2020年北京市密云区中考一模数学试题

这是一份2020年北京市密云区中考一模数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列四个角中，有可能与 70∘ 角互补的角是
A. B.
C. D.

2. 5G 是第五代移动通信技术，5G 网络下载速度可以达到每秒 1300000 KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需 1 秒．将 1300000 用科学记数法表示应为
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107

3. 下列各式计算正确的是
A. a3⋅a2=a6B. a5+a5=a10
C. −2a33=−8a9D. a−12=a2−1

4. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A.
科克曲线
B.
笛卡尔心形线
C.
赵爽弦图
D.
斐波那契螺旋线

5. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是

A. a−5>b−5B. −a>−bC. 6a>6bD. a−b>0

6. 如图，点 A，B 是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中 B 点的位置为
A. B1B. B2C. B3D. B4

7. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何?”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子?设上等稻子每捆打 x 斗谷子，下等稻子每捆打 y 斗谷子，根据题意可列方程组为
A. 3x+6=10y,5y+1=2xB. 3x−6=10y,5y−1=2xC. 3y+6=10x,5x+1=2yD. 3y−6=10x,5x−1=2y

8. 据统计表明，2019 年中国电影总票房高达 642.7 亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：
2014∼2019 年中国动画电影影片数量及票房统计表
年份国产动画影片数量单位:部国产动画影片票房单位:亿元进口动画影片数量单位:部进口动画影片票房单位:亿元
（以上数据摘自《中国电影产业市场前瞻与投资战略规划分析报告》）
根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确的是
A. 2017 年至 2019 年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量
B. 2019 年与 2018 年相比，中国动画电影的数量增加了 50% 以上
C. 2014 年至 2019 年，中国动画电影的总票房逐年增加
D. 2019 年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足 20%

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 请写出一个绝对值大于 2 的负无理数： ．

10. 若代数式 x+1x−3 有意义，则 x 的取值范围是 ．

11. 在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是 ．（写出所有正确答案的序号）
①圆柱；②圆锥；③直三棱柱；④球体．

12. 化简 a−b2a÷a−ba 的结果是 ．

13. 如图，AB 为 ⊙O 直径，点 C 为 ⊙O 上一点，点 D 为 AC 的中点，且 OD 与 AC 相交于点 E，若 ⊙O 的半径为 4，∠CAB=30∘，则弦 AC 的长度为 ．

14. 为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是 15 米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为 30∘，若亮亮身高 1.70 米，则无人机距离地面的高度约为 米．（结果精确到 0.1 米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

15. 为提升英语听力及口语技能，小明打算在手机上安装一款英语口语 APP 辅助练习．他分别从甲、乙、丙三款口语 APP 中随机选取了 1000 条网络评价进行对比，统计如下：
（说明：网上对于口语 APP 的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）．
小明选择 （填“甲”、“乙”或“丙”）款英语口语 APP，能获得良好口语辅助练习（即评价不低于四星）的可能性最大．

16. 如图 1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1．取 △ABC 和 △DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如图 2 中阴影部分；取 △A1B1C1 和 △D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2，如图 3 中阴影部分 ⋯⋯．如此下去，则正六角星形 AnFnBnDnCnEn 的面积为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−1+π+10−2cs60∘+9．

18. 解不等式组 5x−3≤2x+9,3x>x+102, 并写出它的所有整数解．

19. 下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：△ABC 中，AC>BC．
求作：∠ADB，使得 ∠ADB=2∠C．
作法：如图，
①分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧交于 M，N 点，作直线 MN；
②分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧交于 P，Q 点，作直线 PQ，MN 和 PQ 交于点 D；
③连接 AD 和 BD；
④以点 D 为圆心，AD 的长为半径作 ⊙D．
∴∠ADB=2∠C．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 CD．
∵MN 和 PQ 分别为 AC，AB 的垂直平分线，
∴CD=AD= ．
∴⊙D 是 △ABC 的外接圆．
∵ 点 C 是 ⊙D 上的一点，
∴∠ADB=2∠C．（ ）（填推理的依据）

