2020年北京市延庆区中考一模数学试题

这是一份2020年北京市延庆区中考一模数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为 0.00012 mm ，将 0.00012 用科学记数法表示为
A. 1.2×10−3B. 1.2×10−4C. 1.2×104D. 12×103

2. 下列各组图形中，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 成中心对称的是
A. B.
C. D.

3. 下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是
A. B.
C. D.

4. 若分式 1x+2 有意义，则 x 的取值范围是
A. x>−2B. x<−2C. x=−2D. x≠−2

5. 数轴上 A ， B ， C ， D 四点中，有可能在以原点为圆心，以 6 为半径的圆上的点是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

6. 如图所示， △ABC 中 AB 边上的高线是
A. 线段 DAB. 线段 CAC. 线段 CDD. 线段 BD

7. 下列实数中，无理数的个数是
① 0.333 ；② 17 ；③ 5 ；④ π ；⑤ 6.18118111811118⋯⋯
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 如图，在 ⊙O 中，点 C 在优弧 AB 上，将弧 BC 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．若 ⊙O 的半径为 5 ， AB=4 ，则 BC 的长是
A. 23B. 32C. 532D. 652

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 因式分解：a3−9a= ．

10. 如果 a+b=2，那么代数式 1+2ba−b⋅a−ba2+2ab+b2 的值是 ．

11. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若 ∠A=100∘，则 ∠1+∠2+∠3+∠4= ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 在边 BC 上， AE 与 BD 相交于 G ，若 AG:GE=3:1 ，则 EC:BC= ．

13. 把光盘、含 60∘ 角的三角板和直尺如图摆放， AB=2 ，则光盘的直径是 ．

14. 将含有 30∘ 角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75∘，若 OA=4，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为 ．

15. 如图，小明在 A 时测得某树的影长为 3 米，B 时又测得该树的影长为 12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米．

16. 小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有 3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对 3 家店铺顾客的满意度做了调查：
（说明：顾客对于店铺的满意度从高到低，依次为 3 个笑脸，2 个笑脸，1 个笑脸）
小明选择将 （填“A”、“B”或“C”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−3tan30∘−1−π0+∣1−3∣．

18. 解不等式组：x−1<3x−3,x≥x+52.

19. 关于 x 的一元二次方程 mx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的 m 的值，并求出此时方程的根．

20. 已知，如图，点 A 是直线 l 上的一点．
求作：正方形 ABCD，使得点 B 在直线 l 上（要求保留作图痕迹，不用写作法）．
请你说明，∠BAD=90∘ 的依据是什么?

21. 四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90∘，点 E 在边 AB 上，点 F 在 AD 的延长线上，且点 E 与点 F 关于直线 CD 对称，过点 E 作 EG∥AF 交 CD 于点 G，连接 FG，DE．
（1）求证：四边形 DEGF 是菱形；
（2）若 AB=10，AF=BC=8，求四边形 DEGF 的面积．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上的一点，点 D 是弧 BC 的中点，连接 AC，BD，过点 D 作 AC 的垂线 EF，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F．
（1）依题意补全图形；
（2）判断直线 EF 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（3）若 AB=5，BD=3，求线段 BF 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A2,4 向下平移 2 个单位得到点 C，反比例函数 y=mxm≠0 的图象经过点 C，过点 C 作 CB⊥x 轴于点 B．
（1）求 m 的值；
（2）一次函数 y=kx+bk<0 的图象经过点 C，交 x 轴于点 D，线段 CD，BD，BC 围成的区域（不含边界）为 G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① b=3 时，直接写出区域 G 内的整点个数．
②若区域 G 内没有整点，结合函数图象，确定 k 的取值范围．

