2018-2019学年天津市和平区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年天津市和平区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 掷一枚质地均匀的硬币，前 6 次都是正面朝上，则掷第 7 次时正面朝上的概率是
A. 1B. 67C. 12D. 0

3. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，ADDB=12，则下列结论中正确的是
A. AEAC=12B. DEBC=12
C. △ADE 的周长△ABC 的周长=13D. △ADE 的面积△ABC 的面积=13

4. 将抛物线 y=−5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为
A. y=−5x+12−1B. y=−5x−12−1
C. y=−5x+12+3D. y=−5x−12+3

5. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 A2,−3，Bx,y，当 1A. −32
6. 如图，在平面直角坐标系中，有点 A6,3，B6,0，以原点 O 为位似中心，相似比为 13，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到 CD，则点 C 的坐标为
A. 2,1B. 2,0C. 3,3D. 3,1

7. 在二次函数 y=−x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是
A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−1

8. 如图，点 P 在 △ABC 的边 AC 上，要判断 △ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABACD. ABBP=ACCB

9. 如图，点 E 是 △ABC 的内心，AE 的延长线和 △ABC 的外接圆相交于点 D，连接 BD，BE，CE，若 ∠CBD=32∘，则 ∠BEC 的大小为
A. 64∘B. 120∘C. 122∘D. 128∘

10. 若点 x1,y1，x2,y2，x3,y3 都是反比例函数 y=−a2−1x 的图象上的点，并且 x1<0A. y1
11. 当 a≤x≤a+1 时，函数 y=x2−2x+1 的最小值为 4，则 a 的值为
A. −2B. 4C. 4 或 3D. −2 或 3

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca<0 与 x 轴交于点 A−1,0，与 y 轴的交点在 0,2，0,3 之间（包含端点），顶点坐标为 1,n，则下列结论：
① 4a+2b<0；
② −1≤a≤−23；
③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立；
④关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根．
其中结论正确的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，点 A，B，C 是 ⊙O 上的三点，∠B=75∘，则 ∠AOC 的大小为 度．

14. 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时 y=6，求当 x=4 时 y= ．

15. 如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F．AC 与 DF 相交于点 H，且 AH=2，HB=1，BC=5，则 DEEF 的值为 ．

16. 一个透明的布袋里装有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出 1 个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出 1 个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是 ．

17. 如图，点 P 是 ⊙O 外一点，PT 切 ⊙O 于点 T，PB 交 ⊙O 于 A，B 两点，连接 OT，则 PT 与 OT 的位置关系是 ，PA+PB 2PT（填“>”、“<”或“=”号）．

18. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 θ0∘<θ<180∘，得到 △A1B1C．
（Ⅰ）如图①，当 AB∥CB1 时，旋转角 θ= （度）；
（Ⅱ）如图②，取 AC 的中点 E，A1B1 的中点 P，连接 EP，已知 AC=a，当 θ= （度）时，EP 的长度最大，最大值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知关于 x 的方程 x2+ax−2=0 的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根．

20. 已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O，BC=CD，连接 AC，BD．
（1）如图①，若 ∠CBD=36∘，求 ∠BAD 的大小；
（2）如图②，若点 E 在对角线 AC 上，且 EC=BC，∠EBD=24∘，求 ∠ABE 的大小．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AD=1，OA=2，求 AC 的值．

22. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8000 kg，2009 年平均每公顷产 9680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x．
（1）用含 x 的代数式表示：
① 2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
② 2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（2）根据题意，列出相应方程 ；
（3）解这个方程，得 ；
（4）检验： ；
（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %．

23. 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?

24. 已知，四边形 ABCD 是边长为 32 的正方形，点 E 在边 AB 上，矩形 AEFG 的边 AE=72，∠GAF=30∘．
（1）如图①，求 AF 的长；
（2）如图②，将矩形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 α0∘<α<90∘，得到矩形 AMNH，点 C 恰好在 AN 上．
①求 α 的大小；
②求 DN 的长；
（3）若将矩形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 30∘，得到矩形 ARTZ，此时，点 B 在矩形 ARTZ 的内部、外部、还是边上?（直接写出答案即可）

