2020-2021学年天津市和平区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市和平区八上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 图中由“○”和“▫”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线
A. l1B. l2C. l3D. l4

2. 要使分式 1x−1 有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠0B. x≠1C. x=1D. x>1

3. 下列多项式中是完全平方式的是
A. a2−4a+4B. 1+4a2C. 4b2+4b−1D. a2+ab+b2

4. 如图，下列条件中，不能证明 △ABC≌△DEF 的是
A. AB=DE，BC=EF，AC=DFB. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
C. ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠FD. AB=DE，AC=DF，∠B=∠E

5. 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则它是
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形

6. 计算 m2n−22⋅2m−3n3 的结果等于
A. 2mnB. 2nmC. 2mnD. 2mn7

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 CP 交 AB 于点 D．若 BD=3，AC=12，则 △ACD 的面积是
A. 36B. 18C. 15D. 9

8. 如图，为了测量 B 点到河对面的目标 A 之间的距离，在 B 点同侧选择了一点 C，测得 ∠ABC=75∘，∠ACB=35∘，然后在 M 处立了标杆，使 ∠CBM=75∘，∠MCB=35∘，得到 △MBC≌△ABC，所以测得 MB 的长就是 A，B 两点间的距离，这里判定 △MBC≌△ABC 的理由是
A. SASB. ASAC. SSSD. AAS

9. 如图，若 x 为正整数，则表示 x3+7x2+12xx3+5x2+4x⋅13+x−x−1−1÷x−1+1 的值的点落在
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④

10. 若实数 x，y，z 满足 x−z2−4x−yy−z=0，则下列式子一定成立的是
A. x+y+z=0B. x+y−2z=0C. y+z−2x=0D. z+x−2y=0

11. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 M 为 BA 延长线上一点，∠ABC 的平分线 BE 和 ∠MAC 的平分线 AD 相交于点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于点 E，D．过点 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF 并延长交 DH 于点 G．有下列结论：
① ∠BPH=45∘；
② PB 垂直平分 AF；
③ DG=AP+GH；
④ BD−AH=AB．
其中，正确的结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 甲、乙两个工程队分别承担一条 20 km 公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路 x km，另一半时间每天维修 y km；乙队维修前 10 km 公路时，每天维修 x km，维修后 10 km 公路时，每天维修 y kmx≠y，那么
A. 甲队先完成任务B. 乙队先完成任务
C. 甲、乙两队同时完成任务D. 不能确定哪个队先完成任务

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若等腰三角形的一条边长为 5 cm，另一条边长为 10 cm，则此三角形第三条边长为 cm．

14. 计算：4ab2÷2ab= ．

15. 方程 x+3x+2−28=x−2x−1 的解为 ．

16. 如图，∠AOB=25∘，点 M，N 分别是边 OA，OB 上的定点，点 P，Q 分别是边 OB，OA 上的动点，记 ∠MPQ=α，∠PQN=β，当 MP+PQ+QN 的值最小时，β−α 的大小 = （度）．

17. 观察给定的分式，探索规律：
（1）1x，2x2，3x3，4x4，⋯，其中第 6 个分式是 ．
（2）x2y，−x4y3，x6y5，−x8y7，⋯，其中第 6 个分式是 ．
（3）−b2a，b5a2，−b8a3，b11a4，⋯，其中第 n 个分式是 （n 为正整数）．

18. 如图，在等边三角形 ABC 中，CM 平分 ∠ACB 交 AB 于点 M．
1∠ACM 的大小 = （度）．
2∠AMC 的大小 = （度）．
3 已知 AB=4，点 D 为射线 CM 上一点，作 ∠DCE=60∘，且 CE=CDCD≠AB，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD，BE，当以 B，D，M 为顶点的三角形与 △BEF 全等时，线段 CF 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解答各题．
（1）先化简，再求值：xx+1+xx+2，其中 x=1．
（2）计算：2x+3y2−2x+y2x−y．

20. 计算：
（1）6x+3yx2−y2−3xx2−y2．
（2）3ab2⋅1a−b−ab÷b9．

21. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E．BE，CD 相交于点 O，OB=OC．求证：
（1）△BDO≌△CEO．
（2）∠1=∠2．

22. 如图，AB∥CD，点 E 是线段 AC 上一点，且 AB=AE，CD=CE．求 ∠BED 的大小．

23. 刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 105 元，几天后，遇上这种大米 8 折出售，她用 140 元又买了一些，两次一共购买了 40 kg．这种大米的原价是多少?