24. 为了发展学生的数学核心素养，培养学生的综合能力，某市开展了初三学生的数学学业水平测试．在这次测试中，从甲、乙两校各随机抽取了 30 名学生的测试成绩进行调查分析．
收集数据：
甲校948277767788908885868889849287888053899191866875948476698392乙校836491887192889286617891849292747593825786898994838481947290
整理、描述数据：
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 80 分及以上为优秀，60∼79 分为合格，60 分以下为不合格）
分析数据：
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学校平均数中位数众数甲校83.48688乙校83.2
（1）请你补全表格；
（2）若甲校有 300 名学生，估计甲校此次测试的优秀人数为 ；
（3）可以推断出 校学生成绩的比较好，理由为 ．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，AB=5 cm，点 P 是弦 AB 上的一个定点，点 C 是弧 AB 上的一个动点，连接 CP 并延长，交 ⊙O 于点 D．
小明根据学习函数的经验，分别对 AC，PC，PD 长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程．
（1）对于点 C 在弧 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AC，PC，PD 的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置
在 AC，PC，PD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；
（2）请你在同一平面直角坐标系 xOy 中，画（1）中所确定的两个函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①当 PC=PD 时，AC 的长度约为 cm；
②当 △APC 为等腰三角形时，PC 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3aa≠0 过点 A1,0．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）直线 y=−x+4 与 y 轴交于点 B，与该抛物线的对称轴交于点 C，现将点 B 向左平移一个单位到点 D，如果该抛物线与线段 CD 有交点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．

27. 如图 1，在等腰直角 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE．把 △ADE 绕点 A 逆时针方向旋转 α0∘<α<360∘，如图 2．
（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图 3 中，画出当 α=45∘ 时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时 △CBE 的面积；
（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在 △ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段 AM 的最小值是 ．

