2018-2019学年广州市海珠区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广州市海珠区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列标志，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 四边形 ABCD 是圆的内接四边形，若 ∠ABC=70∘，则 ∠ADC 的度数是
A. 70∘B. 90∘C. 110∘D. 120∘

3. 已知关于 x 的方程 x2+ax−6=0 的一个根是 2，则 a 的值是
A. −1B. 0C. 1D. 2

4. 把抛物线 y=−2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是
A. y=−2x2+1B. y=−2x2−1
C. y=−2x+12D. y=−2x−12

5. 如图，把 △ABC 绕着点 A 逆时针旋转 40∘ 得到 △ADE，∠1=30∘，则 ∠BAE=
A. 10∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘

6. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 90 张，则参加活动的有 人．
A. 9B. 10C. 12D. 15

7. 如图，PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，过圆上点 C 作 ⊙O 的切线 EF 分别交 PA，PB 于点 E，F，若 PA=4，则 △PEF 的周长是
A. 4B. 8C. 10D. 12

8. 关于抛物线 y=−x+12+2，下列说法错误的是
A. 图象的开口向下
B. 当 x>−1 时，y 随 x 的增大而减少
C. 图象的顶点坐标是 −1,2
D. 图象与 y 轴的交点坐标为 0,2

9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BD=2AD，CE=2AE，则下列结论中不成立的是
A. △ABC∽△ADEB. DE∥BC
C. DE:BC=1:2D. S△ABC=9S△ADE

10. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx−3=0 的两根，且满足 x1+x2−3x1x2=4，那么 b 的值为
A. 5B. −5C. 4D. −4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 点 A−6,3 与 Aʹ 关于原点对称，则点 Aʹ 的坐标是 ．

12. 如果关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 ．

13. 已知圆锥的侧面积为 16π cm2，圆锥的母线长 8 cm，则其底面半径为 cm．

14. 如图已知二次函数 y1=x2+c 与一次函数 y2=x+c 的图象如图所示，则当 y1
15. 如图，已知 ⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y=12x2−2 上运动，当 ⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 ．

16. 二次函数 y=−x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程 −x2+mx−t=0（t 为实数）在 1≤x≤5 的范围内有解，则 t 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：
（1）x2+5x=0．
（2）xx−2=3x−6．

18. 已知：如图，D 是 AC 上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若 AB=8，AD=6，AE=3，求 BC 的长．

19. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A0,1，B3,3，C1,3．
（1）画出 △ABC 关于点 O 的中心对称图形 △A1B1C1；
（2）画出 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 的 △AB2C2；直接写出点 C2 的坐标为 ；
（3）求在 △ABC 旋转到 △AB2C2 的过程中，点 C 所经过的路径长．

20. 已知抛物线的对称轴是直线 x=−1，与 x 轴一个交点是点 A−3,0，且经过点 B−2,6．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 −12,y1 与点 2,y2 都在该抛物线上，直接写出 y1 与 y2 的大小关系．

21. 某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为 15 米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道 1 米宽的门，已知篱笆的总长度为 23 米．
（1）设图中 AB（与墙垂直的边）长为 x 米，则 AD 的长为 米（请用含 x 的代数式表示）；
（2）若整个鸡场的总面积为 y 米2，求 y 的最大值．

22. 如图，已知：AB 为 ⊙O 直径，PQ 与 ⊙O 交于点 C，AD⊥PQ 于点 D，且 AC 为 ∠DAB 的平分线，BE⊥PQ 于点 E．
（1）求证：PQ 与 ⊙O 相切；
（2）求证：点 C 是 DE 的中点．

23. 已知：如图，BC 为 ⊙O 的弦，点 A 为 ⊙O 上一个动点，△OBC 的周长为 16．过 C 作 CD∥AB 交 ⊙O 于 D，BD 与 AC 相交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交于 Q，设 ∠A 的度数为 α．
（1）如图 1，求 ∠COB 的度数（用含 α 的式子表示）；
（2）如图 2，若 ∠ABC=90∘ 时，AB=8，求阴影部分面积（用含 α 的式子表示）；
（3）如图 1，当 PQ=2，求 AB⋅CDAB+CD 的值．

