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2021年北京市东城区中考数学一模试卷
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这是一份2021年北京市东城区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x3
3．（2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
4．（2分）一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
5．（2分）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＜﹣b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ）
A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值等于 ．
10．（2分）分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ ．
11．（2分）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ．
12．（2分）4月23日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为 ．
13．（2分）有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n）
“出现点数为1”的次数（频数（m）
频率
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 ．（精确到0.001）
14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
16．（2分）小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：
乘出租车
乘坐公交车
乘坐地铁
骑共享单车
共需步行（公里）
总用时（分钟）
费用（元）
方式1
√
2.0
47
4
方式2
√
56
3
方式3
√
1.6
78
3
方式4
√
1.8
80
3
方式5
√
√
1.5
60
6
方式6
√
√
1.6
56
6
方式7
√
√
1.7
55
6
方式8
√
√
1.5
57
6
方式9
√
0.2
32
41
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．
其中推断合理的是 （填序号）．
三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1+﹣|﹣1|﹣6sin45°．
18．（5分）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
19．（5分）尺规作图：
如图，已知线段a，线段b及其中点．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段AC＝a；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形 （填推理的依据）．
20．（6分）解不等式组：，并写出其中的正整数解．
21．（5分）解分式方程：＝+1．
22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若AB＝26，GN＝8，sin∠CAB＝，求线段AC的长．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与直线y＝3x平行，且过点A（2，7）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线l2与直线l1关于y轴对称，直线y＝m与直线l1，l2围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
24．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
c．测试成绩在70≤x＜80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．
d．小明的冬奥知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 ；
（3）序号为1﹣10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11﹣20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21﹣30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系；
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点；
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．
给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是 ；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点 的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2021年北京市东城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是全等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和俯视图都是全等的矩形，
故该几何体是一个柱体，
又∵左视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：D．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x3
【分析】把点（1，1）分别代入解析式判断即可．
【解答】解：A．x＝1，则y＝＝1；故函数y＝的图象过点（1，1）；
B．x＝1，则y＝x2＝1，故函数y＝x2的图象过点（1，1）；
C．x＝1，则y＝﹣x+1＝0≠1，故函数y＝﹣x+1的图象不过点（1，1）；
D．x＝1，则y＝x3＝1，故函数y＝x3的图象过点（1，1）；
故选：C．
3．（2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将475000000用科学记数法表示为4.75×108．
故选：B．
4．（2分）一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据平行线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故A符合题意；
∵AB与BF不平行，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠2＝45°，∠4＝30°，
∴∠1≠∠4，
故C不符合题意；
∵AF与ED不平行，
∴∠1≠∠5，
故D不符合题意；
故选：A．
5．（2分）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【解答】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．
故选：D．
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＜﹣b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
【分析】根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【解答】解：由图可知：a＜0＜c＜b，且|a|＜|b|，
∴A不符合题意；
a＞﹣b，B不符合题意；
a﹣b＜0，C符合题意；
ac＜0＜bc，D不符合题意；
故选：C．
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，根据AO＝OB＝2，OP＝4，可得∠APO＝∠BPO＝30°，进而可得∠C的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵AO＝OB＝2，OP＝4，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝30°．
故选：B．
8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ）
A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm
【分析】直接利用勾股定理得出斜边长，再利用相似三角形的性质得出相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm，
∴三角形的斜边长为：＝50（cm），
∵现要做一个与其相似的三角形木架，以60cm长的木条为其中一边，
∴当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：30：60＝1：2，
故设要做的三角形最长边长为：50×2＝100（cm）．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值等于 0 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x＝0且2x﹣1≠0．