24. 计算：
（1）分解因式．
① x2−14x+49=
② x2+7x−18=
（2）9a2x−y+4b2y−x．

25. 已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，点 D 是边 AB 上一点，连接 CD，且 CD=AD．
（1）如图①，求证 BD=CD．
（2）如图②，点 E 为边 AC 上一点，连接 DE，以 DE 为边在 DE 的左侧作等边三角形 DEF，连接 BF，则 ∠DBF 的大小 = （度）．
（3）如图③，过点 D 作 DP⊥AB 交 AC 于点 P，点 M 为线段 AP 上一点，连接 BM，作 ∠BMQ=60∘，MQ 交 PD 的延长线于点 Q．线段 PM，PQ 与 PA 之间有怎样的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ 对称轴两边的图形要完全一样，
∴ 由图可知，只有直线 l3 两边的图形完全一样．
2. B【解析】∵ 分式 1x−1 有意义，
∴x−1≠0．
解得：x≠1．
3. A【解析】A选项：a2−4a+4=a−22 符合题意，故A正确；
B选项：1+4a2，不符合题意，故B错误；
C选项：4b2+4b−1，不符合题意，故C错误；
D选项：a2+ab+b2，不符合题意，故D错误．
4. D【解析】A选项：由全等三角形的判定定理 SSS 能证明 △ABC≌△DEF，故此选项错误；
B选项：由全等三角形的判定定理 SAS 能证明 △ABC≌△DEF，故此选项错误；
C选项：由全等三角形的判定定理 ASA 能证明 △ABC≌△DEF，故此选项错误；
D选项：由 SSA 不能证明 △ABC≌△DEF，故此选项正确．
故选D．
5. C
【解析】设多边形边数为 n，
由题意得，
n−2⋅180∘=2×360∘，
解得 n=6，
所以，这个多边形是六边形．
6. A【解析】m2n−22⋅2m−3n3=m4n−4⋅2m−3n3=2mn−1=2mn.
7. B【解析】如图，过 D 作 DM⊥AC 于 M，
由题意可知：CD 是 ∠ACB 的角平分线，
∵∠B=90∘，DM⊥AC，
∴BD=DM，
∵BD=3，
∴DM=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=12AC⋅DM=12×12×3=18．
8. B【解析】∵∠ABC=∠CBM=75∘，BC=BC，∠ACB=∠MCB=35∘，
∴△ABC≌△MBCASA．
9. B【解析】原式=xx2+7x+12xx2+5x+4⋅13+x−x−1−1x−1+1=xx+3x+4xx+1x+4⋅1x+3−1−x1+x=1x+1−1−xx+1=xx+1=1−1x+1.
因为 x 为正整数，
所以 x≥1，
所以 1x+1≤12，
所以 1−1x+1≥12，
因为 1x+1>0，
所以 1−1x+1<1，
所以范围为段②．
10. D
【解析】x2+z2+2xz−4xy−4yz+4y2=x+z2−4yx+z+4y2=x+z−2y2.
∴x+z−2y2=0 .
11. C【解析】∵∠ABC 的角平分线 BE 和 ∠BAC 的外角平分线，
∴∠ABP=12∠ABC，∠CAP=1290∘+∠ABC=45∘+12∠ABC，
在 △ABP 中，
∠APB=180∘−∠BAP−∠ABP=180∘−45∘+12∠ABC+90∘−∠ABC−12∠ABC=180∘−45∘−12∠ABC−90∘+∠ABC−12∠ABC=45∘.
∵∠ACB=90∘，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90∘，∠AHP+∠HAP=90∘，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90∘，
在 △AHP 与 △FDP 中，
∠AHP=∠FDP,∠APH=∠EPD=90∘,AP=PF.
∴△AHP≌△FDPAAS，
∴DF=AH，
∵AD 为 ∠BAC 的外角平分线，∠PFD=∠HAP，
∴∠PAE+∠BAP=180∘，
又 ∵∠PFD+∠BEP=180∘，
∴∠PAE=∠PED，
∵∠ABC 的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
即 ∠BPH=∠ABP=45∘，故①小题正确；
在 △ABP 与 △FBP 中，
∠PAE=∠PFD,∠ABP=∠FBP,PB=PB.
∴△ABP≌△FBPAAS，
∴AB=BF，AP=PF，
