2020-2021学年天津市红桥区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市红桥区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若分式 xx−1 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≠1B. x>1C. x≠0D. x<1

2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是
A. 2cm，3cm，6cmB. 3cm，4cm，8cm
C. 5cm，6cm，10cmD. 5cm，6cm，11cm

4. 下列计算正确的是
A. 3a3⋅2a2=6a6B. 2x2⋅3x2=6x4C. 3x2⋅4x2=12x2D. 5y3⋅3y5=8y8

5. 计算 xx+12+1x+12 的结果是
A. 1B. 1x+1C. x+1D. 1x+12

6. 如图，若 △ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是
A. ∠BAD=∠CAEB. AC=DE
C. ∠ABC=∠AEDD. AB=AE

7. 下列计算正确的是
A. a+ba−2b=a2−2b2B. a−122=a2−14
C. −2a3a−1=−6a2+aD. a−2b2=a2−4ab+4b2

8. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠A=135∘，∠C=60∘，∠D=150∘，则 ∠E 的大小为
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

9. 下列分解因式正确的是
A. xy−2y2=xy−2x
B. m3n−mn=mnm2−1
C. 4x2−24x+36=2x−62
D. 4x2−9y2=2x−3y2x+3y

10. 分式方程 2x+5=1x−2 解是
A. x=9B. x=7C. x=5D. x=−1

11. 如图，在 △ABC 中，∠C=84∘，分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M，N，作直线 MN 交 AC 于点 D；以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，若此时射线 BP 恰好经过点 D，则 ∠A 的大小是
A. 30∘B. 32∘C. 36∘D. 42∘

12. 如图，在 △AOB 和 △COD 中，OA=OB，OC=OD，OAA. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 2a3 的结果等于 ．

14. 计算 7+17−1 的结果等于 ．

15. 若 x=2 是关于 x 的分式方程 kx+x−3x−1=1 的解，则实数 k 的值等于 ．

16. 当 y=3x 时，计算 y2−x25x2−4xy÷x+y5x−4y 的结果等于 ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是边 AC 上的高，则 ∠DBC 的大小等于 （度）．

18. 如图，等边 △ABC 的边长为 4，点 D 在边 AC 上，AD=1．
（1）△ABC 的周长等于 ．
（2）线段 PQ 在边 BA 上运动，PQ=1，BQ>BP．连接 QD，PC，当四边形 PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段 PC，QD，并简要说明点 P 和点 Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. 如图，在 △ABC 中，AD 是高，角平分线 AE，BF 相交于点 O，∠BAC=50∘，∠C=70∘，求 ∠DAC 和 ∠BOA 的大小．

20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A，B，C 的坐标分别为 2,2，1,−3，4,−2．△AʹBʹCʹ 与 △ABC 关于 y 轴对称，点 A，B，C 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ．
（1）请在图中作出 △AʹBʹCʹ，并写出点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标．
（2）若点 Mm+2,n−2 是 △ABC 的边上一点，其关于 y 轴的对称点为 Mʹ12−n,2m，求 m，n 的值．

21. 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE 与 BD 相交于点 F，AE 与 BC 相交于点 G．
（1）求证：AE=BD．
（2）求 ∠AFD 的大小．

22. 先化简，再求值．
（1）2x+y2+y+2xy−2x−2y4x−y÷4y，其中 x=12，y=13．
（2）a+2a2−2a−a−1a2−4a+4÷a−4a，其中 a=1．

23. 某茶店用 4000 元购进了A种茶叶若干盒，用 8400 元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多 10 盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的 1.4 倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元?
（2）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共 100 盒（进价不变），A种茶叶的售价是毎盒 300 元，B种茶叶的售价是毎盒 400 元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5800 元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒?

