的个数是
① △ABC 与 △DEF 是位似图形；
② △ABC 与 △DEF 是相似图形；
③ △ABC 与 △DEF 的周长比为 1:2；
④ △ABC 与 △DEF 的面积比为 4:1．
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：
（1）4a+b=0；
（2）9a+c>3b；
（3）8a+7b+2c>0；
（4）若点 A−3,y1，点 B−12,y2，点 C72,y3 在该函数图象上，则 y1（5）若方程 ax+1x−5=−3 的两根为 x1 和 x2，且 x1其中正确的结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 如图，矩形 ABCD 对角线 AC，BD 交于点 O，若 ∠AOD=110∘，则 ∠OAB= ∘．

14. 如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下 A 处前进 4 米到达 B 处时，测得影子 BC 长为 1 米，已知小明身高 1.6 米，他若继续往前走 4 米到达 D 处，此时影子 DE 长为 米．

15. 如图，在 ⊙O 中，CD⊥AB 于 E，若 ∠BAD=30∘，且 BE=2，则 CD= ．

16. 在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上一点且 CE=2BE，点 F 为对角线 BD 上一点且 BF=2DF，连接 AE 交 BD 于点 G，过点 F 作 FH⊥AE 于点 H，连接 CH，CF，若 HG=2 cm，则 △CHF 的面积是 cm2．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：
（1）计算：π−20170+1−3+2−1−2sin60∘；
（2）解方程：x−2x−5=−2．

18. 关于三角函数有如下的公式：
sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ, ⋯⋯①
csα+β=csαcsβ−sinαsinβ, ⋯⋯②
tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ. ⋯⋯③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105∘=tan45∘+60∘=tan45∘+tan60∘1−tan45∘⋅tan60∘=1+31−1⋅3=1+31+31−31+3=−2+3.
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物 CD 上方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角 α=60∘，底端 C 点的俯角 β=75∘，此时直升飞机与建筑物 CD 的水平距离 BC 为 42 m，求建筑物 CD 的高．

19. 四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DE=BF，连接 AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若 BC=12，DE=5，求 △AEF 的面积．

20. 如图，直线 y=−x+b 与反比例函数 y=−3x 的图象相交于点 Aa,3，且与 x 轴相交于点 B．
（1）求 a，b 的值；
（2）若点 P 在 x 轴上，且 △AOP 的面积是 △AOB 的面积的 12，求点 P 的坐标．

21. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了 1000 米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩未达到良好有多少名?
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米比赛．预赛分别为 A，B，C 三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?

22. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，⊙O 是 △BEF 的外接圆．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）过点 E 作 EH⊥AB，垂足为 H，求证：CD=HF；
（3）若 CD=1，EH=3，求 BF 及 AF 长．