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，且 AB=m（m 为常数），点 C 为 AB 的中点，点 D 为圆上一动点，过 A 点作 ⊙O 的切线交 BD 的延长线于点 P，弦 CD 交 AB 于点 E．
（1）当 DC⊥AB 时，则 DA+DBDC= ；
（2）①当点 D 在 AB 上移动时，试探究线段 DA，DB，DC 之间的数量关系；并说明理由；
②设 CD 长为 t，求 △ADB 的面积 S 与 t 的函数关系式；
（3）当 PDAC=9220 时，求 DEOA 的值．

25. 如图，抛物线 y=ax−m−12+2m（其中 m>0）与其对称轴 l 相交于点 P．与 y 轴相交于点 A0,m，连接并延长 PA，PO，与 x 轴、抛物线分别相交于点 B，C，连接 BC，将 △PBC 绕点 P 逆时针旋转，使点 C 落在抛物线上，设点 B，C 的对应点分别是点 Bʹ 和 Cʹ．
（1）当 m=1 时，该抛物线的解析式为： ；
（2）求证：∠BCA=∠CAO；
（3）试问：BBʹ+BC−BCʹ 是否存在最小值?若存在，求此时实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
2. C【解析】∵ 四边 ABCD 是圆的内接四边形，∠ABC=70∘，
∴∠ADC=180∘−70∘=110∘．
3. C【解析】将 x=2 代入 x2+ax−6=0，得 22+2a−6=0．
解得 a=1．
4. A【解析】由“上加下减”的原则可知，把抛物线 y=−2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是：y=−2x2+1．
5. D
【解析】根据题意可知旋转角 ∠CAE=40∘，
所以 ∠BAE=30∘+40∘=70∘．
6. B【解析】设参加此次活动的人数有 x 人，
由题意得：xx−1=90，
解得：x1=10，x2=−9（不合题意，舍去）．
即参加此次活动的人数是 10 人．
7. B【解析】∵PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA，PB 于点 E，F，切点 C 在弧 AB 上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=4，
∴△PEF 的周长 =PE+EF+PF=PA+PB=8．
8. D【解析】A．y=−x+12+2，
∵a=−1<0，
∴ 图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意；
B．∵y=−x+12+2，
∴ 开口向下，对称轴为 x=−1，
∴ 当 x>−1 时，y 随 x 的增大而减少，故本选项正确，不符合题意；
C．顶点坐标为 −1,2，故本选项正确，不符合题意；
D．∵ 当 x=0 时，y=1，
∴ 图象与 y 轴的交点坐标为 0,1，故本选项错误，符合题意．
9. C【解析】∵BD=2AD，CE=2AE，
∴ADBD=AEEC=12，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故B正确；
∴△ABC∽△ADE，故A正确；
∴DEBC=13，故C错误；
∴S△ABC=9S△ADE，故D正确．
10. A
【解析】∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx−3=0 的两根，
∴x1+x2=−b，x1x2=−3，
∵x1+x2−3x1x2=4，
∴−b+9=4，
解得：b=5．
第二部分
11. 6,−3
【解析】点 A−6,3 与 Aʹ 关于原点对称，则点 Aʹ 的坐标是 6,−3．
12. m<1
【解析】∵ 方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−2，c=m，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×m>0，解得 m<1．
13. 2
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r，
根据题意得 12×2π×r×8=16π，解得 r=2，
∴ 圆锥的底面圆的半径为 2 cm．
14. 0【解析】由题意可得：x2+c=x+c，解得：x1=0，x2=1，
则当 y115. 22,2 或 −22,2 或 0,−2
