2018-2019学年广东省深圳市福田区八下期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省深圳市福田区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. △ABC中，∠A=∠B，则△ABC一定是
A. 锐角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形

2. 下列图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若 x>y，则下列式子中错误的是
A. x−2>y−2B. x+2>y+2C. −2x>−2yD. x2>y2

4. 因式分解 a3−a 的正确结果是
A. aa2−1B. aa−12
C. aa−1a+1D. a2

5. 要使分式 a+2a−4 有意义，则 a 的取值范围是
A. a>4B. a<4C. a≠4D. a≠−2

6. 不等式组 x≥−3,x<1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

7. 如图，一个长为 2，宽为 1 的长方形以下面的“姿态”从直线 l 的左侧水平平移至右侧（图中的虚线是水平线），其中，平移的距离是
A. 1B. 2C. 3D. 22

8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，分别以 A，C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于 M，N 两点，直线 MN 交 AD 于点 E，若 △CDE 的周长是 12，则 BC 的长为
A. 6B. 7C. 8D. 11

9. 如图，直线 l1 的解析式为 y=kx+b，直线 l2 的解析式为 y=−x+5，则不等式 kx+b<−x+5 的解集是
A. x<3B. x>mC. x>2D. x<2

10. 如图，将 Rt△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 Rt△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上．若 AC=23，∠B=60∘，则 CD 的长为
A. 1B. 3C. 2D. 4−3

11. 下列说法正确的是
A. 五边形的内角和是 720∘
B. 有两边相等的两个直角三角形全等
C. 若关于 x 的方程 mx−2=1−xx−2 有增根，则 m=1
D. 若关于 x 的不等式 x+5<2a 恰有 2 个正整数解，则 a 的最大值是 4

12. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BD 是 △ABC 的角平分线，E 是 AB 上一点，且 AE=AD，连接 ED，作 EF⊥BD 于 F，连接 CF．则下面的结论：
① CD=CF；
② ∠EDF=45∘；
③ ∠BCF=45∘；
④若 CD=4，AD=5，则 S△ADE=10．
其中正确结论的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若 mn=1，m−n=2，则 m2n−mn2 的值是 ．

14. 化简 x2x−1+x1−x 的结果为 ．

15. 两个实数 a，b，规定 a⊕b=a+b−ab，则不等式 2⊕2x−1<1 的解集为 ．

16. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 是 AC 延长线上的一点，AD=24，点 E 是 BC 上一点，BE=10，连接 DE，M，N 分别是 AB，DE 的中点，则 MN= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 分解因式：
（1）2x2−4x+2；
（2）x−y3−9x−y．

18. 先化简，再求值：1a−2−2a2−4÷a2−2aa2−4，其中 a=5．

19. 解方程：12x−1+34x−2=12．

20. 如图，网格中小正方形的边长是 1，长方形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O，M，N 两点的坐标分别为 −6,0，−1,3，点 P 是线段 AB 上的一动点，PO 的延长线交 CD 于点 Q，连接 MP，NQ．
（1）作图：请在图 1 中作出点 N 关于点 O 的中心对称点 Nʹ，并连接 PNʹ．
（2）探究发现：无论点 P 运动至何处，PNʹ 与 NQ 具有的关系是：
①PNʹ 与 NQ 关于点 O 成中心对称．（填“一定”或“不一定”）
②PNʹ 与 NQ 的数量关系是： ．
（3）问题解决：MP+NQ 何时获得最小值?请在图 2 中画出此时 P，Q 的位置，并请你直接写出这个最小值．

21. 如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，且 BE⊥AC，DF⊥AC，连接 BE，ED，DF，FB．
（1）求证：四边形 BEDF 为平行四边形；
（2）若 BE=4，EF=2，求 BD 的长．

22. 王老师从学校出发，到距学校 2000 m 的某商场去给学生买奖品，他先步行了 800 m 后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了 15 min．已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的 3 倍（转换出行方式时，所需时间忽略不计）．
（1）求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少?
（2）买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩 10 分钟，若王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米?

