2020北京市西城区九年级第二次模拟测试数学试卷

这是一份2020北京市西城区九年级第二次模拟测试数学试卷，共16页。

数学试卷
2020.6
1. 本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题。满分100 分。考试时间120 分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考
生
须
知
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）
第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2.中国国家航天局2020 年4 月24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为
“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”. 火星具有与地球十分相近的环境，
与地球最近的时候距离约5 500 万千米，将5 500 用科学记数法表示为
（A）0.5510
4
（B）5.510
3
（C）5.510
2
（D）5510
2
3.图1 是某个几何体的平面展开图，该几何体是
（A）
（B）
（C）
（D）
图 1
4.下列运算中，正确的是
 
2
（A）aa
2
 a
3
（B）a
6
 a
2
 a
3
（C） 2a
2
 a
2
 2 （D） 3a
2
 6a
4
九年级模拟测试 数学试卷 第1 页（共8 页）

5.如图，实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
a  3
（B）1  b  0
（C）a  b
（D）a  b  0
（A）
A
6.如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则 BC 的长为
（A） 2
（B）2 2
（D）4
O
（C）2 3
B
C
7.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），
S 与t 之间的函数关系如图所示．若他早上8 点从家出发，
汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是
．．．
（A）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10 分钟
（B）汽车一共行驶了60 千米的路程，上午9 点5 分
到达植物园
S (千千)
C
60
30
A B
（C）加油后汽车行驶的速度为60 千米/时
（D）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
0
25 35
65 t (分)
8.张老师将自己2019 年10 月至2020 年5 月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：
① 2019 年10 月至2020 年3 月通话时长统计表
时间
10 月
11 月
12 月
1 月
2 月
3 月
时长（单位：分钟）
520
530
550
610
650
660
② 2020 年4 月与2020 年5 月，这两个月通话时长的总和为1100 分钟
根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为
（A）550
（B）580
（C）610
（D）630
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
1
x  2
9.若代数式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．
10.因式分解：
a3  a ＝_______．
九年级模拟测试 数学试卷 第2 页（共8 页）

11.如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点，若△ADE 的面积为 1，则△ABC 的
面积等于______．
y
A
D
A
C
D
E
x
E
O
B
B
C
A
B
F
第 11 题图
第 12 题图
第 13 题图
12.如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点 F 在 AB 的延长线上，则∠CBF 的度数是__．
k
13.如图，双曲线 y  与直线 y＝mx 交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（2，3），则点 B 的
x
坐标为_______．
14.如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽
为 50 cm 的大矩形，设每个小矩形的长为 x cm，宽为 y cm，
则可以列出的方程组是______．
15.某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄
分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图：
互联网行业从业人员年龄分布统计图
90 后从事互联网行业岗位分布图
技术
运运
市市
41%
19%
90后56%
15%
80前
12%
8%
产产
设计
80后41%
其其
5%
对于以下四种说法，你认为正确的是
(写出全部正确说法的序号) ．
① 在当地互联网行业从业人员中，90 后人数占总人数的一半以上
② 在当地互联网行业从业人员中，80 前人数占总人数的 13%
③ 在当地互联网行业中，从事技术岗位的 90 后人数超过总人数的 20%
④ 在当地互联网行业中，从事设计岗位的 90 后人数比 80 前人数少
16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任
意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球
是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中.
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色
是
.
（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有
个球.
九年级模拟测试 数学试卷
第 3 页（共 8 页）

三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，
28 题，每小题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算： 12  (  2020)
0
 3tan 30  3 1 .
x
2x
3x  3
18.解方程：
1 
．
x 1
19.已知关于 x 的一元二次方程
x2  (2k 1)x  2k  0 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于 2，求 k 的取值范围．
20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边
的距离相等”的尺规作图过程：
A
已知：△ABC.
B
C
求作：点 D，使得点 D 在 BC 边上，且到 AB，AC 边的距离相等.
作法：如图，
作∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D.
则点 D 即为所求.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明.
证明：作 DE⊥AB 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F，
∵AD 平分∠BAC，
∴
=
(
) (填推理的依据) .
21.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90，D 为 AB 的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
E
C
（2）连接 DE，若 AC = 2 3 ，BC =2，
求证：△ADE 是等边三角形．
B
A
D
九年级模拟测试 数学试卷
第 4 页（共 8 页）