25. 已知，抛物线 y=mx2+1−2mx+1−3m（m 是常数）．
（1）当 m=1 时，求该抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
（2）抛物线与 x 轴相交于不同的两点 A，B．
① 求 m 的取值范围；
② 无论 m 取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点 P，当 14答案
第一部分
1. D【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
2. C【解析】掷一枚质地均匀的硬币，前 6 次都是正面朝上，则掷第 7 次时正面朝上的概率是 12．
3. C【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=DEBC，
∵ADDB=12，
∵ADAB=AEAC=DEBC=13，故A，B选项均错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE 的周长△ABC 的周长=ADAB=13，△ADE 的面积△ABC 的面积=ADAB2=19，
故C选项正确，D选项错误．
4. A【解析】将抛物线 y=−5x2+1 向左平移 1 个单位长度，得到 y=−5x+12+1，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为：y=−5x+12−1．
5. B
【解析】把 −2,3 代入 y=kx，得 k=−2×3=6，
∴ 反比例函数解析式为 y=−6x．
当 x=1 时，y=−61=−6；当 x=3 时，y=−63=−2，
∴ 当 26. A【解析】由题意得 △ODC∽△OBA，相似比是 13，
∴ODOB=DCAB，
又 ∵OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴ 点 C 的坐标为 2,1．
7. A【解析】∵a=−1<0，
∴ 二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线 x=1，
∴ 当 x<1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大．
8. D
9. C【解析】在 ⊙O 中，
∵∠CBD=32∘，
∴∠CAD=32∘，
∵ 点 E 是 △ABC 的内心，
∴∠BAC=64∘，
∴∠EBC+∠ECB=180∘−64∘÷2=58∘，
∴∠BEC=180∘−58∘=122∘．
10. B
【解析】∵−a2−1<0，
∴ 反比例函数图象位于二、四象限，
如图在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵x1<0 ∴y211. D【解析】当 y=4 时，有 x2−2x+1=4，解得：x1=−1，x2=3．
∵ 当 a≤x≤a+1 时，函数有最小值 4，
∴a=3 或 a+1=−1，
∴a=3 或 a=−2．
12. C【解析】① ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 1,n，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∴4a+2b=0，结论①错误；
② ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A−1,0，
∴a−b+c=3a+c=0，
∴a=−c3．
又 ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴的交点在 0,2，0,3 之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴−1≤a≤−23，结论②正确；
③ ∵a<0，顶点坐标为 1,n，
∴n=a+b+c，且 n≥ax2+bx+c，
∴ 对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立，结论③正确；
④ ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 1,n，
∴ 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n 只有一个交点，
又 ∵a<0，
∴ 抛物线开口向下，
∴ 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n−1 有两个交点，
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根，结论④正确．
第二部分
13. 150
【解析】∵AC=AC，
∴∠AOC=2∠B=150∘．
14. 3
【解析】设函数解析式为：y=kx，把 x=2，y=6 代入，得 k=12，
∴y=12x．
把 x=4 代入 y=12x 中：y=124，解得：y=3．
15. 35
【解析】∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴DEEF=ABBC=35．
16. 49
【解析】画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有 4 种情况，
∴ 两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：49．
17. PT⊥OT，>
【解析】∵ 点 P 是 ⊙O 外一点，PT 切 ⊙O 于点 T，
∴OT⊥PT．
∵PT2=PA⋅PB，
又 ∵PB−PA2>0，
∴PB+PA2>4PA⋅PB，
