2019-2020学年广东省佛山市南海区八下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省佛山市南海区八下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列式子是分式的是
A. 3x2B. 20x+yC. x−2yD. 1π

2. 将点 P2,1 沿 x 轴方向向左平移 3 个单位，再沿 y 轴方向向上平移 2 个单位，所得的点的坐标是
A. −1,−1B. −1,3C. 5,−1D. 5,3

3. 下列多项式中，不能因式分解的是
A. ab−aB. a2−9C. a2+2a+5D. 4a2+4a+1

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条 AC，BD 的中点重叠并用钉子固定，则四边形 ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6. 如图，射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，D 是射线 OC 上一点，DP⊥OA 于点 P，DP=4，若点 Q 是射线 OB 上一点，OQ=3，则 △ODQ 的面积是
A. 3B. 4C. 5D. 6

7. 如果把分式 3xx−2y 中的 x，y 的值都扩大为原来的 3 倍，那么分式的值
A. 不变B. 扩大为原来的 3 倍
C. 扩大为原来的 6 倍D. 扩大为原来的 9 倍

8. 如图，在 6×4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是
A. 点 MB. 点 NC. 点 PD. 点 Q

9. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 在 BC 上，连接 AD，AE，如果只添加一个条件使 ∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为
A. BD=CEB. AD=AEC. BE=CDD. DA=DE

10. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：
① AB⊥AC；
②四边形 AEFD 是平行四边形；
③ ∠DFE=150∘；
④ S四边形AEFD=5．
正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共7小题；共35分）
11. “m2 是非负数”，用不等式表示为 ．

12. 已知分式 x+2x2−4x+a，当 x=1 时，分式无意义，则 a= ．

13. 已知 x+y=2019，x−y=20202019，则 x2−y2 的值为 ．

14. 如图，已知函数 y1=k1x+b1 与函数 y2=k2x+b2 的图象交于 1,2，则不等式 k1x+b1
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AB=10，将 △ABC 沿 CB 方向向右平移得到 △DEF．若四边形 ABED 的面积为 20，则平移距离为 ．

16. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边向外作正六边形 BEFGHC，则 ∠ABE= 度．

17. 如图，小芳作出了边长为 1 的第 1 个正 △A1B1C1．然后分别取 △A1B1C1 的三边中点 A2，B2，C2，作出了第 2 个正 △A2B2C2；用同样的方法，作出了第 3 个正 △A3B3C3，⋯⋯，由此可得，第 n 个正 △AnBnCn 的边长是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 解不等式组：x+2>0, ⋯⋯①2x−1+3≥3x. ⋯⋯②

19. 先化简，再求值：x2−4x2+2x÷x−4x−4x，其中 x=5．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=60∘．
（1）作 ∠A 的角平分线与边 BC 交于点 E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：△ABE 是等边三角形．

21. 本学期开学后，某校为了宣传关于新冠肺炎的防控知识，需印制若干份资料，印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式每份资料收费 0.1 元，另需收取制版费 20 元；乙种方式每份资料收费 0.15 元，不需要收取制版费．
（1）设资料印刷的费用为 y 元，印刷的数量为 x 份，请分别写出两种收费方式下 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）该校某年级每次需印制 100∼600（含 100 和 600）份资料，选择哪种印刷方式较合算?

22. 如图，D 是 △ABC 内一点，连接 DB，DC，DA，并将 AB，DB，DC，AC 的中点 E，H，G，F 依次连接，得到四边形 EHGF．
（1）求证：四边形 EHGF 是平行四边形；
（2）若 BD⊥CD，AD=7，BD=8，CD=6，求四边形 EHGF 的周长．

23. 李大伯响应国家保就业保民生政策合法摆摊，他预测某品牌新开发的小玩具能够畅销，就用 3000 元购进了一批小玩具，上市后很快脱销，他又用 8000 元购进第二批小玩具，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每个进价贵了 5 元．
（1）求李大伯第一次购进的小玩具有多少个?
（2）如果这两批小玩具的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每个小玩具售价至少是多少元?