∴BP 垂直平分 AF，
故②小题正确；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD−AH=AB，
故④小题正确；
③ ∵PF⊥AD，∠ACB=90∘，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45∘，
∴∠ADG=∠DAG=45∘，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45∘，AG⊥DH，
∴△ADG 与 △FGH 都是等腰直角三角形，
∴DG=AC，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF>AP，
∴DG=AP+GH 不成立，
故③小题错误，
综上所述①②④正确．
12. A【解析】由题意得：甲队完成任务需要的时间为
2012x+12y=40x+y；
乙队完成任务需要的时间为：10x+10y；
甲、乙两队完成任务的时间差是：
40x+y−10x+10y=40xy−x+y2xyx+y=−10x−y2xyx+y，
∵x>0，y>0，且 x≠y，
∴−10x−y2<0，xyx+y>0，
∴−10x−y2xyx+y<0，
∴ 甲队先完成任务．
第二部分
13. 10
【解析】∵5+5=10，
∴ 以 5 cm 长为腰长时，不能构成三角形，腰长为 10 cm，底边长为 5 cm，
10+5>10．
14. 2b
15. x=3
【解析】x+3x+2−28=x−2x−1，
x2+5x+6−28=x2−3x+2，
5x+3x=28−6+2，
8x=24，
x=3．
16. 50
【解析】作 M 关于 OB 的对称点 Mʹ，N 关于 OA 的对称点 Nʹ，连接 MʹNʹ，交 OB 于点 P，交 OA 于点 Q，连接 MP，QN，如图所示：
根据两点之间，线段最短，可知，此时 MP+PQ+QN 最小，
∴∠OPM=∠OPMʹ=∠NPQ，∠OQP=∠AQN=∠AQNʹ，
∵∠MPQ=α，∠PQN=β，
∴∠QPN=12180∘−α，∠OQP=12180∘−β，
∵∠QPN=∠AOB+∠OQP，∠AOB=25∘，
∴12180∘−α=25∘+12180∘−β，
∴180∘−α=50∘+180∘−β，
∴β−α=50∘．
17. 6x6，−y12y11，−1n×b3n−1an
【解析】（1）先观察分子：1，21，31，41，⋯n1；
再观察分母：x，x1，x2，⋯xn；
所以，第 6 个分式 6x6．
（2）这列分式中的第 6 个分式为 −16+1x2x6y2x6−1=−y12y11．
（3）因为 2=2+3×1−1，
5=2+3×2−1，8=2+3×3−1，11=2+3×4−1．
所以第 n 个式子是 −1n×b2+3×n−1an=−1n×b3n−1an．
18. 30，90，2 或 6 或 23
【解析】1∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∵CM 平分 ∠ACB，
∴∠ACM=12∠ACB=30∘．
故答案为：30．
2∵△ABC 是等边三角形，CM 平分 ∠ACM，
∴CM⊥AB，
∴∠AMC=90∘．
故答案为：90．
3∵△ABC 是等边三角形，CM 平分 ∠ACM，
∴AM=BM=12AB，
∵AB=4，
∴BM=2，
∵∠DCE=60∘，CE=CD，
∴△CDE 是等边三角形，
∵∠BCD=30∘，
∴∠BCD=∠BCE=30∘，
∴BC 垂直平分 DE，DF=EF ∴BD=BE，
当点 D 在线段 CM 上时，如图 1，
当 △BMD≌△BFE 时，BM=BF=2，
∴CF=BC−BF=2，
当点 D 在线段 CM 的 延长线上时，
当 △BMD≌△BFE 时，如图 2，
BM=BF=2，
∴CF=BC+BF=6，
当 △BMD≌△EFB 时，如图 3，
BM=EF=2，
在 Rt△CFE 中，∠CFE=90∘，∠FCE=30∘，
∴CE=2EF=4，
∴CF=CE2−EF2=23，
∴ 当以 B，D，M 为顶点的三角形与 △BEF 全等时，线段 CF 的长为 2 或 6 或 23．
故答案为：2 或 6 或 23．
第三部分
19. （1） xx+1+xx+2=x2+x+x2+2x=2x2+3x=x2x+3.
把 x=1 代入 x2x+3 中得，1×2×1+3=5．
（2） 2x+3y2−2x+y2x−y=4x2+12xy+9y2−4x2−y2=4x2+12xy+9y2−4x2+y2=12xy+10y2.