解得x＝0．
故答案是：0．
10．（2分）分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ m（a﹣2b）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（a2﹣2ab+4b2）＝m（a﹣2b）2．
故答案为：m（a﹣2b）2．
11．（2分）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝ ﹣1 ，b＝ ﹣2 ．
【分析】举出一个反例：a＝﹣1，b＝﹣2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但是a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：﹣1、﹣2．（答案不唯一）
12．（2分）4月23日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为 ．
【分析】设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，根据“甲同学购买图书+乙同学购买图书＝22、甲同学购买图书＝2乙同学购买图书+1”列出方程组．
【解答】解：根据题意得到：．
故答案是：．
13．（2分）有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n）
“出现点数为1”的次数（频数（m）
频率
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 0.166 ．（精确到0.001）
【分析】利用频率估计概率的方法得出概率的估计值．
【解答】解：根据图表中数据可得出，“出现点数为1”的概率的估计值是0.166．
故答案为：0.166．
14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 0 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出△＝4（m+1）2﹣4c＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4（m+1）2﹣4c＝0，
∴（m+1）2＝c，
∵（m+1）2≥0，
∴c的最小值是0．
故答案为：0．
16．（2分）小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：
乘出租车
乘坐公交车
乘坐地铁
骑共享单车
共需步行（公里）
总用时（分钟）
费用（元）
方式1
√
2.0
47
4
方式2
√
56
3
方式3
√
1.6
78
3
方式4
√
1.8
80
3
方式5
√
√
1.5
60
6
方式6
√
√
1.6
56
6
方式7
√
√
1.7
55
6
方式8
√
√
1.5
57
6
方式9
√
0.2
32
41
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．
其中推断合理的是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据题目表格所给的9种出行方式的相应数据对选项进行逐一判断即可得 到答案．
【解答】解：①要使出行费用尽可能少，由表格数据可知，出行方式2、3、4的费用均为3元比其他6种出行方式费用都少，故此说法正确；
②出行方式1，出行时间47分钟，花费4元，对比较其他出行方式，出行时间最少，花费也较少，故此说法正确；
③由题意可知方式5、6、7、8为公交车和地铁混合出行方式，故平均出行时间＝出行总时间：4，即平均出行时间＝（60+56+55+57）÷4＝57，故此说法正确；
④题目未给出骑共享单车的时间和收费模式，无法计算，故此说法错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1+﹣|﹣1|﹣6sin45°．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3+2﹣1﹣6×
＝3+2﹣1﹣3
＝2﹣．
18．（5分）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【分析】当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝．然后根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝．
原式＝2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣5x
＝．
19．（5分）尺规作图：
如图，已知线段a，线段b及其中点．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段AC＝a；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 平行四边形 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形 对角线垂直的平行四边形是菱形 （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作．
（2）∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
20．（6分）解不等式组：，并写出其中的正整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x＜，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜，
则不等式组的正整数解为1．
21．（5分）解分式方程：＝+1．
【分析】解分式方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
【解答】解：，
x﹣1＝3﹣2x+x+2，
x+2x﹣x＝3+2+1，
2x＝6，
x＝3．
经检验，x＝3是原方程的根，
∴原方程的解为：x＝3．
22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若AB＝26，GN＝8，sin∠CAB＝，求线段AC的长．
【分析】（1）证AC∥GN，∠MEN＝90°，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得EM＝GN＝8，∠EMG＝90°，再由锐角三角函数定义求出BM＝10，由勾股定理得AM＝24，则AE＝AM﹣EM＝16，然后证△BCM≌△DAE（AAS），得CM＝AE＝16，即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，GN⊥DF，
∴AC∥GN，∠MEN＝90°，
∵BG∥DF，
∴四边形NEMG是平行四边形，
又∵∠MEN＝90°，
∴四边形NEMG为矩形；
（2）由（1）得：四边形NEMG为矩形，
∴EM＝GN＝8，∠EMG＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝26，sin∠CAB＝＝，
∴BM＝10，
∴AM＝＝＝24，
∴AE＝AM﹣EM＝16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴∠BCM＝∠DAE，
∵∠BMC＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BMC＝∠DEA，
在△BCM和△DAE中，
，
∴△BCM≌△DAE（AAS），
∴CM＝AE＝16，
∴AC＝AM+CM＝24+16＝40．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与直线y＝3x平行，且过点A（2，7）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线l2与直线l1关于y轴对称，直线y＝m与直线l1，l2围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意直线l1：y＝kx+b（k≠0）中k＝3，把点A（2，7）代入即可求得b，从而求得直线l1的函数表达式；
（2）分两种情况，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
把点A（2，7）代入直线y＝3x+b中，得到7＝6+b，
解得b＝1，
∴直线l1的解析式为y＝3x+1；
（2））∵直线l2与直线l1关于y轴对称，
∴直线l2为y＝﹣3x+1，
画出函数图象如图，
结合图象，可得﹣4≤m＜﹣3或5＜x≤6时，区域W内恰有6个整点．
24．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝3，结合已知条件可得OE＝2，根据勾股定理可得OC＝，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC+∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠A，
∴∠A+∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠COF＝∠A，
∴tanA＝tan∠COF＝＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝6＝3，
