2018_2019学年北京市门头沟区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市门头沟区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果 ab=23，那么 a−bb 的结果是
A. −12B. −13C. 13D. 12

2. 将抛物线 y=x2 的图象向上平移 3 个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是
A. y=x−32B. y=x+32C. y=x2−3D. y=x2+3

3. 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，如果 ∠DCE=75∘，那么 ∠BAD 的度数是
A. 65∘B. 75∘C. 85∘D. 105∘

4. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 4,−3，如果射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，那么 ∠α 的正弦值是
A. 35B. 34C. 45D. 43

5. 如图是某个几何体，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 已知 △ABC，AC=3，CB=4，以点 C 为圆心 r 为半径作圆，如果点 A 、点 B 只有一个点在圆内，那么半径 r 的取值范围是
A. r>3B. r≥4C. 3
7. 一个不透明的盒子中装有 20 张卡片，其中有 5 张卡片上写着“三等奖”；3 张卡片上写着“二等奖”，2 张卡片上写着“一等奖”，其余卡片写着“谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为
A. 12B. 14C. 320D. 110

8. 李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有 50 升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是
A. 此车一共行驶了 210 公里
B. 此车高速路一共用了 12 升油
C. 此车在城市路和山路的平均速度相同
D. 以此车在这三个路段的综合油耗判断 50 升油可以行驶约 525 公里

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 二次函数 y=−3x2+5x+1 的图象开口方向 ．

10. 已知线段 AB=5 cm，将线段 AB 以点 A 为旋转中心，逆时针旋转 90∘ 得到线段 ABʹ，则点 B 、点 Bʹ 的距离为 ．

11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中有一矩形，顶点坐标分别为 1,1，4,1，4,3，1,3，有一反比例函数 y=kxk≠0 它的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，且 DE∥BC，如果 ADDB=23，那么 DEBC= ．

13. 如图，在 △ABC 中，∠A=60∘，⊙O 为 △ABC 的外接圆．如果 BC=23，那么 ⊙O 的半径为 ．

14. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150∘，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 m．

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 L2 可以看作是由图形 L1 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由图形 L1 得到图形 L2 的过程 ．

16. 下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：⊙O．
求作：⊙O 的内接正方形．
作法：如图，
（1）作 ⊙O 的直径 AB；
（2）分别以点 A，点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于 M，N 两点；
（3）作直线 MN 与 ⊙O 交于 C，D 两点，顺次连接 A，C，B，D．即四边形 ACBD 为所求作的圆内接正方形．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：π+30+12−2sin60∘−12−2．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于 E．求证：△ABD∽△CBE．

19. 已知二次函数 y=x2+2x−3．
（1）将 y=x2+2x−3 用配方法化成 y=ax−h2+k 的形式；
（2）求该二次函数的图象的顶点坐标．

20. 先化简，再求值：m+2m+1m÷m+1m2，其中 m 是方程 x2+x−3=0 的根．

21. 在平面直角坐标 xOy 中的第一象限内，直线 y1=kxk≠0 与双曲 y2=mxm≠0 的一个交点为 A2,2．
（1）求 k，m 的值；
（2）过点 Px,0 且垂直于 x 轴的直线与 y1=kx，y2=mx 的图象分别相交于点 M，N，点 M，N 的距离为 d1，点 M，N 中的某一点与点 P 的距离为 d2，如果 d1=d2，在如图中画出示意图并且直接写出点 P 的坐标．

22. 如图，小明想知道湖中两个小亭 A，B 之间的距离，他在与小亭 A，B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点 M 处，测得亭 A 在点 M 的北偏东 60∘，亭 B 在点 M 的北偏东 30∘，当小明由点 M 沿小道向东走 60 米时，到达点 N 处，此时测得亭 A 恰好位于点 N 的正北方向，继续向东走 30 米时到达点 Q 处，此时亭 B 恰好位于点 Q 的正北方向．
根据以上数据，请你帮助小明写出计算湖中两个小亭 A，B 之间距离的思路．

23. 已知二次函数 y=kx2+k+1x+1（k≠0）．
（1）求证：无论 k 取任何实数，该函数图象与 x 轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，求 k 值．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若 CF=2，tanB=43，求 ⊙O 的半径．

25. 如图 1，点 C 是 ⊙O 中直径 AB 上的一个动点，过点 C 作 CD⊥AB 交 ⊙O 于点 D，点 M 是直径 AB 上一固定点，作射线 DM 交 ⊙O 于点 N．已知 AB=6 cm，AM=2 cm，设线段 AC 的长度为 x cm，线段 MN 的长度为 y cm．
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量的变化而变化的规律进行了探索，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了与 y 的几组值，如下表：
2.12
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）在图 2 中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AC=MN 时，x 的取值约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点 Px1,y，Qx2,y，且满足 x1①当 y=3 时，直接写出 x2−x1 的值；
②当 2≤x2−x1≤3，求 y 的取值范围．