20. 已知：关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m−1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）如果 m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘．CD⊥AB，AF 平分 ∠CAB，交 CD 于点 E，交 BC 于点 F．过点 F 作 FG⊥AB 交 AB 于点 G，连接 EG．
（1）求证：四边形 CEGF 是菱形；
（2）若 ∠B=30∘，AC=6，求 CE 的长．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x−1 的图象与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 A3,m．
（1）求 m，k 的值；
（2）点 PxP,0 是 x 轴上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 M，交反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记 y=kxx>0 的图象在点 A，N 之间的部分与线段 AM，MN 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 xP=5 时，直接写出区域 W 内的整点的坐标为 ；
②若区域 W 内恰有 6 个整点，结合函数图象，求出 xP 的取值范围．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 、点 D 为 ⊙O 上异于 A，B 的两点，连接 CD，过点 C 作 CE⊥DB，交 DB 的延长线于点 E，连接 AC，AD．
（1）若 ∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是 ⊙O 的切线．
（2）若 ⊙O 的半径为 5，tan∠BDC=12，求 AC 的长．

24. 2020 年新冠肺炎疫情发生以来，我市广大在职党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，A 社区有 500 名在职党员，为了解本社区 2 月 ∼3 月期间在职党员参加应急执勤的情况，A 社区针对执勤的次数随机抽取 50 名在职党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
次数x/次频数频率0≤x<1080.1610≤x<20100.2020≤x<3016b30≤x<40a0.24x≥4040.08
其中，应急执勤次数在 20≤x<30 这一组的数据是：
20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的 50 名在职党员参加应急执勤次数的中位数是 ；
（4）请估计 2 月 ∼3 月期间 A 社区在职党员参加应急执勤的次数不低于 30 次的约有 人．

25. 如图，点 O 是线段 AB 的中点，EF 是以 O 为圆心，EF 长为直径的半圆弧，点 C 是 EF 上一动点，过点 O 作射线 AC 的垂线，垂足为 D．已知 AB=10 cm，EF=6 cm，设 A，C 两点间的距离为 x cm，O，D 两点间的距离为 y1 cm，C，D 两点间的距离为 y2 cm．
小丽根据学习函数的经验，分别对函数 y1 和 y2 随自变量 x 变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到 y1 和 y2 与 x 的几组对应值：
经测量，m 的值是 （保留一位小数）；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1 和 x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接 OC，当 △ODC 是等腰三角形时，AC 的长度约为 cm（结果保留一位小数）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2−4ax+1a>0．
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）若当 1≤x≤5 时，y 的最小值是 −1，求当 1≤x≤5 时，y 的最大值；
（3）已知直线 y=−x+3 与抛物线 y=ax2−4ax+1a>0 存在两个交点，设左侧的交点为点 Px1,y1，当 −2≤x1<−1 时，求 a 的取值范围．