28. 对于平面内的点 P 和图形 M，给出如下定义：以点 P 为圆心，以 r 为半径作 ⊙P，使得图形 M 上的所有点都在 ⊙P 的内部（或边上），当 r 最小时，称 ⊙P 为图形 M 的 P 点控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B2,2．
（1）已知点 D1,0，正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点控制半径为 r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l:y=3x+b；若存在正方形 OABC 的 F 点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. D
5. A
6. C
7. C
8. B【解析】连接 OD ， AC ， DC ， OB ， OC ，作 CE⊥AB 于 E ， OF⊥CE 于 F ，如图，
∵D 为 AB 的中点，
∴OD⊥AB ，
∴AD=BD=12AB=2 ，
在 Rt△OBD 中， OD=52−22=1 ，
∵ 将 BC 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．
∴AC 和 CD 所在的圆为等圆，
∴AC=CD ，
∴AC=DC ，
∴AE=DE=1 ，
易得四边形 ODEF 为正方形，
∴OF=EF=1 ，
在 Rt△OCF 中， CF=52−12=2 ，
∴CE=CF+EF=2+1=3 ，
而 BE=BD+DE=2+1=3 ，
∴BC=32 ．
第二部分
9. aa+3a−3
10. 12
11. 280∘
12. 2:3
13. 43
14. 22,−22
【解析】
15. 6
【解析】如图，因为 ∠CDF=∠FDE=∠CFE=90∘，
所以 ∠CFD+∠DFE=90∘，∠DCF+∠DFC=90∘．
所以 ∠DFE=∠DCF．
所以 △DFE∽△DCF．
所以 DFDC=DEDF．
所以 DF2=DE⋅DC=36．
所以 DF=6 米．
16. C
【解析】美容店A的平均满意度为：53×3+28×2+19×1100=2.34；
美容店B的平均满意度为：50×3+40×2+10×1100=2.4；
美容店C的平均满意度为：65×3+26×2+9×1100=2.56．
∵2.34<2.4<2.56，
∴ 小明选择将C美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．
第三部分
17. 23−2
18. x≥5．
19. （1） ∵ 一元二次方程 mx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4mx×−1=4+4m>0 且 m≠0，
解得：m>−1 且 m≠0．
（2） ∵ 方程的两个根都是有理数，
∴b2−4ac 的值是有理数即可，
令 b2−4ac=4+4m=4，解得：m=3，
此时方程为：3x2+2x−1=0，
解得：x1=−1，x2=13．
20. 如图所示，正方形 ABCD 即为所求；
由尺规作图可知，AE=AF，EH=FH，
又 ∵AH=AH，
∴△AEH≌△AFHSSS，
∴∠EAH=∠FAH，
∵∠EAH+∠FAH=180∘，
∴∠EAH=∠FAH=90∘，即 ∠BAD=90∘．
21. （1） 连接 EF．
∵ 点 E 与点 F 关于直线 CD 对称，
∴CD 是 EF 的垂直平分线，
∴DE=DF，GE=GF，∠EDG=∠FDG，
∵EG∥AF，
∴∠FDG=∠EGD，
∴∠EDG=∠EGD，
∴DE=GE，
∴DE=DF=GE=GF，
∴ 四边形 DEGF 是菱形．
（2） 连接 CF，CE．
∵∠A=∠B=90∘，
∴∠A+∠B=180∘，
∴AF∥BC，
又 ∵AF=BC=8，
∴ 四边形 ABCF 是矩形，
∴CF=AB=10，
∵CD 是 EF 的垂直平分线，
∴CE=CF=10，
∴BE=102−82=6，
∴AE=10−6=4，
设 DF=DE=x，则 AD=8−x，
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得：42+8−x2=x2，
解得：x=5，即 DF=5，
∴ 四边形 DEGF 的面积 =DF⋅AE=5×4=20．
22. （1） 如图所示．
（2） 直线 EF 是 ⊙O 的切线；
理由：如图，连接 BC，OD 交于点 H，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠E=90∘，
∴BC∥EF，
∵ 点 D 是弧 BC 的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥EF，
∴ 直线 EF 是 ⊙O 的切线．
（3） 如图，
∵AB=5，BD=3，
∴OB=OD=52，
设 OH=x，则 DH=52−x，
在 Rt△OHB 中，由勾股定理得：BH2=522−x2，
在 Rt△BHD 中，由勾股定理得：BH2=32−52−x2，
∴522−x2=32−52−x2，
解得：x=710，
∴OH=710，DH=95，
∵O 是 AB 中点，H 是 BC 中点，
∴AC=2OH=75，
易证四边形 HCED 是矩形，则 CE=DH=95，
∴AE=165，
∵BC∥EF，