24. 解答下列问题．
（1）如图甲，从边长为 a 的正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是 ；
（2）根据下面四个算式：
52−32=5+3×5−3=8×2；
112−52=11+5×11−5=16×6=8×12；
152−32=15+3×15−3=18×12=8×27；
192−72=19+7×19−7=26×12=8×39．
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（3）用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BC=AC=6，D 是 AB 边上任意一点，连接 CD，以 CD 为直角边向右作等腰直角 △CDE，其中 ∠DCE=90∘，CD=CE，连接 BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）当 △CDE 的周长最小时，求 CD 的值；
（3）求证：AD2+DB2=2CE2．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C
4. C
5. A
【解析】由已知可得 AO=CO，BO=DO，所以四边形 ABCD 是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
6. D
7. A
8. B
9. D
10. C
第二部分
11. m2≥0
12. 3
13. 2020
14. x<1
15. 4
16. 150
17. 12n−1
第三部分
18. 解①得：
x>−2.
解②得：
x≤1.
不等式组的解集是
−219. 原式=x+2x−2xx+2÷x2x−4x−4x=x+2x−2xx+2÷x2−4x+4x=x+2x−2xx+2⋅xx−22=1x−2.
当 x=5 时，
原式=15−2=5+2．
20. （1） 作图略．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB．
∵∠B=60∘，
∴△ABE 是等边三角形．
21. （1） 甲种收费的函数关系式是 y1=0.1x+20；
乙种收费的函数关系式是 y2=0.15x．
（2） 由题意，
当 y1>y2 时，0.1x+20>0.15x，得 x<400；
当 y1=y2 时，0.1x+20=0.15x，得 x=400；
当 y1400；
答：当 100≤x＜400 时，选择乙种方式较合算；
当 x=400 时，甲、乙两种方式一样合算；
当 40022. （1） ∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，EF=12BC．
∵H，G 分别是 DB，DC 的中点，
∴HG∥BC，HG=12BC，
∴HG=EF，HG∥EF．
∴ 四边形 EHGF 是平行四边形．
（2） ∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，
∴BC=BD2+CD2=82+62=10，
∵E，F，H，G 分别是 AB，AC，BD，CD 的中点，
∴EH=FG=12AD=3.5，EF=GH=12BC=5，
∴ 四边形 EHGF 的周长 =EH+GH+FG+EF=17．
23. （1） 设李大伯第一次购进的小玩具有 x 个，由题意得：
80002x−3000x=5.
解这个方程，得
x=200.
经检验，x=200 是所列方程的根．
答：李大伯第一次购进的小玩具有 200 个．
（2） 设每个小玩具售价为 y 元，由题意得：
600y−3000−80003000+8000≥20%.
解这个不等式，得
y≥22.
答：每个小玩具的售价至少是 22 元．
24. （1） a2−b2=a+ba−b
（2） 72−52=8×3；92−32=8×9 等．
（3） 规律：任意两个奇数的平方差是 8 的倍数．
设 m，n 为整数，两个奇数可表示为 2m+1 和 2n+1，
则 2m+12−2n+12=4m−nm+n+1．
当 m，n 同是奇数或偶数时，m−n 一定为偶数，
∴4m−n 一定是 8 的倍数；
当 m，n 一偶一奇时，则 m+n+1 一定为偶数，
∴4m+n+1 一定是 8 的倍数．
∴ 任意两个奇数的平方差是 8 的倍数．
25. （1） ∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠1+∠3=90∘，∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠2．
∵BC=AC，CD=CE，
∴△CAD≌△CBE，
∴AD=BE．
（2） ∵∠DCE=90∘，CD=CE．
∴ 由勾股定理可得 CD=2DE．
∴△CDE 周长等于 CD+CE+DE=2CD+2CD=2+2CD．
∴ 当 CD 最小时 △CDE 周长最小．
由垂线段最短得，当 CD⊥AB 时，△CDE 的周长最小．
∵BC=AC=6，∠ACB=90∘，
∴AB=62．
此时 AD=CD=BD=12AB=12×62=32．
∴ 当 CD=32 时，△CDE 的周长最小．
（3） 由（1）易知 AD=BE，∠A=∠CBA=∠CBE=45∘，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBA=90∘．
在 Rt△DBE 中：BE2+BD2=DE2．
∴AD2+BD2=DE2．
在 Rt△CDE 中：CD2+CE2=DE2，
∴CE2+CE2=DE2，
∴AD2+BD2=2CE2．