∴OE＝2，
∴OC＝＝＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE+∠OCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝．
25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
c．测试成绩在70≤x＜80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．
d．小明的冬奥知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 5 ；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 74 ；
（3）序号为1﹣10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11﹣20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21﹣30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系；
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 140 人．
【分析】（1）根据图a由大到小数即可得出结论；
（2）根据中位数的定义，可以得到结论；
（3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
（4）由图b可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，再乘总人数即可得出结论．
【解答】解：（1）小明的成绩是85，由a可知，小明位于第5名；
故答案为：5；
（2）∵抽取的人数为偶数，
∴中位数为中间两个数相加的一半；
∵40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100的人数分别为：3人，4人，5人，8人，7人，3人；
∴中位数是第15和第16个分数的平均数，
∴中位数为＝74，
故答案为：74；
（3）∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由a可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
（4）由图b可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，
∴420×＝140（人），
故答案为：140．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
（3）①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点；
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①证明PQ＝PA＝PB，可得结论．
②图形如图所示：结论：PC＝PA．证明∠APC＝90°，可得结论．
（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠PAQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．
②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，
∴AP＝AQ，∠PAN＝∠QAN＝30°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝PA，
∴PB＝PA，
∴PQ＝PA＝PB，
∴∠AQB＝90°．
②图形如图所示：结论：PC＝PA．
理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，
∴AQ＝QC，
∴PQ＝QC＝AQ，
∴∠CPA＝90°，
∴＝tan60°，
∴PC＝PA．
（2）①如图2中，连接BC，CQ．
∵A，C关于BQ对称，
∴BC＝BA，CQ＝AQ，
∵BQ＝BQ，
∴△BQC≌BQA（SSS），
∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，
∵∠APQ＝60°，
∴∠BPQ＝120°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B，P，Q，C四点共圆，
∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴∠PDQ＝120°，
∴∠DQP+∠DPQ＝60°，
∴∠CPQ＝60°﹣α．
②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．
理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．
∵∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴A，P，D，Q四点共圆，
∴∠PDT＝∠PQA＝60°，
∵DT＝DP，
∴△PDT是等边三角形，
∴PD＝PT，∠DPT＝∠QPA＝60°，
∴∠DPQ＝∠TPA，
∵PD＝PT，PQ＝PA，
∴△DPQ≌△TPA（SAS），
∴DQ＝TA，
∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，
∵A，C关于BQ对称，
∴DC＝AD，
∴CD＝DP+DQ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．
给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是 M1N1∥M2N2 ；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点 P1 的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）线段MN到正方形ABCD的“平移距离”的定义解决问题即可．
（2）如图2中，当M，N分别在AB，BC上时，d1存在最小值，最小值等于点B到MN的距离．
（3）当MN与BC重合时，BC的中点为K，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，当MN与AB重合时，AB的中点为T，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最大．
【解答】解：（1）由题意，M1N1∥M2N2，连接点P与点P1的线段的长度是等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
故答案为：M1N1∥M2N2，P1．
（2）如图2中，当M，N分别在AB，BC上时，d1存在最小值，最小值等于点B到MN的距离．
∵A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，BC＝OB＝1，
∵E（+1，0），
∴EC＝1，
∴BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠OCB＝45°＝∠CBE+∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，
∵MN∥BE，
∴∠BNM＝∠CBE＝22.5°，
在Rt△BMN中，在BN上取一点T，使得BM＝BT，则∠BMT＝∠BTM＝45°，
∵∠BTM＝∠TMN+∠N＝45°，
∴∠N＝∠TMN＝22.5°，
∴TM＝TN，
设BM＝BT＝x，则TM＝TN＝x，
∵MN＝1，
∴x2+（x+x）2＝12，
∴x2＝，
∴点B到直线MN的距离＝＝x（x+x）＝（1+）x2＝．
（3）如图3中，
当MN与BC重合时，BC的中点为K，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，最小值＝PK＝2﹣，
当MN与AB重合时，AB的中点为T，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，最大值＝PT＝＝，
综上所述，2﹣≤d2≤．
2021年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x3
3．（2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
4．（2分）一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
5．（2分）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＜﹣b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ）
A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值等于 ．
10．（2分）分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ ．
11．（2分）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ．
12．（2分）4月23日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为 ．