24. 已知 △ABC 是等边三角形，点 P，Q 分别为边 AB，BC 上的动点（端点除外）．点 P，Q 以相同的速度，同时从点 A，点 B 出发，直线 AQ，CP 相交于点 M．
（1）如图①，求证：△ABQ≌△CAP．
（2）如图①，当点 P，Q 分别在 AB，BC 边上运动时，∠QMC 的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小．
（3）如图②，当点 P，Q 分别在 AB，BC 的延长线上运动时，∠QMC 的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
答案
第一部分
1. A【解析】由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
2. C
3. C【解析】三角形三边长的关系为：任意两边之差小于第三边长，任意两边之和大于第三边长．
A选项 2+3<6，不符合三角形三边长的关系，则 2cm，3cm，6cm 不能组成三角形，故此选项错误；
B选项 3+4<8，不符合三角形三边长的关系，则 3cm，4cm，8cm 不能组成三角形，故此选项错误；
C选项 5+6>10>6−5，符合三角形三边长的关系，则 5cm，6cm，10cm 能组成三角形，故此选项正确；
D选项 5+6=11，不符合三角形三边长的关系，则 5cm，6cm，11cm 不能组成三角形，故此选项错误．
4. B【解析】A选项：3a3⋅2a2=6a3+2=6a5，故A选项不正确；
B选项：2x2⋅3x2=6x2+2=6x4，故B选项正确；
C选项：3x2⋅4x2=12x2+2=12x4，故C选项不正确；
D选项：5y3⋅3y5=15y3+5=15y8，故D选项不正确．
5. B
【解析】xx+12+1x+12=x+1x+12，
因为 x+1≠0，故 x+1x+12=1x+1．
6. A【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE．
故B，C，D选项错误，A选项正确．
7. D【解析】A选项：
a+ba−2b=a2−2ab+ab−2b2=a2−ab−2b2,
故A错误；
B选项：a−122=a2−2×12a+122=a2−a+14，故B错误；
C选项：−2a3a−1=−6a2+2a，故C错误；
D选项：a−2b2=a2−4ab+4b2，故D正确．
8. D【解析】五边形内角和：5−2×180∘=540∘，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180∘，
∵∠A=135∘，∠D=150∘，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘，
∴∠E=x∘=75∘，
9. D【解析】A选项：xy−2y2=yx−2y，故A错误；
B选项：m3n−mn=mnm2−1=mnm+1m−1，故B错误；
C选项：4x2−24x+36=4x2−6x+9=4x−32，故C错误；
D选项：4x2−9y2=2x+3y2x−3y，故D正确．
10. A
【解析】方程两边同乘 x−2x+5，得 2x−2=x+5，
解得 x=9．
经检验，x=9 是原方程的解．
11. B【解析】由作图可得，MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是 ∠ABC 的平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A=∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C=180∘，且 ∠C=84∘，
∴∠A+2∠ABD=180∘−∠C，
即 3∠A=180∘−84∘，
∴∠A=32∘．
故答案为：B．
12. C【解析】∵∠AOB=∠COD=36∘，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即 ∠AOC=∠BOD，
在 △AOC 和 △BOD 中，
OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD,
∴△AOC≌△BODSAS，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC，
∴∠AMB=∠AOB=36∘，①正确；
作 OG⊥AC 于 G，OH⊥BD 于 H，如图所示：
则 ∠OGC=∠OHD=90∘，
在 △OCG 和 △ODH 中，
∠OCA=∠ODB,∠OGC=∠OHD,OC=OD,
∴△OCG≌△ODHAAS，
∴OG=OH，
∴MO 平分 ∠AMD，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴ 当 ∠DOM=∠AOM 时，OM 平分 ∠BOC，
假设 ∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO 平分 ∠AMD，
∠AMB=∠PMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在 △COM 和 △BMO 中，
∠COM=∠BOM,OM=OM,∠CMO=∠BMO,
∴△COM≌△BOMASA，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与 OA ∴ ③错误；
正确的有①②④．
第二部分
13. 8a3
【解析】2a3=23⋅a3=8a3．
14. 6
【解析】计算 7+17−1 的结果等于 7−1=6．
15. 4
【解析】∵x=2 是关于 x 的分式方程，
kx+x−3x−1=1 的解，
∴ 把 x=2 代入得：
k2+2−32−1=1，
k2+−1=1，
k2=2，
k=4．
16. 2
【解析】y2−x25x2−4xy÷x+y5x−4y=y−xy+xx5x−4y⋅5x−4yx+y=y−xx,
当 y=3x 时，原式=3x−xx=2xx=2．
17. 18
【解析】∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180∘，
∴∠A=36∘，
则 ∠C=∠ABC=2∠A=72∘，
又 BD 是 AC 边上的高，
则 ∠DBC=90∘−∠C=18∘．
18. 12
