2019-2020学年广东省广州市海珠区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市海珠区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，DE∥BC 交 AC 于 E 点，则 △ADE 与 △ABC 的面积比为
A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:4

3. 下列关于 x 的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是
A. x2+2x−3=0B. x2+1=0C. 4x2+4x+1=0D. x2+x+3=0

4. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠BAC=15∘，则 ∠P 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 45∘D. 50∘

5. 如图，AB 是 ⊙O 的一条弦，OD⊥AB 于点 C，交 ⊙O 于点 D，连接 OA．若 AB=4，CD=1，则 ⊙O 的半径为
A. 5B. 5C. 3D. 52

6. 要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，设有 x 队参加比赛，根据题意，可列方程为
A. 12xx−1=15B. 12xx+1=15
C. xx+1=15D. xx−1=15

7. 下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 △ABC 相似的三角形是
A. B.
C. D.

8. 已知二次函数 y=3x+12+k 的图象上有三点，A0.5,y1，B2,y2，C−2,y3，则 y1，y2，y3 的大小关系为
A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y2>y1>y3D. y2>y3>y1

9. 二次函数 y=−x2−2x+m，在 −3≤x≤2 的范围内有最小值 −3，则 m 的值是
A. −6B. −2C. 2D. 5

10. 已知：AB 是 ⊙O 的直径，AD，BC 是 ⊙O 的切线，P 是 ⊙O 上一动点，若 AD=10，OA=4，BC=16，则 △PCD 的面积的最小值是
A. 36B. 32C. 24D. 10.4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，若 ∠AOB=72∘，则 ∠ACB 的度数是 ．

12. 二次函数 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 ．

13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为位似中心，线段 CD 与线段 AB 是位似图形，若 C2,3，D3,1，A4,6，则 B 的坐标为 ．

14. 如图，已知圆锥的母线长为 2，高所在直线与母线的夹角为 30∘，则圆锥的全面积 ．

15. 如图，△ODC 是由 △OAB 绕点 O 顺时针旋转 40∘ 后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且 ∠AOC=105∘，则 ∠C= ．

16. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④当 x>−1 时，y 的值随 x 值的增大而增大．其中正确的结论有 （填序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列一元二次方程．
（1）x2+6x+5=0．
（2）16x+12=25．

18. 如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 A−1,5，B−4,2，C−2,2．
（1）将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后，得到 △A1B1C1，请画出 △A1B1C1；
（2）求旋转过程中点 B 经过的路径长（结果保留 π）．

19. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是 BC 的中点，DE⊥AM 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求 DE 的长．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+6x+2m+1=0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2−x1−x2≥8，求 m 的取值范围．

21. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠BAC 的角平分线．
（1）作 ⊙O，使圆心在 AB 上，且过点 A，D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线 BC 与 ⊙O 的位置关系，并证明你的结论．

22. 如图，在一个 Rt△EFG 的内部作一个矩形 ABCD，其中点 A 和点 D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30 cm，FG=40 cm，设 AB=x cm．
（1）试用含 x 的代数式表示 AD；
（2）设矩形 ABCD 的面积为 s，当 x 为何值时，s 的值最大，最大值是多少?

23. 如图，Rt△ACB 中，以 BC 边上一点 O 为圆心作圆．⊙O 与边 AC，AB 分别切于点 C，D，⊙O 与 BC 另一交点为 E．
（1）求证：BD⋅AB=OB⋅BC；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，AC=203，求 BD 的长．

24. 已知：抛物线 y=ax2−3a−1x+2a−6a>0．
（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点．
（2）设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1>x2），若 t 是关于 a 的函数，且 t=ax2−x1，求这个函数的表达式；
（3）若 a=1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A，B．平移后如图所示，过 A 作直线 AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP=1，M 是线段 AC 上一动点，求 2MB+MC 的最小值．