23. 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 上的中线，AB 的垂直平分线 MN 交 AD 于点 O，连接 BO 并延长交 AC 于点 E，AH⊥BE，垂足为 H．
（1）求证：△ABD≌△BAH；
（2）若 ∠BAC=30∘，AE=2，求 BC 的长；
（3）如图 2，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，D 是 AC 上的一点，且 ∠ABD=20∘，若 BC=6，请你直接写出 AD 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义即可判断．
【解析】解：∵∠A=∠B，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2. A【解析】A、是中心对称图形．故A选项正确；
B、不是中心对称图形．故B选项错误；
C、不是中心对称图形．故C选项错误；
D、不是中心对称图形．故D选项错误．
3. C【解析】∵x>y，
∴x−2>y−2，
∴ 选项A正确；
∵x>y，
∴x+2>y+2，
∴ 选项B正确；
∵x>y，
∴−2x<−2y，
∴ 选项C不正确；
∵x>y，
∴x2>y2，
∴ 选项D正确．
4. C【解析】原式=aa2−1=aa+1a−1．
5. C
【解析】由题意得：a−4≠0，解得：a≠4．
6. B【解析】不等式组 x≥−3,x<1 的解集是 −3≤x<1，
在数轴上表示为：
7. C【解析】平移的距离=2+1=3．
8. B【解析】由作法得 MN 垂直平分 AC，
∴EA=EC，
∵△CDE 的周长是 12，即 EC+ED+CD=12，
∴AE+ED+CD=12，即 AD+CD=12，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AB=5，
∴CD=AB=5，
∴AD+5=12，
∴AD=7．
9. D【解析】∵ 直线 y=−x+5 过点 m,3，
∴3=−m+5，
解得 m=2，
∴ 直线 l1:y=kx+b 与直线 l2:y=−x+5 交于点 2,3，
∴ 不等式 kx+b<−x+5 的解集是 x<2．
10. C
【解析】∵AC=23，∠B=60∘，∠BAC=90∘，
∴AB=2，BC=2AB=4，
∵Rt△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 Rt△ADE，
∴AD=AB，且 ∠B=60∘，
∴△ADB 是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC−BD=4−2=2．
11. D【解析】五边形的内角和为：5−2×180∘=540∘，因此A不正确，
如果相等的两边在同一个三角形中，就不一定全等，说法不严密，故B不正确；
方程有增根，说明增根为 x=2，而 x=2 是方程 m=1−x，求得 m=−1，故C不正确；
关于 x 的不等式 x+5<2a 的解集为 x<2a−5，
∵ 恰有 2 个正整数解，2<2a−5≤3，
解得：3.512. C【解析】∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED=∠ABD+∠BDE，
∴2∠ABD+2∠BDE+∠A=180∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∴2∠BDE=90∘，
∴∠BDE=45∘，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90∘，
∴∠FDE=∠FED=45∘，故②正确，
延长 EF 交 BC 于 H，连接 HD．
∵∠FBE=∠FBH，BF=BF，∠BFE=∠BFH，
∴△BFE≌△BFHASA，
∴EF=FH，
∵DF⊥EH，
∴DE=DH，
∴∠DEH=∠DHE=45∘，
∵∠DFH+∠DCH=180∘，
∴D，F，H，C 四点共圆，
∴∠DCF=∠DHF=45∘，
∴∠FCB=45∘，故③正确，
作 DM⊥AB 于 M，
∵BD 平分 ∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，
∴DM=DC=4，
∵AE=AD=5，
∴S△ADE=12⋅AE⋅DM=10，故④正确，
无法判断 CF=CD，故①错误．
第二部分
13. 2
【解析】∵mn=1，m−n=2，
∴m2n−mn2=mnm−n=1×2=2.
14. x
【解析】原式=x2x−1−xx−1=xx−1x−1=x.
15. x>1