23. 已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象分别与 x 轴交于点 A3,0，C−1,0，与 y 轴交于点 B．点 D 为二次函数图象的顶点．
（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：
（2）如图②所示，在 x 轴上取一动点 Pm,0，且 1（3）在图①中，若 R 为 y 轴上的一个动点，连接 AR，则 1010BR+AR 的最小值 （直接写出结果）．
答案
第一部分
1. B【解析】因为 y=12x−22−3 的是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 2,−3．
故选：B．
2. C【解析】∵ 数据：a，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是 4，
∴a=1 或 2，
当 a=1 时，平均数为 1+3+4+4+65=3.6；
当 a=2 时，平均数为 2+3+4+4+65=3.8．
3. A【解析】原几何体的主视图是：
故取走的正方体是①．
故选：A．
4. B【解析】在方程 x2−4x+4=0 中，
Δ=−42−4×1×4=0，
∴ 该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5. A
【解析】∵ 点 P 是反比例函数 y=kxx>0 图象上的一点，
分别过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B．
若四边形 OAPB 的面积为 3，
∴ 矩形 OAPB 的面积 S=k=3，解得 k=±3．
又 ∵ 反比例函数的图象在第一象限，
∴k=3．
6. A【解析】∵OA=3，tan∠AOB=43，
∴OB=5，
∴CB=OB−OC=5−3=2，
故选：A．
7. B【解析】观察图象可知，当 −3 ∴ 关于 x 的不等式 kx8. C【解析】A、 ∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
∴ 此选项的条件可以判定 △ACP∽△ABC；
B、 ∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
∴ 此选项的条件可以判定 △ACP∽△ABC；
C、 ∵ACAB=CPBC，
当 ∠ACP=∠B 时，△ACP∽△ABC，
∴ 此选项的条件不能判定 △ACP∽△ABC；
D、 ∵ACAP=ABAC，
又 ∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴ 此选项的条件可以判定 △ACP∽△ABC，
本题选择不能判定 △ACP∽△ABC 的条件，
故选：C．
9. D【解析】依题意得二月份的产量是 5601+x，
三月份的产量是 5601+x1+x=5601+x2，
∴560+5601+x+5601+x2=1850．
10. D
【解析】∵y=−3x2 的顶点坐标为 0,0，y=−3x−12−2 的顶点坐标为 1,−2，
∴ 将抛物线 y=−3x2 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，可得到抛物线 y=−3x−12−2．
11. C【解析】根据位似性质得出① △ABC 与 △DEF 是位似图形，
② △ABC 与 △DEF 是相似图形，
∵ 将 △ABC 的三边缩小的原来的 12，
∴△ABC 与 △DEF 的周长比为 2:1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴ ④ △ABC 与 △DEF 的面积比为 4:1．
12. B【解析】（1）正确．
∵−b2a=2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．
∵x=−3 时，y<0，
∴9a−3b+c<0，
∴9a+c<3b，故（2）错误．
（3）正确．
由图象可知抛物线经过 −1,0 和 5,0，
∴a−b+c=0,25a+5b+c=0, 解得 b=−4a,c=−5a,
∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，
∵a<0，
∴8a+7b+2c>0，故（3）正确．
（4）错误，
∵ 点 A−3,y1 、点 B−12,y2 、点 C72,y3，
∵72−2=32，2−−12=52，
∴32<52，
∴ 点 C 离对称轴的距离近，
∴y3>y2，
∵a<0，−3<−12<2，
∴y1 ∴y1（5）正确．
∵a<0，
∴x+1x−5=−3a>0，
即 x+1x−5>0，
故 x<−1 或 x>5，故（5）正确．
∴ 正确的有三个，
故选：B．
第二部分
13. 55
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOD=110∘，∠AOD=∠OAB+∠OAB，
∴∠OAB=∠OBA=55∘
14. 2
【解析】由 FB∥AP 可得，△CBF∽△CAP，
∴CBCA=BFAP，即 11+4=1.6AP，解得 AP=8，
由 GD∥AP 可得，△EDG∽△EAP，
∴EDEA=GDPA，即 ED4+4+ED=1.68，解得 ED=2．
15. 43
【解析】∵∠BAD=30∘，BE=2，
∴∠C=∠BAD=30∘．
∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90∘，CD=2CE，
∴BC=2BE=4，
∴CE=BC2−BE2=42−22=23，
∴CD=2CE=43．
16. 565
【解析】如图，过 F 作 FI⊥BC 于 I，连接 FE，FA．
∴FI∥CD，
∵CE=2BE，BF=2DF，
∴ 设 BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，
∴ 则 FE=FC=FA=5a，
∴H 为 AE 的中点，
∴HE=12AE=10a2，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BG 平分 ∠ABC，
