2020-2021学年天津市河西区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市河西区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某种细菌的直径是 0.00000078 m，将数据 0.00000078 用科学记数法表示为
A. 7.8×10−8B. 7.8×10−7C. 0.78×10−7D. 78×10−8

2. 下列计算正确的是
A. a3−a2=aB. a2⋅a3=a6C. a32=a6D. 3a3=9a3

3. 下列交通标志图案是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 若 a=1，则 a2a+3−9a+3 的值为
A. 2B. −2C. 12D. −12

5. 如图，下列条件中，不能证明 △ABD≌△ACD 的是
A. BD=CD，AB=ACB. ∠ADB=∠ADC，BD=CD
C. ∠B=∠C，∠BAD=∠CADD. ∠B=∠C，BD=CD

6. 若 3x=15，3y=5，则 3x−y 等于 ．
A. 3B. 10C. 5D. 15

7. 如果把分式 3xy4x−3y 的 x 和 y 的值都扩大为原来的 3 倍，那么分式的值
A. 扩大为原来的 3 倍B. 扩大为原来的 6 倍
C. 缩小为原来的 3 倍D. 不变

8. 某服装加工厂加工校服 960 套的订单，原计划每天做 48 套．正好按时完成．后因学校要求提前 5 天交货，为按时完成订单，每天就多做 x 套，则 x 应满足的方程为
A. 96048+x−96048=5B. 96048+5=96048+x
C. 96048−960x=5D. 96048−96048+x=5

9. 已知 a−b=3，则 a2−b2−6b=
A. 4B. 6C. 9D. 12

10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②中的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（用含 a，b 的代数式表示）
A. abB. 2abC. a2−abD. b2+ab

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：2ax2−12axy+18ay2= ．

12. 等腰三角形一个内角的大小为 50∘，则其顶角的大小为 ．

13. 一个多边形的内角和是它外角和的 2 倍，则它的边数是 ．

14. 如图，OP 平分 ∠AOB，∠AOP=15∘，PC∥OB，PD⊥OB 于点 D，PD=4，则 PC 等于 ．

15. 已知 1x−1y=3，则分式 2x+3xy−2yx−2xy−y 的值为 ．

16. 【例 8 】如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB=130∘，∠D=∠B=90∘，点 M，N 分别是 CD，BC 上两个动点，当 △AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解答下列各题．
（1）2a−3b2．
（2）a+1−3a−1÷a+22a−2．

18. 解方程：1−x2−x−3=1x−2．

19. 如图，在 △ABC 中，点 D 最 BC 上的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，BE=CF．求证：∠BAD=∠CAD．

20. 如图，点 A，B 在直线 l 同侧，请你在直线 l 上画出一点 P，使得 PA+PB 的值最小，画出图形并证明．

21. 天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10 千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的 2 倍，求骑车同学的速度．
（1）设骑车同学的速度为 x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）
速度千米/时所用时间时所走的路程千米骑自行车x10乘汽车10
（2）列出方程（组），并求出问题的解．