27. 如图 1 有两条长度相等的相交线段 AB，CD，它们相交的锐角中有一个角为 60∘，为了探究 AD，CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试．
（1）在其他条件不变的情况下使得 AD∥BC，如图 2，将线段 AB 沿 AD 方向平移 AD 的长度，得到线段 DE，然后连接 BE，进而利用所学知识得到 AD，CB 与 CD（或 AB）之间的关系： （直接写出结果）；
（2）根据小亮的经验，请对图 1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写出 AD，CB 与 CD（或 AB）之间的关系，并进行证明；
（3）综合（1），（2）的证明结果，请写出完整的结论： ．

28. 以点 P 为端点竖直向下的一条射线 PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线 PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2 为点 P 的“摇摆角”，射线 PN 摇摆扫过的区域叫作点 P 的“摇摆区域”（含 PN1，PN2）．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P2,3．
（1）当点 P 的摇摆角为 60∘ 时，请判断 O0,0，A1,2，B2,1，C2+3,0 属于点 P 的摇摆区域内的点是 （填写字母即可）；
（2）如果过点 D1,0，点 E5,0 的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 ∘；
（3）⊙W 的圆心坐标为 a,0，半径为 1，如果 ⊙W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60∘ 时的摇摆区域内，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】由合分比性质，得 a−bb=2−33=−13．
2. D
3. B【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠BAD=∠DCE=75∘．
4. A【解析】如图，过 A 点作 AB⊥x 轴，交 x 轴于点 B，
在 Rt△OAB 中，OA=42+32=5，
∴∠α 的正弦值 =ABOA=35．
5. C
【解析】从几何体的正面看可得等腰梯形．
6. C【解析】当点 A 在圆内时点 A 到点 C 的距离小于圆的半径，即：r>3；
点 B 在圆上或圆外时点 B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；即 37. A【解析】能中奖的卡片有 5+3+2=10（张），
∴ 能中奖的概率 =1020=12．
8. C【解析】A、此车一共行驶了 210 公里，正确；
B、此车高速路一共用了 45−33=12（升）油，正确；
C、此车在城市路的平均速度是 30 km/h，山路的平均速度是 210−1803−2.5=60km/h，错误；
D、以此车在这三个路段的综合油耗判断 50 升油可以行驶约 525 公里，正确．
第二部分
9. 向下
【解析】∵ 二次函数 y=−3x2+5x+1 的二次项系数 a=−3<0，
∴ 抛物线开口向下．
10. 52 cm
【解析】由旋转变换的性质可知，∠BABʹ=90∘，BA=BAʹ=5 cm，
由勾股定理得，BBʹ=52+52=52cm．
11. y=15x（答案不唯一）
【解析】当反比例函数图象经过 1,1 时，k=1，当反比例函数经过 4,3 时，k=12，
∵ 反比例函数 y=kxk≠0 它的图象与此矩形没有交点，
∴ 反比例函数 k 的范围是 k<1 或 k>12 且 k≠0，
则该表达式可以为 y=15x．（答案不唯一）
12. 25
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=22+3=25．
13. 2
【解析】如图，连接 OC，OB，作 OD⊥BC 交 BC 于点 D，
∵∠A=60∘，
∴∠BOC=120∘，
∴∠DOC=60∘，∠ODC=90∘，
∵sin∠COD=DCOC，
∴OC=DC32=332=2．
14. 4
【解析】如图，过点 C 作 CE⊥AB，交 AB 的延长线于 E；
在 Rt△CBE 中，∠CBE=180∘−∠CBA=30∘；
已知 BC=8 m，则 CE=12BC=4 m，即 h=4 m．
15. 由图形 L1 绕 B 点顺时针旋转 90∘，并向左平移 7 个单位得到图形 L2
【解析】图形 L2 可以看作是由图形 L1 绕 B 点顺时针旋转 90∘，并向左平移 7 个单位得到图形 L2．
16. 相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角
【解析】由作图知 CD 为 AB 的垂直平分线，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴CD 为 ⊙O 的直径，且 ∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90∘，
则 AC=BC=BD=AD（相等的圆心角所对的弦相等），
∴ 四边形 ACBD 是菱形，
由 AB 为 ⊙O 的直径知 ∠ACB=90∘（直径所对的圆周角是直角），
∴ 四边形 ACBD 是正方形．
第三部分
17. 原式=1+23−2×32−4=3−3.
18. 在 △ABC 中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90∘，
又 ∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
19. （1） y=x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−4.
（2） ∵y=x+12−4，
∴ 该二次函数图象的顶点坐标是 −1,−4．