【解析】∵⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y=12x2−2 上运动，
∴ 当 ⊙P 与 x 轴相切时，假设切点为 A，
∴PA=2，
∴12x2−2=2，即 12x2−2=2 或 12x2−2=−2，
解得 x=±22 或 x=0，
∴P 点的坐标为 22,2 或 −22,2 或 0,−2．
16. −5≤t≤4
【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−m2×−1=2，解得 m=4，
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+4x，
抛物线的顶点坐标为 2,4，
当 x=1 时，y=−x2+4x=−1+4=3；
当 x=5 时，y=−x2+4x=−25+20=−5，
当直线 y=t 与抛物线 y=−x2+4x 在 1≤x≤5 时有公共点时，−5≤t≤4，如图．
所以关于 x 的一元二次方程 −x2+mx−t=0（t 为实数）在 1≤x≤5 的范围内有解，t 的取值范围为 −5≤t≤4．
第三部分
17. （1）
xx+5=0.x=0或x+5=0.
所以
x1=0,x2=−5.
（2）
xx−2−3x−2=0.x−2x−3=0.x−2=0或x−3=0.
所以
x1=2,x2=3.
18. （1） ∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠CAB，
∵∠B=∠EAD，
∴△ABC∽△DAE．
（2） ∵△ABC∽△DAE，
∴ABDA=BCAE，
∴86=BC3，
∴BC=4．
19. （1） 如图所示，△A1B1C1 即为所求．
（2） 如图所示，△AB2C2 即为所求；−2,2
（3） ∵∠CAC2=90∘，AC=12+22=5，
∴ 点 C 所经过的路径长为 90⋅π5180=52π．
20. （1） ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=−1，与 x 轴一个交点是点 A−3,0，
∴ 抛物线与 x 轴另一个交点坐标为 1,0，
设抛物线解析式为 y=ax+3x−1，
把 B−2,6 代入得 a×1×−3=6，解得 a=−2，
∴ 抛物线解析式为 y=−2x+3x−1，即 y=−2x2−4x+6．
（2） ∵ 点 −12,y1 到直线 x=−1 的距离比点 2,y2 到直线 x=−1 的距离要小，而抛物线的开口向下，
∴y1>y2．
21. （1） 24−2x
【解析】由题意得，AD=23+1−2x=24−2x．
（2） 根据题意得，y=x24−2x=−2x2+24x=−2x−62+72，
∴y 的最大值为 72 米2．
22. （1） 连接 OC，
∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，且 AD⊥PQ，
∴OC⊥PQ，且 OC 为半径，
∴PQ 与 ⊙O 相切．
（2） ∵OC⊥PQ，AD⊥PQ，BE⊥PQ，
∴OC∥AD∥BE，
∴DCCE=OAOB=1，
∴DC=CE，
∴ 点 C 是 DE 的中点．
23. （1） ∵∠A 的度数为 α，
∴∠COB=2∠A=2α．
（2） 当 ∠ABC=90∘ 时，AC 为 ⊙O 的直径，
∵CD∥AB，
∴∠DCB=180∘−90∘=90∘，
∴BD 为 ⊙O 的直径，
∴P 与圆心 O 重合，
∵PQ∥AB 交于 Q，
∴OQ⊥BC，
∴CQ=BQ，
∵AB=8，
∴OQ=12AB=4，
设 ⊙O 的半径为 r，
∵△OBC 的周长为 16，
∴CQ=8−r，
∴8−r2+42=r2，解得 r=5，CB=6，
∴ 阴影部分面积 =2απ×52360−12×6×4=5πα36−12．
（3） ∵CD∥AB∥PQ，
∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，
∴PQAB=CQCB，PQCD=BQCB，
∴PQAB+PQCD=CQCB+BQCB=CBCB=1，
∵PQ=2，
∴2AB+2CD=1，
∴AB⋅CDAB+CD=2．
24. （1） 2
【解析】如图 1，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵C 为 AB 的中点，
∴AC=BC，
∴∠ADC=∠BDC=45∘，
∵DC⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=90∘，
∴∠DAE=∠DBE=45∘，
∴AE=BE，
∴ 点 E 与点 O 重合，