20. （1） 原式=6x+3y−3xx2−y2=3x+3yx+yx−y=3x+yx+yx−y=3x−y.
（2） 原式=9a2b2⋅1a−b−ab⋅9b=9a2b2a−b−9ab2=9a2b2a−b−9a2−9abb2a−b=9abb2a−b=9aba−b=9aab−b2.
21. （1） ∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO=90∘，
在 △ODB 和 △OEC 中，
∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE,OB=OC,
∴△BDO≌△CEO．
（2） ∵△BDO≌△CEO，
∴OD=OE，
而 OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90∘，
在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中，
OD=OE,AO=AO,
∴Rt△ADO≌Rt△AEOHL，
∴∠1=∠2．
22. ∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180∘，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B=180∘−∠A2，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠D=180∘−∠C2，
∴∠AEB+∠CED=180∘−∠A2+180∘−∠C2=90∘，
∴∠BED=180∘−∠AEB+∠CED=90∘．
23. 设这种大米的原价是每千克 x 元，
根据题意，得
105x+1400.8x=40,
解得：
x=7.
经检验，x=7 是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克 7 元．
24. （1） ①x2−14x+49=x2−2×7x+72=x−72.
②x2+7x−18=x+9x−2.
（2） 9a2x−y+4b2y−x=9a2x−y−4b2x−y=9a2−4b2x−y=3a−2b3a+2bx−y.
25. （1） ∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠B=180∘−∠ACB−∠A=60∘，
∵CD=AD，
∴∠DCA=∠A=30∘，
∴∠BCD=∠BCA−∠DCA=60∘，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD．
（2） 30
【解析】∵BD=CD，∠BCD=60∘，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BDC=60∘，BC=BD=CD，
∵△DEF 也是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60∘，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC−∠CDF=∠EDF−∠CDF，
∴∠BDF=∠CDE，
在 △BDF 和 △CDE 中，
BD=CD,∠BDF=∠CDE,DF=DE,
∴△BDF≌△CDESAS，
∴∠DBF=∠DCE=30∘．
（3） 连接 BP，并延长 BP 至 N，使得 PN=PM，连接 MN，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90∘，∠APD=90∘−∠A=60∘，
在 Rt△BCP 和 Rt△BDP 中，
BP=BP,BC=BD,
∴Rt△BCP≌Rt△BDPHL，
∴∠CPB=∠DPB=12∠CPD=12×180∘−∠APD=60∘，
∠CBP=∠DBP=12∠ABC=30∘，
∵∠NPM=∠CPB，
∴∠NPM=60∘，
∵PM=PN，
∴△PMN 是等边三角形，
∴MP=MN=PN，∠PMN=∠MNP=60∘，
∴∠MPQ=∠MNP=60∘，
∵∠BMQ=60∘，
∴∠PMN=∠BMQ，
∴∠PMN+∠BMP=∠BMQ+∠BMP，
∴∠BMN=∠QMP，
在 △MBN 和 △MQP 中，
∠BMN=∠QMP,MN=MP,∠MNB=∠MPQ,
∴△MBN≌△MQPASA，
∴BN=QP，
∵∠PBA=∠A=30∘，
∴BP=AP，
∵BN=BP+PN=AP+PM，
∴PQ=AP+PM．