27. 已知 ∠MCN=45∘，点 B 在射线 CM 上，点 A 是射线 CN 上的一个动点（不与点 C 重合）．点 B 关于 CN 的对称点为点 D，连接 AB，AD 和 CD，点 F 在直线 BC 上，且满足 AF=AB．小明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD 始终成立．
（1）如图 1，当 0∘<∠BAC<90∘ 时．
①求证：AF⊥AD；
②用等式表示线段 CF，CD 与 CA 之间的数量关系，并证明；
（2）当 90∘<∠BAC<135∘ 时，直接用等式表示线段 CF，CD 与 CA 之间的数量关系是 ．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的任意一点 P，给出如下定义：经过点 P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点 P 的“特征线”．
例如：点 M1,3 的特征线是 y=x+2 和 y=−x+4．
（1）若点 D 的其中一条特征线是 y=x+1，则在 D12,2，D2−1,0，D3−3,4 三个点中，可能是点 D 的点有 ；
（2）已知点 P−1,2 的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与 x 轴相交于点 A，直线 y=kx+bk≠0 经过点 P，且与 x 轴交于点 B．若使 △BPA 的面积不小于 6，求 k 的取值范围；
（3）已知点 C2,0，Tt,0，且 ⊙T 的半径为 1．当 ⊙T 与点 C 的特征线存在交点时，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. C
4. A
5. B
6. B
7. A
8. C
第二部分
9. −5（答案不唯一）
10. x≠3
11. ②③
12. a+b
13. 43
14. 10.4
15. 乙
16. 14n
第三部分
17. 原式=2+1−2×12+3=3−1+3=5.
18.
5x−3≤2x+9, ⋯⋯①3x>x+102. ⋯⋯②
由 ① 得：
x≤4.
由 ② 得：
x>2.∴
不等式组的解集为
2 整数解有：3，4．
19. （1）
（2） BD；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半
20. （1） Δ=−22−4m−1=8−4m,
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴8−4m>0，m<2．
（2） ∵m 为非负整数，
∴m=0 或 m=1，
当 m=0 时，x2−2x−1=0，
∵Δ=8，此时方程的根不是整数，
∴m=0 舍去，
当 m=1 时，x2−2x=0，方程的两个根均为整数，
∴m=1．
21. （1） ∵CD⊥AB，FG⊥AB．
∴CD∥FG．
∴∠CEF=∠EFG．
∵AF 平分 ∠CAB，FC⊥AC，FG⊥AB，
∴FC=FG．
∵AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF．
∴∠CFE=∠EFG．
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF．
∴CE=FG 且 CE∥FG．
∴ 四边形 CEGF 是平行四边形．
∵FC=FG，
∴ 平行四边形 CEGF 是菱形．
（2） ∵Rt△ACF≌Rt△AGF，AC=6，
∴AG=AC=6．
∵∠B=30∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，AB=2AC=12．
∴BG=6．
∴ 在 Rt△FGB 中，tan30∘=FGBG=FG6=33．
∴FG=CE=23．
22. （1） m=2，k=6．
（2） ① 4,2；
②当 xP=1 时，与直线 l 的交点 M1,0，与反比例函数图象的交点 N1,6，
此时在 x=1 这条直线上有 5 个整点：1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，
∴0当 xP=6 时，与直线 l 的交点 M6,5，与反比例函数图象的交点 N6,1，
此时在 x=6 这条直线上有 3 个整点：6,2，6,3，6,4，
∴6综上所述：023. （1） 连接 OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠COB=2∠OAC，
∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，∠CED=90∘，
∴∠OCE=90∘，OC⊥CE，
∴CE 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴tan∠BAC=tan∠BDC=12，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCA=90∘，
∴BCAC=12，
设 BC=x，AC=2x，
∴AB=5x，
∵⊙O 的半径为 5，
∴5x=25，
∴x=2，
∴AC=2x=4．
24. （1） 12；0.32
（2）
（3） 23
（4） 160
25. （1） 3.0
（2）
（3） 2.4 或 6.6
26. （1） x=2
（2） ∵ 抛物线的对称轴是 x=2，
∴ 顶点在 1≤x≤5 范围内．
∵y 的最小值是 −1，
∴ 顶点坐标是 2,−1．
∵a>0，开口向上，
∴x>2 时，y 随 x 的增大而增大，
即 x=5 时，y 有最大值．
∴ 把顶点 2,−1 代入 y=ax2−4ax+1，
4a−8a+1=−1，a=12，
∴y=12x2−2x+1，
∴ 当 x=5 时，y=72，即 y 的最大值是 72．
（3） 当 x1=−2 时，P−2,5．
把 P−2,5 代入 y=ax2−4ax+1，
∴4a+8a+1=5，a=13．
当 x1=−1 时，P−1,4，
把 P−1,4 代入 y=ax2−4ax+1，
∴a+4a+1=4，a=35．
∴13≤a<35．
27. （1） ① ∵ 点 B 关于 CN 的对称点为点 D，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ACD=45∘，
∴∠BCD=90∘，
∵AF=AB，
∴∠ABC=∠AFB，
∴∠AFB=∠ADC，
∵∠AFB+∠AFC=180∘，
∴∠ADC+∠AFC=180∘，
在四边形 AFCD 中，∠FAD=90∘，
∴AF⊥AD．
② CD+CF=2AC．
过点 A 作 AC 边的垂线交 CB 延长线于点 P，
∴△APC 是等腰直角三角形，∠PAC=90∘，AP=AC，
∵∠PAF+∠FAC=∠DAC+∠FAC=90∘，
∴∠PAF=∠DAC，
∵∠AFB=∠ADC，
∴△APF≌△ACD，
∴PF=CD，
在等腰 Rt△APC 中，PF+CF=2AC，
∴CD+CF=2AC．
（2） CD−CF=2AC
28. （1） D2
（2） 设点 P−1,2 的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线是 y=−x+b，
∴1+b=2，b=1．
∴ 点 P−1,2 的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线是 y=−x+1．
∴A1,0．
∵△BPA 的面积不小于 6，
∴12⋅AB⋅2=6，AB=6．
∴B−5,0 或 B7,0．
当 y=kx+b 经过 P−1,2 和点 B−5,0 时，
−k+b=2,−5k+b=0, k=12；
当 y=kx+b 经过 P−1,2 和点 B7,0 时，
−k+b=2,7k+b=0, k=−14．
∴0 （3） 2−2≤t≤2+2．
【解析】