∴DC 为 ⊙O 的直径，
∴DC=AB，
在等腰直角三角形 DAB 中，DA=DB=22AB，
∴DA+DB=2AB=2CD，
∴DA+DBDC=2．
（2） ①如图 2，过点 A 作 AM⊥DC 于 M，过点 B 作 BN⊥CD 于 N，连接 AC，BC，
由（1）知 AC=BC，
∴AC=BC，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90∘，
∴∠NBC+∠BCN=90∘，∠BCN+∠MCA=90∘，
∴∠NBC=∠MCA，
在 △NBC 和 △MCA 中，
∠BNC=∠CMA,∠NBC=∠MCA,BC=CA,
∴△NBC≌△MCAAAS，
∴CN=AM，
∵AC=BC，
∴∠BDC=∠CDA=∠DAM=45∘，
∴AM=22DA，DN=22DB，
∴DC=DN+NC=22DB+22DA=22DB+DA，即 DA+DB=2DC；
②在 Rt△DAB 中，DA2+DB2=AB2=m2，
∵DA+DB2=DA2+DB2+2DA⋅DB，且由①知 DA+DB=2DC=2t，
∴2t2=m2+2DA⋅DB，
∴DA⋅DB=t2−12m2，
∴S△ADB=12DA⋅DB=12t2−14m2，
∴△ADB 的面积 S 与 t 的函数关系式 S=12t2−14m2．
（3） 如图 3，过点 E 作 EH⊥AD 于 H，EG⊥DB 于 G，则 HE=GE，四边形 DHEG 为正方形，
由（1）知 AC=BC，
∴AC=BC，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴AB=2AC，
∵PDAC=9220，
设 PD=92，则 AC=20，AB=202，
∵∠DBA=∠DBA，∠PAB=∠ADB，
∴△ABD∽△PBA，
∴ABPB=BDAB=ADPA，
∴202DB+92=BD202，
∴DB=162，
∴AD=AB2−DB2=122，
设 NE=ME=x，
∵S△ABD=12AD⋅BD=12AD⋅NE+12BD⋅ME，
∴12×122×162=12×122⋅x+12×162⋅x，
∴x=4827，
∴DE=2HE=2x=967，
又 ∵AO=12AB=102，
∴DEOA=967×1102=24235．
25. （1） y=−14x2+x+1
【解析】把点 A 的坐标代入二次函数表达式得：m=a−m−12+2m，
解得：a=−mm+12，
则二次函数的表达式为：y=−mm+12x−m−12+2m, ⋯⋯①
则点 P 的坐标为 m+1,2m，点 A 的坐标为 0,m，
把 m=1 代入 ① 式，整理得：y=−14x2+x+1．
（2） 把点 P，A 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b，
得：2m=km+1+b,b=m, 解得：k=mm+1,b=m,
则直线 PA 的表达式为：y=mm+1x+m，
令 y=0，解得：x=−m−1，即点 B 坐标为 −m−1,0，
同理直线 OP 的表达式为：y=2mm+1x, ⋯⋯②
将 ①② 联立得：ax−m−12+2m−2mm+1x=0，其中 a=−mm+12，
该方程的常数项为：am+12+2m，
由韦达定理得：x1x2=xC⋅xP=ca=am+12+2ma=−m+12，
其中 xP=m+1，则 xC=−m−1=xB，
∴BC∥y 轴，
∴∠BCA=∠CAO．
（3） 如图，当点 Bʹ 落在 BCʹ 所在的直线时，BBʹ+BC−BCʹ 存在最小值．
设：直线 l 与 x 轴的交点为 D 点，连接 BBʹ，CCʹ．
∵ 点 C 关于 l 的对称点为 Cʹ，
∴CCʹ⊥l，而 OD⊥l，
∴CCʹ∥OD，
∴∠POD=∠PCCʹ，
∵∠PBʹCʹ+∠PBʹB=180∘，
△PBʹCʹ 由 △PBC 旋转而得，
∴∠PBC=∠PBʹCʹ，PB=PBʹ，∠BPBʹ=∠CPCʹ，
∴∠PBC+∠PBʹB=180∘，
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180∘，
∴∠PBʹB=∠BAO，
∵PB=PBʹ，PC=PCʹ，
∴∠PBʹB=∠PBBʹ=180∘−∠BPBʹ2，
∴∠PCCʹ=∠PCʹC=180∘−∠CPCʹ2，
∴∠PBʹB=∠PCCʹ，
∴∠BAO=∠PCCʹ，而 ∠POD=∠PCCʹ，
∴∠BAO=∠POD，而 ∠PDO=∠BOA=90∘，
∴△BAO∽△POD，
∴BOPD=AOOD，
将 BO=m+1，PD=2m，AO=m，OD=m+1 代入上式并解得：m=1+2（负值已舍去）．