∴EGAG=BEAB=13，
∴HG=14AE=104a=2，
∴a=4510，
∴S△CHF=S△HEF+S△CEF−S△CEH=12102a2+12⋅2a⋅2a−12⋅2a⋅32a=74a2=565.
第三部分
17. （1） 原式=1+3−1+12−2×32=12.
（2） 整理得：
x2−7x+12=0.x−3x−4=0.x−3=0 或 x−4=0.∴x1=3,x2=4.
18. 由于 α=60∘，β=75∘，BC=42，
则
AB=BC⋅tanβ=42tan75∘=42⋅tan45∘+tan30∘1−tan45∘⋅tan30∘=42⋅1+331−33=423+2,
A，D 垂直距离为 BC⋅tanα=423，
∴CD=AB−423=84（米）．
答：建筑物 CD 的高为 84 米．
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90∘，
而 F 是 CB 的延长线上的点，
∴∠ABF=90∘，
在 △ADE 和 △ABF 中，
∵AB=AD,∠ABF=∠ADE,BF=DE,
∴△ADE≌△ABFSAS．
（2） ∵BC=12，
∴AD=12，
在 Rt△ADE 中，DE=5，AD=12，
∴AE=AD2+DE2=13，
∵△ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90∘ 得到，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴△AEF 的面积 =12AE2=12×169=84.5．
20. （1） ∵ 直线 y=−x+b 与反比例函数 y=−3x 的图象相交于点 Aa,3，
∴3=−3a，
∴a=−1．
∴A−1,3．
把 A 的坐标代入 y=−x+b 得，
3=1+b，
∴b=2．
（2） 直线 y=−x+2 与 x 轴相交于点 B．
∴B2,0，
∵ 点 P 在 x 轴上，
△AOP 的面积是 △AOB 的面积的 12，
∴OB=2PO，
∴P 的坐标为 1,0 或 −1,0．
21. （1） 抽取的学生数：16÷40%=40（人）；
抽取的学生中合格的人数：40−12−16−2=10（人），
合格所占百分比：10÷40=25%，
优秀所占百分比：12÷40=30%，
如图所示：
（2） 成绩未达到良好的男生所占比例为：25%+5%=30%，
所以 600 名九年级男生中有 600×30%=180（名）；
（3） 如图：
可得一共有 9 种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有 3 种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率 P=39=13．
22. （1） 如图，连接 OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90∘，
∴BF 是圆 O 的直径．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90∘，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC 于 C，EH⊥AB 于 H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180∘，∠HFE+∠BDE=180∘，
∴∠CDE=∠HFE．
在 △CDE 与 △HFE 中，
∠CDE=∠HFE,∠C=∠EHF=90∘,EC=EH,
∴△CDE≌△HFEAAS，
∴CD=HF．
（3） 由（2）得 CD=HF，又 CD=1，
∴HF=1，
在 Rt△HFE 中，EF=32+12=10，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90∘，
∴∠EHF=∠BEF=90∘，
∵∠EFH=∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴EFBF=HFEF，即 10BF=110，
∴BF=10，
∴OE=12BF=5，OH=5−1=4，
∴Rt△OHE 中，cs∠EOA=45，
∴Rt△EOA 中，cs∠EOA=OEOA=45，
∴5OA=45，
∴OA=254，
∴AF=254−5=54．
23. （1） 将 A3,0，C−1,0 代入 y=ax2+bx+3，得：
9a+3b+3=0,a−b+3=0, 解得：a=−1,b=2,
∴ 此二次函数的关系式为 y=−x2+2x+3．
（2） ∵ y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 点 D 的坐标为 1,4．
设线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=kx+c（k≠0），
将 A3,0，C0,3 代入 y=kx+c，得：
3k+c=0,c=3, 解得：k=−1,c=3,
∴ 线段 AB 所在直线的函数关系式为 y=−x+3．
同理，可得出：线段 AD 所在直线的函数关系式为 y=−2x+6．
∵ 点 P 的坐标为 m,0，
∴ 点 E 的坐标为 m,−m+3，点 F 的坐标为 m,−2m+6，
∴ EP=−m+3，EF=−m+3，
∴ EF=EP．
（3） 6105
【解析】如图③，连接 BC，过点 R 作 RQ⊥BC，垂足为 Q．
∵ OC=1，OB=3，
∴ BC=OC2+OB2=10．
∵ ∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90∘，
∴ △BQR∽△BOC，
∴ BRBC=QROC，即 BR10=QR1，
∴ RQ=1010BR，
∴ AR+1010BR=AR+RQ，
∴ 当 A，R，Q 共线且垂直 AB 时，即 AR+1010BR=AQ 时，其值最小．
∵ ∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC，
∴ △CQA∽△COB，
∴ AQBO=ACBC，即 AQ3=410，
∴ AQ=6105，
∴ 1010BR+AR 的最小值为 6105．