22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指
标 x ， ，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取
y
20
人作为调查对象，
将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：
指指y
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
指指x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
注“●”表示患者，“▲”表示非患者.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这 40 名被调查者中，
y
0.4 的有
① 指标 低于
人；
② 将 20 名患者的指标 x 的平均数记作 x1 ，方差记作
2
s ，20 名非患者的指标 x 的平
1
均数记作 x2 ，方差记作
s
2
2
，则
x1
（2）来该院就诊的 500 名未患这种疾病的人中，估计指标 x 低于 0.3 的大约有
0.8
x2 ， s1
2
s2
2
(填“>”，“=”或“<”) ；
人；
（3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标 低于
y
”作为判断是否患有这种疾病的依据，则
发生漏判的概率是
.


23. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，且CD =CB ，连接 OC，BD，OD.
D
（1）求证：OC 垂直平分 BD；
C
（2）过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，
连接 AD，CD.
A
B
O
① 依题意补全图形；
3
② 若 AD=6，sin AEC  ，求 CD 的长.
5
九年级模拟测试 数学试卷
第 5 页（共 8 页）

24.如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，D 是 AB 边上一动点，连接 CD 交 AE
于点 P，连接 BP．已知 AB = 6 cm，设 B，D 两点间的距离为 x cm，B，P 两点间的距离为
y cm，A，P 两点间的距离为 y cm.
1
2
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y ，y 随自变
1
2
量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，
分别得到了 y ， y 与 x 的几组对应值：
1
2
x/cm
y1/cm
y2/cm
0
1
2
3
4
5
6
2.49
4.59
2.64
4.24
2.88
3.80
3.25
3.25
3.80
2.51
4.65
6.00
0.00
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x， y )，并画出函数 y ， y 的图象；
1
2
2
（3）结合函数图象，回答下列问题：
① 当 AP=2BD 时，AP 的长度约为
② 当 BP 平分∠ABC 时，BD 的长度为
cm；
cm.
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第 6 页（共 8 页）

m
25.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y  （ x  0）的图象 G 与直线l：y  kx  4k 1交于
x
点 A（4，1），点 B（1，n）（n≥4，n 为整数）在直线 l 上．
（1）求 m 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线 l 围成的区域（不含边界）为 W．
① 当 n = 5 时，求 k 的值，并写出区域 W 内的整点个数；
② 若区域 W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求 k 的取值范围．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y  x2 +bx  c 与x轴交于点A，B（A在B的左侧），
抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD.
（1）当b  2 时，
① 写出抛物线的对称轴；
② 求抛物线的表达式；
b  2
（2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线l ：y
 x 
和抛物线交于点 P，Q，且点 P，
2
Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围.
27. 在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE >DE），AE，BD 交于点 F.
（1）如图 1，过点 F 作 GH⊥AE，分别交边 AD，BC 于点 G，H.
求证：∠EAB =∠GHC；
（2）AE 的垂直平分线分别与 AD， AE， BD 交于点 P，M，N，连接 CN.
① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．
A
G
D
A
D
F
F
E
E
B
C
B
H
C
图 1
备用图
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第 7 页（共 8 页）

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F，给出如下定义：若在图形 F 上存在一点
N，使得点 Q，点 P 关于直线 ON 对称，则称点 Q 是点 P 关于图形 F 的定向对称点.
（1）如图， A(1，0) ， B(1，1) ， P(0，2) ，
① 点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是
；
② 在点C(0， 2) ， (1， 3) 
， E(2，1)
中，

是点 P 关于线段 AB
D
的定向对称点.
3
（2）直线l：y 
x  b 分别与 x 轴，y 轴交于点 G，H，⊙M 是以点 M (2，0) 为圆心，
3
r(r  0) 为半径的圆.
① 当 r 1时，若⊙M 上存在点 K，使得它关于线段 GH 的定向对称点在线段 GH 上，
求b 的取值范围；
② 对于b  0，当 r  3时，若线段 GH 上存在点 J，使得它关于⊙M 的定向对称点
在⊙M 上，直接写出 b 的取值范围.
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第 8 页（共 8 页）