【解析】2⊕2x−1<1，
2+2x−1−22x−1<1，
2+2x−1−4x+2<1，
−2x<1−2+1−2，
−2x<−2，
x>1．
16. 13
【解析】连接 BD，取 BD 的中点 F，连接 MF，NF，如图所示：
∵M，N，F 分别是 AB，DE，BD 的中点，
∴NF，MF 分别是 △BDE，△ABD 的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF=12BE=5，MF=12AD=12，
∵∠ACB=90∘，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在 Rt△MNF 中，由勾股定理得：MN=NF2+MF2=52+122=13．
第三部分
17. （1） 原式=2x2−2x+1=2x−12.
（2） 原式=x−yx−y2−9=x−yx−y+3x−y−3.
18. 1a−2−2a2−4÷a2−2aa2−4=a+2−2a+2a−2⋅a+2a−2aa−2=aaa−2=1a−2.
当 a=5 时，
原式=15−2=13.
19. 去分母得：
2+3=2x−1,
移项合并得：
2x=6,
解得：
x=3.
经检验 x=3 是分式方程的解．
故原方程的解为 x=3．
20. （1） 作图如图：
（2） 一定；相等
【解析】由（1）知，图形 ∠NQP 与 ∠NʹPQ 是中心对称图形，
故 ①PNʹ 与 NQ 关于点 O 一定成中心对称．（填“一定”或“不一定”）
②PNʹ 与 NQ 的数量关系是：相等．
（3） MP+NQ=PM+PNʹ，
当点 M，P，Nʹ 三点共线时，MP+NQ=PM+PNʹ 最小，
点 M，Nʹ 的坐标分别为 −6,0，1,−3，
该最小值为 1+62+32=58，
此时点 P，Q 位置如图所示：
21. （1） 连接 BD 交 AC 于 O，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠BAE=∠DCF,∠AEB=∠CFD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDFAAS，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
又 ∵OB=OD，
∴ 四边形 BEDF 为平行四边形．
（2） 由（1）得：OE=OF=12EF=1，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90∘，
∴OB=BE2+OE2=42+12=17，
∴BD=2OB=217．
22. （1） 设王老师步行的速度为 x m/min，则骑共享单车的平均速度为 3x m/min，
根据题意得
800x+2000−8003x=15.
解得
x=80.
经检验：x=80 是原方程的解，
∴3x=240，
答：王老师步行的速度为 80 m/min，则骑共享单车的平均速度为 240 m/min．
（2） 设最多可步行 a 米，
根据题意得
a80+2000−a240≤10.
解得
a≤200.
答：他最多可步行 200 米．
23. （1） 如图 1 所示：
∵AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
又 ∵AD 是 BC 上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=12∠BAC，
∵MN 垂直平分线 AB，
∴BO=AO，
∴∠HBA=∠DAB，
∵AH⊥BE，AD⊥BC，
∴∠H=∠ADB=90∘，
在 △ABH 和 △BAD 中，
∠HBA=∠BAD,AB=AB,∠H=∠ADB,
∴△ABH≌△BADASA．
（2） 如图 1 所示：
∵∠BAC=30∘，
∴∠BAD=12∠BAC=12×30∘=15∘，
又 ∵∠HBA=∠DAB，
∴∠HBA=15∘，
又 ∵∠HBA+∠HAB=90∘，
∴∠HAB=75∘，
又 ∵∠HAB=∠BAE+∠EAH，
∴∠EAH=45∘，
在 Rt△AEH 中，由勾股定理得：2AH2=AE2，
又 ∵AE=2，
∴AH=2，
∴BD=2，
又 ∵BC=2BD，
∴BC=22．
（3） AD=23．
【解析】过点 A 作 AE⊥BC，AH 垂直于 BD 的延长线于点 H，如图 2 所示：
由（1）可知 BE=AH，
∵BC=6，
∴AH=3，
又 ∵∠ADH=∠ABH+∠BAD，∠ABD=20∘，∠BAD=40∘，
∴∠ADH=60∘，
在 Rt△ADH 中，由勾股定理得：AD2=AH2+DH2，
又 ∵∠DAH=30∘，
∴AD=2DH，
∴AD=23．