20. 原式=m2+2m+1m⋅m2m+1=m+12m⋅m2m+1=mm+1=m2+m,
∵m 是方程 x2+x−3=0 的根，
∴m2+m−3=0，即 m2+m=3，
则 原式=3．
21. （1） ∵ 直线 y1=kxk≠0 与双曲 y2=mxm≠0 的一个交点为 A2,2，
∴k=1，m=4．
（2） 示意图如图所示：
P2,0或22,0．
【解析】∵ 直线 y1=x，y2=4x，
由题意：4x−x=x 或 x−4x=4x，
解得 x=±2或±22，
∵x>0，
∴x=2或22，
∴P2,0或22,0．
22. 如图，
由题意 △AMN，△BMQ 都是直角三角形，作 AH⊥BQ 于 H，
只要求出 AH，BH 即可利用勾股定理求出 AB 的长．
易知四边形 ANQH 是矩形，可得 AH=NQ=30 米，
在 Rt△AMN 中，根据 AN=QH=MN⋅tan30∘=203 米，
在 Rt△MBQ 中，BQ=MQ⋅tan60∘=903 米，
可得 BH=BQ−QH=703 米，由此即可解决问题．
23. （1） Δ=k+12−4k×1=k−12≥0，
∴ 无论 k 取任何实数，该函数图象与 x 轴总有交点．
（2） 当 y=0 时，kx2+k+1x+1=0，
x=−k−1±k−122k，
x=−k−1±k−12k，x1=−1k，x2=−1，
∵ 该函数的图象与 x 轴交点的横坐标均为整数，且 k 为整数，
∴k=±1．
24. （1） 连接 OE，如图所示，
∵AC 与 ⊙O 相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又 ∵O 为 DB 的中点，
∴E 为 DF 的中点，即 OE 为 △DBF 的中位线，
∴OE=12BF，
又 ∵OE=12BD，
则 BF=BD．
（2） 设 BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x，
又 ∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+2，
∴OE=OB=3x+22，AO=AB−OB=5x−3x+22=7x−22，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cs∠AOE=csB，即 OEOA=35，即 3x+227x−22=35，
解得：x=83，
则 ⊙O 的半径为 3x+22=5．
25. （1） 1.7
【解析】如图 1−1，连接 OD，BD，AN．
∵AC=4，OA=3，
∴OC=1，
在 Rt△OCD 中，CD=OD2−OC2=22，
在 Rt△CDM 中，DM=DC2+CM2=23，
由 △AMN∽△BMD，可得 MN⋅BM=DM⋅AM，
∴MN=3≈1.7．
（2） 函数图象如图所示．
（3） 2.6
【解析】观察图象可知，当 AC=MN 上，x 的取值约为 2.6．
26. （1） 由图象知抛物线与 x 轴交于点 1,0，3,0，与 y 轴的交点为 0,3，
设抛物线解析式为 y=ax−1x−3，
将 0,3 代入，得：3a=3，
解得：a=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x−1x−3=x2−4x+3．
（2） ①当 y=3 时，x2−4x+3=3，
解得：x1=0，x2=4，
∴x2−x1=4．
②当 x2−x1=3 时，易知 x1=12，此时 y=14−2+3=54，
观察图象可知当 2≤x2−x1≤3，求 y 的取值范围 0≤y≤54．
27. （1） AD+BC=AB
【解析】如图 2，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
∴AD=BE，AD∥BE，
∵AD∥BC，
∴ 点 C，B，E 在同一条直线上，
∴CE=BC+BE，
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠1=60∘，
∵AB=DE，AB=CD，
∴CD=DE，
∴△CDE 是等边三角形，
∴CE=AB，
∴BC+AD=AB．
（2） 如图 1，平移 AB 到 DE 的位置，连接 BE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
∴AD=BE，AD∥BE，
∵AD 不平行 BC，
∴ 点 E 不在直线 BC 上，连接 CE，
∴BC+BE>CE，
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠2=60∘，
∵AB=DE，AB=CD，
∴CD=DE，
∴△CDE 是等边三角形，
∴CE=AB，
∴BC+AD>AB．
（3） BC+AD≥AB
【解析】由（1），（2）直接得出，BC+AD≥AB．
28. （1） B，C
【解析】根据“摇摆角”作出图形，如图所示，
将 O，A，B，C 四点在平面直角坐标系中描出后可以发现，B，C 在点 P 的摇摆区域内，
故属于点 P 的摇摆区域内的点是 B，C．
（2） 90
【解析】如图所示，
当射线 PN1 过点 D 时，
由对称性可知，此时点 E 不在点 P 的摇摆区域内，
当射线 PN2 过点 E 时，
由对称性可知，此时点 D 在点 P 的摇摆区域内，
易知：此时 PQ=QE，
∴∠EPQ=45∘，
∴ 如果过点 D1,0，点 E5,0 的线段完全在点 P 的摇摆区域内，那么点 P 的摇摆角至少为 90∘．
（3） 如果 ⊙W 上的所有点都在点 P 的摇摆角为 60∘ 时的摇摆区域内，此时 ⊙W 与射线 PN1 相切，
设射线 PN1 与 x 轴交于点 M，⊙W 与射线 PN1 相切于点 T，以 P 为端点竖直向下的一条射线 PN 与 x 轴交于点 Q，
由定义可知：∠PMW=60∘，
∵TW=1，PQ=3，
∴sin∠PMW=TWMW，tan∠PMW=PQMQ，
∴MW=233，MQ=3，
∴OM=2−3，
∴OW=OM+MW=2−3+233=2−33，
∴ 此时 W 的坐标为：2−33,0，
由对称性可知：当 ⊙W 与射线 PN2 相切时，
此时 W 的坐标为：2+33,0，
∴a 的范围为：2−33≤a≤2+33．