13．（2分）有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n）
“出现点数为1”的次数（频数（m）
频率
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 ．（精确到0.001）
14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
16．（2分）小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：
乘出租车
乘坐公交车
乘坐地铁
骑共享单车
共需步行（公里）
总用时（分钟）
费用（元）
方式1
√
2.0
47
4
方式2
√
56
3
方式3
√
1.6
78
3
方式4
√
1.8
80
3
方式5
√
√
1.5
60
6
方式6
√
√
1.6
56
6
方式7
√
√
1.7
55
6
方式8
√
√
1.5
57
6
方式9
√
0.2
32
41
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．
其中推断合理的是 （填序号）．
三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1+﹣|﹣1|﹣6sin45°．
18．（5分）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
19．（5分）尺规作图：
如图，已知线段a，线段b及其中点．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段AC＝a；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形 （填推理的依据）．
20．（6分）解不等式组：，并写出其中的正整数解．
21．（5分）解分式方程：＝+1．
22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若AB＝26，GN＝8，sin∠CAB＝，求线段AC的长．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与直线y＝3x平行，且过点A（2，7）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线l2与直线l1关于y轴对称，直线y＝m与直线l1，l2围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
24．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
c．测试成绩在70≤x＜80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．
d．小明的冬奥知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 ；
（3）序号为1﹣10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11﹣20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21﹣30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系；
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点；
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．
给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是 ；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点 的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2021年北京市东城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是全等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和俯视图都是全等的矩形，
故该几何体是一个柱体，
又∵左视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：D．
2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x3
【分析】把点（1，1）分别代入解析式判断即可．
【解答】解：A．x＝1，则y＝＝1；故函数y＝的图象过点（1，1）；
B．x＝1，则y＝x2＝1，故函数y＝x2的图象过点（1，1）；
C．x＝1，则y＝﹣x+1＝0≠1，故函数y＝﹣x+1的图象不过点（1，1）；
D．x＝1，则y＝x3＝1，故函数y＝x3的图象过点（1，1）；
故选：C．
3．（2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将475000000用科学记数法表示为4.75×108．
故选：B．
4．（2分）一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据平行线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故A符合题意；
∵AB与BF不平行，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠2＝45°，∠4＝30°，
∴∠1≠∠4，
故C不符合题意；
∵AF与ED不平行，
∴∠1≠∠5，
故D不符合题意；
故选：A．
5．（2分）如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可．
【解答】解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到．
选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．
故选：D．
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．a＜﹣b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
【分析】根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【解答】解：由图可知：a＜0＜c＜b，且|a|＜|b|，
∴A不符合题意；
a＞﹣b，B不符合题意；
a﹣b＜0，C符合题意；
ac＜0＜bc，D不符合题意；
故选：C．
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝2，OP＝4，则∠C等于（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，根据AO＝OB＝2，OP＝4，可得∠APO＝∠BPO＝30°，进而可得∠C的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵AO＝OB＝2，OP＝4，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝30°．
故选：B．
8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ）
A．60cm B．75cm C．100cm D．120cm
【分析】直接利用勾股定理得出斜边长，再利用相似三角形的性质得出相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm，40cm，
∴三角形的斜边长为：＝50（cm），
∵现要做一个与其相似的三角形木架，以60cm长的木条为其中一边，
∴当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：30：60＝1：2，
故设要做的三角形最长边长为：50×2＝100（cm）．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值等于 0 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x＝0且2x﹣1≠0．
解得x＝0．
故答案是：0．
10．（2分）分解因式：ma2﹣4mab+4mb2＝ m（a﹣2b）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（a2﹣2ab+4b2）＝m（a﹣2b）2．
故答案为：m（a﹣2b）2．
11．（2分）用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝ ﹣1 ，b＝ ﹣2 ．
【分析】举出一个反例：a＝﹣1，b＝﹣2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但是a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：﹣1、﹣2．（答案不唯一）
12．（2分）4月23日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为 ．
【分析】设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，根据“甲同学购买图书+乙同学购买图书＝22、甲同学购买图书＝2乙同学购买图书+1”列出方程组．