22. 如图，△ABC 和 △DBE 都是等边三角形、且 A，E，D 三点在一条直线上，求证，DA−DB=DC．

23. 如图 △ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A，C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D．
（1）当 ∠BQD=30∘ 时，求 AP 的长．
（2）证明：在运动过程中，点 D 是线段 PQ 的中点．
（3）在这个运动过程中，线段 ED 的长是否会发生变化?若不发生改变，请求出线段 ED 的长；若会发生变化，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】绝对值 <1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
数 0.00000078 用科学记数法表示为 7.8×10−7．
2. C【解析】A选项：a3−a2 不能合并，故A错误．
B选项：a2⋅a3=a2+3=a5，故B错误．
C选项：a32=a3×2=a6，故C正确．
D选项：3a3=27a3，故D错误．
3. B【解析】A选项：不是轴对称图形，故本选项错误；
B选项：是轴对称图形，故本选项正确；
C选项：不是轴对称图形，故本选项错误；
D选项：不是轴对称图形，故本选项错误．
4. B【解析】a2a+3−9a+3=a2−9a+3=a−3=1−3=−2.
5. D
【解析】A选项：当 BD=CD，AB=AC 时，结合 AD=AD，可以利用 SSS 证明 △ABD≌△ACD，故A正确；
B选项：当 ∠ADB=∠ADC，BD=CD 时，结合 AD=AD，可以利用 SAS 证明 △ABD≌△ACD，故B正确；
C选项：当 ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD 时，结合 AD=AD，可以利用 AAS 证明 △ABD≌△ACD，故C正确；
D选项：根据 ∠B=∠C，BD=CD，AD=AD，不能证明 △ABD≌△ACD，故D错误．
6. A【解析】3x−y=3x−3y=15÷5=3．
7. A【解析】若分式 3xy4x−3y 中的 x 和 y 的 值都扩大到原来的 3 倍，
则分式变为
3⋅3x⋅3y4×3x−3×3y=27xy12x−9y=27xy34x−3y=9xy4x−3y=3×3xy4x−3y,
即分式的值扩大为原来的 3 倍．
8. D【解析】原来所用的时间为：96048 天，
实际所用的时间为：960x+48 天，
所列方程为：96048−960x+48=5．
9. C【解析】∵a−b=3，
∴a2−b2−6b=a+ba−b−6b=3a+3b−6b=3a−3b=3a−b=3×3=9.
10. A
【解析】设小正方形边长为 x，表示出大正方形的边长，
由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．
设小正方形的边长为 x，则大正方形的边长为 a−2x=2x+b，
可得 x=a−b4，大正方形边长为 a−a−b2=2a−a+b2=a+b2，
则阴影部分面积为
a+b22−4a−b42=a2+2ab+b24−a2+2ab−b24=a2+2ab+b2−a2+2ab−b24=ab.
第二部分
11. 2ax−3y2
【解析】2ax2−12axy+18ay2=2ax2−6xy+9y2=2ax−3y2.
12. 50∘ 或 80∘
【解析】如图所示，△ABC 中，AB=AC，
有两种情况：
①顶角 ∠A=50∘，
②当底角是 50∘ 时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50∘，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=180∘−50∘−50∘=80∘，
∴ 这个等腰三角形的顶角为 50∘ 和 80∘．
13. 6
【解析】设这个多边形的边数是 n，根据题意得，n−2⋅180∘=2×360∘，
解得 n=6．
故这个多边形的边数是 6．
故答案为：6
14. 8
【解析】作 PE⊥OA 于 E，
∵OP 平分 ∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP 平分 ∠AOB，∠AOP=15∘，
∴∠AOB=30∘，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30∘，
∴PC=2PE=8．
15. 35
【解析】∵1x−1y=3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0，
∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2x+3xy−2yxyx−2xy−yxy=2y−2x+31y−1x−2=−21x−1y+3−1x−1y−2=−2×3+3−1×3−2=35.
16. 100∘
【解析】如图，作点 A 关于 BC 的对称点 Aʹ，关于 CD 的对称点 Aʺ，
连接 AʹAʺ 与 BC，CD 的交点即为所求的点 M，N．
∵∠BAD=130∘，∠B=∠D=90∘，
∴∠Aʹ+∠Aʺ=180∘−∠130∘=50∘．
由轴对称的性质得：∠Aʹ=∠AʹAM，∠Aʺ=∠AʺAN．
∴∠AMN+∠ANM=2∠Aʹ+∠Aʺ=2×50∘=100∘．
故答案为：100∘．
第三部分
17. （1） 2a−3b2=4a2−12ab+9b2.
（2） 原式=a2−1a−1−3a−1÷a−22a−1=a2−4a−1×2a−1a−2=a−2a+2a−1×2a−1a−2=2a+2=2a+4.
18.
1−x2−x−3=1x−2.
−1−x−3x−2=1.
x−1−3x+6=1.
2x=4.
x=2.
检验：当 x=2 时，x−2=0．
则 x=2 是增根，原方程无解．
19. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90∘．
∵D 为 BC 中点，
∴DB=DC．
在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
BE=CF,DB=DC,
∴Rt△DEB≌Rt△DFCHL．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵D 为 BC 中点，
∴AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
20. 过直线 l 作点 Bʹ 使得点 Bʹ 与点 B 关于直线 l 对称，
连接 ABʹ 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求．
PA+PB=PA+PBʹ，
在直线 l 上任意找一点 Pʹ （不与 P 重合），
在 △APʹBʹ 中，PʹA+PʹB>PA+PBʹ，
∴ 当点 P 在 ABʹ 上时 PA+PBʹ 最小即 PA+PB 最小．
21. （1） 10x；2x；102x
（2） 根据题意，列方程得
10x=102x+13,
解这个方程，得
x=15,
检验：当 x=15 时，2x≠0，
所以原方程的解为 x=15．
答：骑车同学的速度为每小时 15 千米．
22. ∵△ABC 和 △DBE 都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=DE=BE，∠ABC=∠EBD=60∘，
又 ∠ABE=∠ABC−EBC=60∘−∠EBC，
∠CBD=∠EBD−∠EBC=60∘−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBD，
在 △ABE 和 △CBD 中，
AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBDSAS，
∴AE=DC，
又 AE=AD−DE，
∴AE=DA−DB，
∴DA−DB=DC．
23. （1） 设 AP=x，则 BQ=x，
∴∠BQD=30∘，∠C=60∘，
∴∠QPC=90∘，
∴QC=2PC，即 x+6=26−x，
解得 x=2，即 AP=2．
（2） 如图，过 P 点作 PF∥BC，交 AB 于 F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60∘，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又 ∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP 即 D 为 PQ 中点．
（3） ∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF=12AF，
又 ∵△DQB≌△DPF，
∴DF=DB，DF=12BF，
ED=EF+DF=12AF+BF=12AB=3．