【解析】（1）∵△ABC 为等边三角形，边长为 4，
∴AB=AC=BC=4，
则 △ABC 的周长为 AB+AC+BC=4+4+4=12，
故 △ABC 的周长等于 12．
（2）分别以 A，B 为圆心，AD 长为半径画圆弧 AM，BN 交 CB 延长线于点 N，
再以点 N 为圆心，AB 长为半径画圆弧，交弧 AM 于点 M，
则四边形 ABNM 中 AM=BN，MN=AB，
∴ 四边形 ABNM 为平行四边形；
再以点 M 为圆心，PQ 长为半径画圆弧交 MN 于点 G，连接 MN 于点 G，连接 PG，PC；
∵MG=PQ，MG∥PQ，
∴ 四边形 MGPQ 为平行四边形，则 PG=MQ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠DAQ=∠ABC=60∘，
∵ 四边形 ABNM 为平行四边形，
∴AM∥BN，则 ∠MAQ=∠ABC=60∘，即 ∠MAQ=∠DAQ，
在 △AMG 和 △ADQ 中，
AM=AD=1,∠MAQ=∠DAO,AQ=AQ,
∴△AMG≌△ADQSAS，
∴MQ=DQ，即 DQ=PG，
∴四边形 PCDQ 周长=DQ+CD+PQ+PC=PG+AC−AD+1+PC=PG+PC+4,
当点 C，P，G 三点共线且 CG⊥MN 时，PG+PC 取得最小值；
以点 C 为圆心，画圆弧交 MN 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12 倍的 EF 为半径画圆弧交于点 K，连接 CK 交 MN 于点 H，则 CH⊥MN，故 CK 与 AB 交点为点 P 时，四边形 PCDQ 的周长最小．
第三部分
19. ∵AD 是 △ABC 的高，
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠DAC=90∘−∠C=90∘−70∘=20∘，
在 △ABC 中，∠ABC=180∘−∠BAC−∠C=180∘−50∘−70∘=60∘，
∵AE，BF 是 △ABC 的角平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×50∘=25∘，∠ABO=12∠ABC=12×60∘=30∘，
∴∠AOB=180∘−∠BAO−∠ABO=180∘−25∘−30∘=125∘．
20. （1） 如图所示 △ABC 关于 y 轴的对称图形 △AʹBʹCʹ．点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标分别为：−2,2，−1,−3，−4,−2．
（2） ∵ 点 Mm+2,n−2 与点 Mʹ12−n,2m 关于 y 轴对称，
∴m+2=−12−n,n−2=2m,
解得 m=12,n=3.
21. （1） ∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB=∠DCE=90∘．
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即 ∠ACE=∠BCD．
在 △ACE 和 △BCD 中，AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD.
∴△ACE≌△BCDSAS
∴AE=BD．
（2） 设 BC 与 AE 交于点 N．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠A=∠B，
∵△ACN，△BFN 的内角和均为 180∘，
∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠ACB=90∘，
∴∠AFD=180∘−∠BFN=90∘．
22. （1） 原式=4x2+4xy+y2+y2−4x2−8xy+2y2÷4y=−4xy+4y2÷4y=y−x.
当 x=12，y=13 时，原式=y−x=−16．
（2） 原式=a+2aa−2−a−1a−22⋅aa−4=a2−4aa−22−aa−1aa−22⋅aa−4=a2−4−a2+aaa−22⋅aa−4=a−4aa−22⋅aa−4=1a−22.
当 a=1 时，
原式=13−22=1．
23. （1） 设A种茶叶每盒进价为 x 元，则 B 种茶叶每盒进价为 1.4x 元，
依题意，得：
84001.4x−4000x=10.
解得：
x=200.
经检验，x=200 是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x=280．
答：A种茶叶每盒进价为 200 元，B种茶叶每盒进价为 280 元．
（2） 设第二次购进A种茶叶 m 盒，则购进B种茶叶 100−m 盒，
依题意，得
300−200×m2+300×0.7−200×m2+400−280×100−m2+400×0.7−280×100−m2=5800.
解得：
m=40.∴100−m=60
．
答：第二次购进A种茶叶 40 盒，B种茶叶 60 盒．
24. （1） 如图 1，
因为 △ABC 是等边三角形，
所以 ∠ABQ=∠CAP=60∘，AB=CA，
又因为点 P，Q 运动速度相同，
所以 AP=BQ，
在 △ABQ 与 △CAP 中，
AB=CA,∠ABQ=∠CAP,AP=BQ,
所以 △ABQ≌△CAPSAS．
（2） 点 P，Q 在 AB，BC 边上运动的过程中，∠QMC 不变．
理由：
因为 △ABO≌△CAP，
所以 ∠BAQ=∠ACP，
因为 ∠QMC 是 △ACM 的外角，
所以 ∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，
因为 ∠BAC=60∘，
所以 ∠QMC=60∘．
（3） 如图 2，点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动时，∠QMC 不变，
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
所以 ∠BAQ=∠ACP，
因为 ∠QMC 是 △APM 的外角，
所以 ∠QMC=∠BAO+∠APM，
所以 ∠QMC=∠ACP+∠APM=180∘−∠PAC=180∘−60∘=120∘，
即若点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动，∠QMC 的度数为 120∘．