【解答】解：根据题意得到：．
故答案是：．
13．（2分）有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n）
“出现点数为1”的次数（频数（m）
频率
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 0.166 ．（精确到0.001）
【分析】利用频率估计概率的方法得出概率的估计值．
【解答】解：根据图表中数据可得出，“出现点数为1”的概率的估计值是0.166．
故答案为：0.166．
14．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 0 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出△＝4（m+1）2﹣4c＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+2（m+1）x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4（m+1）2﹣4c＝0，
∴（m+1）2＝c，
∵（m+1）2≥0，
∴c的最小值是0．
故答案为：0．
16．（2分）小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：
乘出租车
乘坐公交车
乘坐地铁
骑共享单车
共需步行（公里）
总用时（分钟）
费用（元）
方式1
√
2.0
47
4
方式2
√
56
3
方式3
√
1.6
78
3
方式4
√
1.8
80
3
方式5
√
√
1.5
60
6
方式6
√
√
1.6
56
6
方式7
√
√
1.7
55
6
方式8
√
√
1.5
57
6
方式9
√
0.2
32
41
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．
其中推断合理的是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据题目表格所给的9种出行方式的相应数据对选项进行逐一判断即可得 到答案．
【解答】解：①要使出行费用尽可能少，由表格数据可知，出行方式2、3、4的费用均为3元比其他6种出行方式费用都少，故此说法正确；
②出行方式1，出行时间47分钟，花费4元，对比较其他出行方式，出行时间最少，花费也较少，故此说法正确；
③由题意可知方式5、6、7、8为公交车和地铁混合出行方式，故平均出行时间＝出行总时间：4，即平均出行时间＝（60+56+55+57）÷4＝57，故此说法正确；
④题目未给出骑共享单车的时间和收费模式，无法计算，故此说法错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1+﹣|﹣1|﹣6sin45°．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3+2﹣1﹣6×
＝3+2﹣1﹣3
＝2﹣．
18．（5分）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【分析】当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝．然后根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当2x2﹣10x﹣1＝0时，x2﹣5x＝．
原式＝2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣5x
＝．
19．（5分）尺规作图：
如图，已知线段a，线段b及其中点．
求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段AC＝a；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是 平行四边形 ．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形 对角线垂直的平行四边形是菱形 （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作．
（2）∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
20．（6分）解不等式组：，并写出其中的正整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可．
【解答】解：，
由①得：x＜，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜，
则不等式组的正整数解为1．
21．（5分）解分式方程：＝+1．
【分析】解分式方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
【解答】解：，
x﹣1＝3﹣2x+x+2，
x+2x﹣x＝3+2+1，
2x＝6，
x＝3．
经检验，x＝3是原方程的根，
∴原方程的解为：x＝3．
22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若AB＝26，GN＝8，sin∠CAB＝，求线段AC的长．
【分析】（1）证AC∥GN，∠MEN＝90°，则四边形NEMG是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得EM＝GN＝8，∠EMG＝90°，再由锐角三角函数定义求出BM＝10，由勾股定理得AM＝24，则AE＝AM﹣EM＝16，然后证△BCM≌△DAE（AAS），得CM＝AE＝16，即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，GN⊥DF，
∴AC∥GN，∠MEN＝90°，
∵BG∥DF，
∴四边形NEMG是平行四边形，
又∵∠MEN＝90°，
∴四边形NEMG为矩形；
（2）由（1）得：四边形NEMG为矩形，
∴EM＝GN＝8，∠EMG＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝26，sin∠CAB＝＝，
∴BM＝10，
∴AM＝＝＝24，
∴AE＝AM﹣EM＝16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴∠BCM＝∠DAE，
∵∠BMC＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BMC＝∠DEA，
在△BCM和△DAE中，
，
∴△BCM≌△DAE（AAS），
∴CM＝AE＝16，
∴AC＝AM+CM＝24+16＝40．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与直线y＝3x平行，且过点A（2，7）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线l2与直线l1关于y轴对称，直线y＝m与直线l1，l2围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意直线l1：y＝kx+b（k≠0）中k＝3，把点A（2，7）代入即可求得b，从而求得直线l1的函数表达式；
（2）分两种情况，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
把点A（2，7）代入直线y＝3x+b中，得到7＝6+b，
解得b＝1，
∴直线l1的解析式为y＝3x+1；
（2））∵直线l2与直线l1关于y轴对称，
∴直线l2为y＝﹣3x+1，
画出函数图象如图，
结合图象，可得﹣4≤m＜﹣3或5＜x≤6时，区域W内恰有6个整点．
24．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝3，结合已知条件可得OE＝2，根据勾股定理可得OC＝，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OFC+∠COF＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF＝∠A，
∴∠A+∠OFC＝90°；
（2）解：∵∠COF＝∠A，
∴tanA＝tan∠COF＝＝，
∵OE⊥BC，
∴CE＝BE＝BC＝6＝3，
∴OE＝2，
∴OC＝＝＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE+∠OCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠OCE＝∠CFE，
∴sin∠OCE＝sin∠CFE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝．
25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
c．测试成绩在70≤x＜80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．
d．小明的冬奥知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 5 ；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 74 ；