∴ACAE=ABAF，即 75165=55+BF，
∴BF=457．
23. （1） 将点 A2,4 向下平移 2 个单位得到点 C，则 C2,2，
将 C2,2 代入 y=mx，得 m=xy=4．
（2） ① 1 个．
②由图 1 可知，
当直线 CD 过点 3,1 时，区域 G 内恰好没有整点，
代入 C2,2 和 3,1 得：2k+b=2,3k+b=1, 解得：k=−1,b=4,
∴ 若区域 G 内没有整点，k 的取值范围为：k≤−1．
【解析】①当 b=3 时，一次函数 y=kx+b 过点 0,3，如图 1 所示，由图象可得，区域 G 内的整点为 3,1，只有一个．
24. （1） 由收集数据可知：乙校成绩在 70≤x≤79 范围内的有 5 人，在 80≤x≤89 范围内的有 12 人，
乙校学生成绩按从低到高排序后第 15，16 名学生的成绩分别为：86，86，
故乙校学生成绩的中位数为：86+862=86，
乙校学生成绩中，92 分的学生有 4 人，人数最多，故乙校学生成绩的众数为：92；
补全表格如下：
学校平均数中位数众数甲校83.48688乙校83.28692
（2） 220
【解析】300×15+730=220（人），
答：甲校此次测试的优秀人数为 220 人．
（3） 乙；甲校和乙校的中位数相同，但是乙校的众数大于甲校的众数，说明乙校学生的成绩比较好
【解析】乙校学生的成绩比较好；理由：甲校和乙校的中位数相同，但是乙校的众数大于甲校的众数，说明乙校学生的成绩比较好．
25. （1） AC
【解析】由于 PC 和 PD 随着 AC 的变化而变化，
∴ 确定 AC 的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数．
（2） 函数图象如图所示．
（3） 2.9；0.69 或 1 或 0.8
【解析】①由函数图象得：当 PC=PD 时，AC 的长度约为 2.9 cm；
② ∵ 当 AC=0 时，点 A 和点 C 重合，此时 PC=1 cm，
∴AP=1 cm，
当 AP=AC=1 cm 时，由表格得，PC=0.69 cm；
当 AP=PC=1 cm 时，则 PC=1 cm；
当 AC=PC 时，如图，由函数图象得，PC≈0.8 cm．
综上所述，PC 的长度约为 0.69 cm 或 1 cm 或 0.8 cm．
26. （1） 把 1,0 代入 y=ax2+bx+3a 得：0=a+b+3a，
∴b=−4a，
∴ 抛物线的对称轴为 x=−b2a=2．
（2） 由（1）可知，抛物线解析式为 y=ax2−4ax+3a=ax−1x−3，对称轴为 x=2，
∴ 抛物线过点 1,0，3,0．
当 x=2 时，y=−x+4=2，
∴C2,2．
当 a<0 时，如图．
由该抛物线与线段 CD 有交点可得：当 x=2 时，y=ax2−4ax+3a≥2，
即 4a−8a+3a≥2，解得：a≤−2；
当 a>0 时，由题意得：B0,4，
∴D−1,4，如图．
由该抛物线与线段 CD 有交点可得：当 x=−1 时，y=ax2−4ax+3a≥4，
即 a+4a+3a≥4，解得：a≥12．
综上所述，a 的取值范围为 a≤−2 或 a≥12．
27. （1） CE=BD；
理由：连接 CE 和 BD，如图 2 所示，
由题意可知，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，
∵∠EAD=∠CAB=90∘，
∴∠EAC=∠DAB，
又 ∵AE=AD，AC=AB，
∴△AEC≌△ADBSAS，
∴CE=BD．
（2） 当 α=45∘ 时，连接 CE 和 BE，如图所示，延长 AD 交 BC 于 F，
∵α=45∘，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，
∴∠BAF=∠CAF=∠EAC=45∘，
∴AF=BF=CF，∠EAB=135∘，
∴∠EAB+∠ABC=135∘+45∘=180∘，
∴AE∥BC，
∵BC=32+32=32，
∴AF=12BC=322，
∴S△CBE=12BC⋅AF=12×32×322=92.
（3） 1
【解析】如图 4，当点 M 不在 AC 上时，取 AC 中点 G，连接 GM，
∵M 是 CDʹ 的中点，
∴GM=12ADʹ=12AD=12，
当点 M 在 AC 上时，由 M 是 CDʹ 的中点可得 GM=12，
∴ 在 △ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，点 M 在以 G 为圆心，12 长为半径的圆上，
∴ 当点 M 与点 E 重合时 AM 取最小值，此时 AM=AE=1．
28. （1） <
【解析】由题意得：r1=BD=CD=12+22=5，
r2=AC=22+22=22，
∴r1 （2） 如图所示，圆 O 和圆 B 分别是以 O，B 为圆心，以 OB 长为半径的圆，
当直线 l:y=3x+b 与圆 O 相切于点 M 时，连接 OM，可得 OM 与直线 l 垂直，
则直线 OM 的解析式为 y=−33x，
设 Mx,−33x，
∵OM=OB，
∴OM=x2+−33x2=22+22，
∴x=−6 或 x=6（舍去），
∴M−6,2．
将 −6,2 代入 y=3x+b 得 2=3×−6+b，
解得 b=42，
当直线 l:y=3x+b 与圆 B 相切于点 N 时，连接 BN，
同理可求出此时 b=2−23−42．
∴b 的取值范围为 2−23−42