北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试
数学试卷答案及评分标准
2020.6
一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
D
A
C
B
D
B
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
x  2
a(a 1)(a 1)
9．
10.
11. 4
12．72
13. （-2，-3）
14. x y 50,

x 4y
15．①③
16．（1）红 （2）20．
三、解答题（本题共68 分，第17－22 题，每小题5 分，第23－26 题，每小题6 分，第27，
28 题，每小题7 分）
17．解： 12  (  2020)0  3 tan 30  3 1
3
=2 3 1 3
 3 1
3
=2 3 ．··············································································································· 5 分
18．解：方程两边乘以3(x  1) ，得
3x 3(x 1)  2x ．
3
解得 x =
.
4
3
4
检验：当x =
时，3(x  1)  0 ．
所以，原分式方程的解为 x= 3
.
4
······························································································································ 5 分
九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准 第1 页（共8 页）

19．解：（1）依题意，得△=[-(2k + ]
2
4 1 2k ．
- ´ ´
1)
(
- )2
= 2k 1 ．
1 ≥0 ，
(2k - )2
∵
∴ 方程总有两个实数根．
(2k 1)
+
 (2k -1)2
（2）解：由求根公式，得x =
，
2
x1 =2k ， x
=1．
∴
2
∵ 该方程有一个根大于2，
∴ 2k >2．
∴ k >1．
∴ k 的取值范围是k >1．····································································· 5 分
20．解：（1）如图.
A
B
C
D
（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等.
··························································································································· 5 分
21．证明：（1）∵ AE∥DC，CE∥DA，
∴ 四边形ADCE 是平行四边形．
E
C
∵ 在Rt△ABC 中， D 为AB 的中点，
∴ AD = BD =CD = 1
AB ．
2
B
A
D
∴ 四边形ADCE 是菱形．
（2）在Rt△ABC 中，AC = 2 3 ，BC =2，
BC
AC
3
∴ tanCAB 

．
3
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∴ ∠CAB=30．
∵ 四边形ADCE 是菱形．
∴ AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60．
∴ △ADE 是等边三角形．······································································· 5 分
22．解：（1）① 9 .
② < ，> .
（2）100 .
（3）0.25 .
··························································································5 分


23．（1）证明：∵ CD = CB
D
C
∴ ∠COD =∠COB．
∵ OD = OB，
∴ OC 垂直平分BD．
F
A
O
B
E
（2）解：① 补全图形，如图所示.
② ∵ CE 是⊙O 切线，切点为C，
∴ OC⊥CE 于点C．
记OC 与BD 交于点F，由（1）可知 OC 垂直BD，
∴ ∠OCE =∠OFB = 90°．
∴ DB∥CE．
∴∠AEC =∠ABD．
3
在Rt△ABD 中，AD =6，sinAEC  sin ABD  ，
5
∴ BD = 8，AB = 10．
∴ OA = OB = OC =5．
由（1）可知 OC 平分BD，即DF = BF，
∴ BF =DF =4．
1
∴OF = AD = 3．
2
∴ CF = 2．
在Rt△CFD 中，CD = CF2 + DF2 = 2 5 ．
······················································································6 分
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24．解：（1）
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1 /cm
y2 /cm
1.50
（2）画出函数y1 的图象；
（3） ① 1.93；
② 3．····························································································6 分
m
25．解：（1）∵点A（4，1）在函数y  （x  0 ）的图象G 上，
x
y
∴ m = 4．
（2）①y  kx  4k 1
，经过点B（1，5），
B
7
∴ k  4k 1  5．
6
5
4
3
2
1
B
4
解得 k   ．
3
此时区域W 内有2 个整点．
A
②∵ 直线l y  kx  4k 1
O
1
2
3
4
5
6
7
x
过定点A（4，1），
当区域W 内有4 个整点时，
九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准 第4 页（共8 页）