（3）序号为1﹣10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11﹣20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21﹣30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系；
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 140 人．
【分析】（1）根据图a由大到小数即可得出结论；
（2）根据中位数的定义，可以得到结论；
（3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
（4）由图b可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，再乘总人数即可得出结论．
【解答】解：（1）小明的成绩是85，由a可知，小明位于第5名；
故答案为：5；
（2）∵抽取的人数为偶数，
∴中位数为中间两个数相加的一半；
∵40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100的人数分别为：3人，4人，5人，8人，7人，3人；
∴中位数是第15和第16个分数的平均数，
∴中位数为＝74，
故答案为：74；
（3）∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由a可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
（4）由图b可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，
∴420×＝140（人），
故答案为：140．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x＝a时，求y的值；
②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴x＝﹣，计算即可；
（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a，计算即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，即可得出x1的值．
（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；
（2）①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a
＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a
＝0；
②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，
∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，
∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝a﹣2；
（3）①当a≥﹣1时，
∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，
∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．
若x1＜x2＜a﹣1，
∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意；
若x1＜a﹣1＜x2，
∵a﹣1≥﹣2，
∴2（a﹣1）≥﹣4，
∵x1+x2＜﹣4，
∴x1+x2＜2（a﹣1）．
∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．
∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴y1＜y2，符合题意．
②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是a≥﹣1．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点；
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①证明PQ＝PA＝PB，可得结论．
②图形如图所示：结论：PC＝PA．证明∠APC＝90°，可得结论．
（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠PAQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．
②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，
∴AP＝AQ，∠PAN＝∠QAN＝30°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝PA，
∴PB＝PA，
∴PQ＝PA＝PB，
∴∠AQB＝90°．
②图形如图所示：结论：PC＝PA．
理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，
∴AQ＝QC，
∴PQ＝QC＝AQ，
∴∠CPA＝90°，
∴＝tan60°，
∴PC＝PA．
（2）①如图2中，连接BC，CQ．
∵A，C关于BQ对称，
∴BC＝BA，CQ＝AQ，
∵BQ＝BQ，
∴△BQC≌BQA（SSS），
∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，
∵∠APQ＝60°，
∴∠BPQ＝120°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B，P，Q，C四点共圆，
∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴∠PDQ＝120°，
∴∠DQP+∠DPQ＝60°，
∴∠CPQ＝60°﹣α．
②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．
理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．
∵∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴A，P，D，Q四点共圆，
∴∠PDT＝∠PQA＝60°，
∵DT＝DP，
∴△PDT是等边三角形，
∴PD＝PT，∠DPT＝∠QPA＝60°，
∴∠DPQ＝∠TPA，
∵PD＝PT，PQ＝PA，
∴△DPQ≌△TPA（SAS），
∴DQ＝TA，
∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，
∵A，C关于BQ对称，
∴DC＝AD，
∴CD＝DP+DQ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．
给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是 M1N1∥M2N2 ；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点 P1 的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【分析】（1）线段MN到正方形ABCD的“平移距离”的定义解决问题即可．
（2）如图2中，当M，N分别在AB，BC上时，d1存在最小值，最小值等于点B到MN的距离．
（3）当MN与BC重合时，BC的中点为K，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，当MN与AB重合时，AB的中点为T，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最大．
【解答】解：（1）由题意，M1N1∥M2N2，连接点P与点P1的线段的长度是等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．
故答案为：M1N1∥M2N2，P1．
（2）如图2中，当M，N分别在AB，BC上时，d1存在最小值，最小值等于点B到MN的距离．
∵A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，BC＝OB＝1，
∵E（+1，0），
∴EC＝1，
∴BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠OCB＝45°＝∠CBE+∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，
∵MN∥BE，
∴∠BNM＝∠CBE＝22.5°，
在Rt△BMN中，在BN上取一点T，使得BM＝BT，则∠BMT＝∠BTM＝45°，
∵∠BTM＝∠TMN+∠N＝45°，
∴∠N＝∠TMN＝22.5°，
∴TM＝TN，
设BM＝BT＝x，则TM＝TN＝x，
∵MN＝1，
∴x2+（x+x）2＝12，
∴x2＝，
∴点B到直线MN的距离＝＝x（x+x）＝（1+）x2＝．
（3）如图3中，
当MN与BC重合时，BC的中点为K，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，最小值＝PK＝2﹣，
当MN与AB重合时，AB的中点为T，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，最大值＝PT＝＝，
综上所述，2﹣≤d2≤．
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