∴PT2 ∴PA+PB>2PT．
18. 30，120，3a2
【解析】（Ⅰ）∵AB∥CB1，∠ABC=30∘，
∴∠BCB1=∠ABC=30∘，
∴ 旋转角为 ∠BCB1=30∘；
（Ⅱ）∵P 为 A1B1 的中点，
∴CP=A1P，
∵∠ABC=30∘，
∴∠B1=∠B=30∘，
∴∠A1=90∘−∠B1=90∘−30∘=60∘，
∴△A1CP 是等边三角形，
∴∠A1CP=60∘，
根据三角形的三边关系，CE+CP>EP，
∴ 当点 E，C，P 三点共线时 EP 最大，最大为 EP=CE+CP，
此时，旋转角为 180∘−∠A1CP=180∘−60∘=120∘，
∵AC=a，点 E 为 AC 的中点，
∴EP=12a+a=3a2．
第三部分
19. 把 x=1 代入 x2+ax−2=0，得 12+a−2=0，解得 a=1．
根据根与系数的关系得到方程的另一根为：−21=−2．
综上所述，a 的值为 1，该方程的另一根是 −2．
20. （1） ∵BC=CD，
∴BC=CD，
∴∠DBC=∠BAC=∠CAD，
∵∠CBD=36∘，
∴∠BAC=∠CAD=36∘，
∴∠BAD=36∘+36∘=72∘．
（2） ∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠DBE+∠CBD=∠BAE+∠ABE，
∵∠CBD=∠BAC，
∴∠ABE=∠DBE=24∘．
21. （1） 连接 OC，如图所示：
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB=90∘，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
又 ∵∠ACD=∠B，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90∘，即 OC⊥CD，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90∘，
又 ∵∠ACD=∠B，
∴△ACB∽△ADC，
∴AC2=AD⋅AB=1×4=4，
∴AC=2．
22. （1） 80001+x；80001+x2
（2） 80001+x2=9680
（3） x1=0.1，x2=−2.1
（4） x1=0.1，x2=−2.1 都是原方程的根，但 x2=−2.1 不符合题意，所以只取 x=0.1
（5） 10
23. （1） 设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=ax−32+5a≠0，
将 8,0 代入 y=ax−32+5，得：25a+5=0，解得：a=−15，
∴ 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=−15x−32+50 （2） 当 y=1.8 时，有 −15x−32+5=1.8，解得：x1=−1，x2=7，
∴ 为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内．
24. （1） ∵ 四边形 AEFG 是矩形，
∴∠AEF=90∘，AE=FG，
∵AE=72，
∴GF=72，
∵∠GAF=30∘，
∴AF=2FG=7．
（2） ①如图 2 中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAC=45∘，
∴α=∠DAC−∠HAN=45∘−30∘=15∘；
②如图 2 中，作 NK⊥DC 交 DC 的延长线于 K．
∵AC=2AB=6，AN=7，
∴CN=1，
在 Rt△CNK 中，
∵∠NCK=∠DCA=45∘，
∴CK=NK=22，
∴DN=DC+CK=32+22=722，
在 Rt△DNK 中，DN=KN2+DK2=7222+222=5．
（3） 点 B 在 △ANM 外．
【解析】如图③中，设 MN 交直线 AB 于点 J，作 JQ⊥AN 于 Q．
由题意可知：AN=7，∠JAN=∠N=30∘，
∴JA=JN，
∵JQ⊥AN，
∴AQ=QN=72，
∴AJ=AQcs30∘=733，
∵AB=32，
∴AJ ∴ 点 B 在 △ANM 外．
25. （1） 把 m=1，y=0 代入抛物线可得 x2−x−2=0，解得 x1=−1，x2=2，
故该抛物线与 x 轴的公共点的坐标为 −1,0 或 2,0．
（2） ① 当 m=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当 m≠0 时，
∵ 抛物线 y=mx2+1−2mx+1−3m 与 x 轴相交于不同的两点 A，B，
∴Δ=1−2m2−4×m×1−3m=1−4m2>0，
∴1−4m≠0，
∴m≠14，
∴m 的取值范围为 m≠0 且 m≠14；
②AB=xA−xB=b2−4aca=1−2m2−4m1−3mm=1−4m+4m2−4m+12m2m2=1−4m2m2=1−4mm=1m−4,
∵14 ∴18≤1m<4，
∴−318≤1m−4<0，
∴0<1m−4≤318，
∴AB 最大时，1m=318，解得：m=8 或 m=863（舍去），
∴ 当 m=8 时，AB 有最大值 318，此时 △ABP 的面积最大，没有最小值，
∵ 抛物线 y=mx2+1−2mx+1−3m，
∴y=mx2−2x−3+x+1，
抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关，
显然当 x2−2x−3=0 时，y 与 m 无关，解得：x=3 或 x=−1，
当 x=3 时，y=4，定点坐标为 3,4；
当 x=−1 时，y=0，定点坐标为 −1,0，
∵P 不在坐标轴上，
∴P3,4，则面积最大为：12AByP=12×318×4=314．