此时直线l：y  kx 4k 1
．
经过点B（1，6），
5
可得k   ．
3
当区域W 内有5 个整点时，此时直线l：y  kx 4k 1
经过点B（1，7），
可得 k  2 ．
5
∴ k 的取值范围是2 ≤k <  ．·········································6 分
3
26．解：（1）当b  2 时，y
① x  1．

x
2
 bx  c 化为
y  x  2x  c ．
2
② ∵ 抛物线的对称轴为直线x  1，
∴ 点D 的坐标为（-1，0 ），OD=1．
∵ OB=2OD，
∴ OB=2．
∵ 点A，点B 关于直线x  1对称，
∴ 点B 在点D 的右侧．
∴ 点B 的坐标为（2 ，0 ）．
∵ 抛物线y  x
∴ 4 
2
 2x  c 与x 轴交于点B（2 ，0 ），
4

c 
0 ．
解得 c  8 ．
∴ 抛物线的表达式为y  x  2x 8 ．
2
b  2
（2）设直线y
∴ E（

x 
与x 轴交点为点E，
2
b  2
，0）．
2
b
抛物线的对称轴为x
 
，
2
∴ 点D 的坐标为（ b
， ）
0
2
b  2
∴ E（
，0）．
2
b
① 当 b  0 时，OD  ．
2
九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准 第5 页（共8 页）

∵ OB=2OD，
∴ OB= b．
∴ 点A 的坐标为（2b ，0 ），点B 的坐标为（b，0 ）．
b  2
b  2
当2b < 
时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线 ：
l
y  x 
2
2
和抛物线交于点P，Q，且点P，Q 均在x 轴下方，
2
解得 b 
．
3
y
y
4
4
3
2
1
3
2
1
A
E D
B
x
A
E
D
O
B
-1
O
1
-1
1
-1
-2
-3
-1
-2
-3
②当 b  0 时，b  0 ．
b
∴ OD   ．
2
∵ OB=2OD，
∴ OB= -b．
∵ 抛物线y  x +bx  c 与x 轴交于点A，B，且A 在B 的左侧，
2
∴ 点A 的坐标为（0 ，0 ），点B 的坐标为（-b，0 ）．
b  2
b  2
当0 < 
l
y  x 
时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线 ：
2
2
和抛物线交于点P，Q，且点P，Q 均在x 轴下方，
解得 b<-2．
2
综上，b 的取值范围是 b  2 或b 
.······································ 6 分
3
九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准 第6 页（共8 页）

27．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD = 90°，
∴ ∠AGH =∠GHC．
A
G
D
∵ GH⊥AE，
F
E
∴ ∠EAB =∠AGH．
∴ ∠EAB =∠GHC．
（2）① 补全图形，如图所示．
② AE  2CN ．
B
C
D
H
证明：连接AN，连接EN 并延长，交AB 边于点Q．
A
P
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 点A，点C 关于BD 对称．
∴ NA =NC，∠1 =∠2．
1
M
F
E
∵ PN 垂直平分AE，
4
∴ NA =NE．
∴ NC =NE．
∴ ∠3 =∠4．
Q
B
N
3
2
C
在正方形ABCD 中，BA∥CE，∠BCD = 90°，
∴∠AQE =∠4．
∴∠1+∠AQE =∠2+∠3 =90°．
∴∠ANE =∠ANQ =90°．
在Rt△ANE 中，
∴ AE  2CN ． ····························································7 分


28．解：（1） ① 2, 0 ；
② C，D．
（2） ① 由题意，b  0 ，
若b  0 ，
4 3
3
当直线l 与以点
2, 0 为圆心，1 为半径的圆相切时，
b 

．
3
当直线l 经过点
1, 0 时，


．
b
3
九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准 第7 页（共8 页）

3
4 3
3
∴
≤b ≤
．
3
若b  0 ，
3


 
当直线l 经过点 1, 0 时，
b
．
3


b  2 3 ．
当直线l 与以点 0, 0 为圆心，3 为半径的圆相切时，
3
∴2 3 ≤b ≤
．
3
3
3
4 3
2 3 ≤b ≤

或
≤b ≤
．
综上，b 的取值范围是
3
3
3
3
10 3
3
≤b≤
. ···························································7
分
②
3
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