25. 在平面直角坐标系中，已知矩形 OABC 中的点 A0,4，抛物线 y1=ax2+bx+c 经过原点 O 和点 C，并且有最低点 G2,−1，点 E，F 分别在线段 OC，BC 上，且 S△AEF=516S矩形OABC，CF=1，直线 BE 的解析式为 y2=kx+b，其图象与抛物线在 x 轴下方的图象交于点 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 y1（3）在线段 BD 上是否存在 M，使得 14∠DMC=∠EAF，若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D 是边 AB 的中点，
∴AD:AB=1:2，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=14．
3. C
4. B
5. D
6. A
7. B
8. C
9. D
10. B
第二部分
11. 36∘
12. −1,2
13. 6,2
14. 3π
15. 45∘
16. ①③
第三部分
17. （1） a=1，b=6，c=5，
Δ=62−4×1×5=16,x=−6±162.∴x1=−1,x2=−5.
（2）
x+12=2516.x+1=±54.x+1=54,x+1=−54.∴x1=14,x2=−94.
18. （1） ∴△A1B1C1 为所求作：
（2） OB=42+22=25，
l=90×π×25180=l=5π．
19. （1） 因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 ∠B=∠BAD=90∘，
因为 DE⊥AM，
所以 ∠AED=90∘，
所以 ∠BAM+∠EAD=∠EAD+∠EDA，
所以 ∠BAM=∠EDA，
所以 △BAM∽△EDA．
（2） 因为 △BAM∽△EDA，
所以 AMAD=ABDE，
因为点 M 是 BC 的中点，
所以 BM=12BC=3，
因为 AB=4，
所以 AM=5，
所以 56=4DE，
所以 DE=4.8．
20. （1） ∵ 方程有实数根，
∴Δ=36−42m+1=36−8m−4=32−8m≥0，
解得：m≤4．
（2） ∵x1，x2 是方程 x2+6x+2m+1=0 的两个实数根，
∴x1+x2=−6，x1⋅x2=2m+1，
∴2x1x2−x1−x2≥8，
∴2⋅2m+1+6≥8，m≥0，
由（1）可得 m≤4，
∴0≤m≤4．
21. （1） 如图所示：⊙O 为所求作．
（2） BC 与 ⊙O 相切，连接 OD，
∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵∠ODB=∠C=90∘，
∴OD⊥BC，
∵OD 是半径，
∴BC 与 ⊙O 相切．
22. （1） 过点 F 作 FN⊥EG 于 N 交 AD 于点 M，
∵EF=30 cm，FG=40 cm，
∴EG=EF2+FG2=50 cm，
∴FN=EF⋅FGEG=24 cm，
∵ 矩形 ABCD，
∴ AD∥BC，
∴△AFD∽△GFE，AB=MN=x cm，即 FM=24−xcm，
∴ADEG=FMFN，
∴AD50=24−x24，
∴AD=50−2512x．
（2） 由（1）得：AD=50−2512x，s=AD⋅AB=x⋅50−2512x，
整理得：s=−2512x−122+300，
则：x=12，s最大=300 cm2．
23. （1） 连接 DO，
∵AB 切 ⊙O 于点 D，
∴∠ODB=90∘=∠ACB，
又 ∵∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴BDBC=BOBA，
∴BD⋅AB=OB⋅BC．
（2） 连接 DC，AO，交于点 P，
∵AD，AC 切 O 于点 D，点 C，
∴AD=AC=203，
又 ∵DO=OC，
∴AO 垂直平分 DC，
在 Rt△ACO 中，AO=2032+52=253，
∴12CP⋅AO=12AC⋅OC，
∴CP=AC⋅OCAO=203×5253=4，
∴DC=2CP=8，
EC 是 ⊙O 的直径，则 ∠EDC=90∘，DE=EC2−DC2=102−82=6，
∴ED∥AO，
∴△BDE∽△BAO，
∴BDBD+203=6253，
∴BD=1207．
24. （1） Δ=b2−4ab=−3a−12−4a2a−6=a2+6a+9=a+32，
∵a>0，
∴a+32>0，
∴ 抛物线与 x 轴有两个交点．
（2） 令 y=0，则 ax2−3a−1x+2a−6=0，
x=3a−1±a+32a=2或1−3a，
∵a>0，
∴1−3a<1 且 x1>x2，
∴x1=2，x2=1−3a，
∴t=ax2−x1=a1−3a−2，
t=a−5．
（3） 当 a=1，则 y=x2−4，向上平移一个单位得 y=x2−3，
令 y=0，则 x2−3=0 得 x=±3，
∴A−3,0，B3,0，
∵OP=1，
∴ 直线 AC:y=33x+1，
联立：x1=−3,y1=0, x2=433,y2=73,
即 A−3,0，C433,73，
过 C 作 CN⊥y轴，过 M 作 MG⊥CN 于 G，过 C 作 CH⊥x轴 于 H，
∵CN∥x 轴，OPOA=GMGC=13，
∴OPOA=GMMC=12，
∴2MB+MC=2MB+12MC=2MB+GM，
∵B 到 CN 最小距离为 CH，
∴MB+GM=73，
∴2MB+MC=143．
25. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax−h2+k，由题意可得 h=2，k=−1，且抛物线经过原点，
∴0=a0−22−1，解得 a=14，
∴ 抛物线的解析式为 y=14x−22−1．
（2） 由（1）可知抛物线的对称轴为 x=2，点 O 与点 C 关于 x=2 对称，
∴C4,0，OC=4，
∵A0,4，CF=1，
∴OA=4，S矩形OABC=OA⋅OC=16，F4,1．
∵S△AEF=516S矩形OABC，
∴S△AEF=5，
过点 F 作 FH∥OC，与 AE 交于点 H，
∴S△AEF=5=12×4×FH，
∴FH=52，H32,1．
设直线 AH 的解析式为 y=k1x+4，
∴1=32k1+4，
∴k1=−2，
∴ 直线 AH 的解析式为 y=−2x+4，当 y=0 时，求得 x=2，
∴E2,0，而 B4,4，
∴ 直线 BE：y2=2x−4，
∵ 点 D 在直线 BE 上，故 Dx,2x−4 同时也满足抛物线，
故 2x−4=14x−22−1，解得：x1=6−25，x2=6+25>4（舍去），
∴D6−25,8−45，
当 0>y2>y1 时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在 x 轴的下方才满足条件，对应 x 的取值范围为 6−25 （3） ∵E2,0，F4,1，A0,4，
∴AE=20，AF=5，EF=5，
∴AE2+EF2=AF2．
而矩形 OABC，
∴∠AEF=90∘，∠ABC=90∘，
∴∠AEF+∠ABC=180∘，
∴ 点 A，B，F，E 四点共圆，
∴∠EAF=∠EBC．
作 BC 得垂直平分线交直线 EB 于点 N，连接 NC，
则 NB=NC，∠NBC=∠NCB，
∴∠ENC=2∠EBC，
设 NxN,2，则 2=2xN−4，解得 xN=3，
∴N3,2．
作 NC 的垂直平分线交直线 BD 于点 Mn,2n−4，B4,4，C4,0，
∴MC=n−42+2n−42，MN=n−32+2n−62，
则 MN=MC，
∴∠MNC=∠MCN，
∴∠DMC=2∠MNC=4∠EBC=4∠EAF，
∴n−42+2n−42=n−32+2n−62，
解得：n=132，
∴M136,13，
综上所述，点 M 的坐标为 136,13．