2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）下列函数中，是二次函数的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）已知在中，，，，那么的长为　　

A． B． C． D．

3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过点，那么根据图象，下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）以下说法错误的是　　

A．如果，那么 

B．如果，那么 

C．如果为非零向量），那么 

D．如果是与非零向量同方向的单位向量，那么．

5．（4分）已知与的半径分别是6和8，圆心距，那么与的位置关系是　　

A．相交 B．内切 C．外切 D．内含

6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，她上半身的长度为，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果，那么　　．

8．（4分）化简：　　．

9．（4分）抛物线在对称轴的右侧部分是　　的（填“上升”或“下降” ．

10．（4分）将抛物线向下平移1个单位，那么所得抛物线与轴的交点的坐标为　　．

11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为　　．

12．（4分）在中，点、分别在边、上，且，如果，那么　　．

13．（4分）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么　　．

14．（4分）如果港口的南偏东方向有一座小岛，那么从小岛观察港口的方向是　 　．

15．（4分）正六边形的边心距与半径的比值为　 　．

16．（4分）如图，在中，，点在边上，且，那么　　．

17．（4分）如图，在中，，，，点在边上，的半径为1．如果与边和边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．

18．（4分）如图，在中，，，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在射线上的点处，点落在点处，射线与边相交于点，那么　　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为的中点，联结并延长，交边于点．设，．

（1）填空：向量　　；

（2）填空：向量　　，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．

（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

21．（10分）如图，是的外接圆，长为4，，联结并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点．求：

（1）边的长；

（2）的半径．

22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）．

（1）求路段的长（结果保留根号）；

（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）．

23．（12分）如图，点为边上一点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且．

（1）求证：；

（2）如果，求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点，使点关于坐标原点的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点叫做这条抛物线的回归点．

（1）已知点在抛物线上，且点的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；

（2）已知点为回归抛物线的顶点，如果点是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与轴交于点．联结并延长，交该抛物线于点，点是射线上一点，如果，求点的坐标．

25．（14分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），联结，过点作，交的延长线于点，联结，与对角线、边分别交于点、．设，．

（1）求证：，并求的正切值；

（2）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；

（3）联结，当与相似时，求的值．

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）下列函数中，是二次函数的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；

、，不是二次函数，故此选项不合题意；

、是二次函数，故此选项符合题意；

、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；

故选：．

2．（4分）已知在中，，，，那么的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，

，

，

故选：．

3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过点，那么根据图象，下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线开口向上，

，故错误；

，，

，故错误；

，，

，故错误；

图象经过点，

，故正确；

故选：．

4．（4分）以下说法错误的是　　

A．如果，那么 

B．如果，那么 

C．如果为非零向量），那么 

D．如果是与非零向量同方向的单位向量，那么．

【解答】解：、如果，那么，故本选项符合题意．

、如果，那么，故本选项不符合题意．

、如果为非零向量），那么与方向相同，则，故本选项不符合题意．

、如果是与非零向量同方向的单位向量，那么，故本选项不符合题意．

故选：．

5．（4分）已知与的半径分别是6和8，圆心距，那么与的位置关系是　　

A．相交 B．内切 C．外切 D．内含

【解答】解：因为，圆心距，

所以，

所以两圆内切．

故选：．

6．（4分）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，她上半身的长度为，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？　　

A． B． C． D．

【解答】解：一位女士身高为，她上半身的长度为，

她下半身的长度为，

设鞋跟高为厘米时，她身材显得更为优美，

根据题意得，

解得．

经检验为原方程的解，

所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．

故选：．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果，那么　　．

【解答】解：，

．

故答案为：．

8．（4分）化简：　　．

【解答】解：原式．

故答案是：．

9．（4分）抛物线在对称轴的右侧部分是　下降　的（填“上升”或“下降” ．

【解答】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

在轴右侧，随增大而减小，

其图象在轴右侧部分是下降，

故答案为：下降．

10．（4分）将抛物线向下平移1个单位，那么所得抛物线与轴的交点的坐标为　　．

【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线的图象向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为，

令，则．

所以所得抛物线与轴的交点的坐标为．

故答案是：．

11．（4分）已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长之比为　　．

【解答】解：两个相似三角形的相似比为，

它们的周长比等于相似比，即：．

故答案为．

12．（4分）在中，点、分别在边、上，且，如果，那么　　．

【解答】解：如图，

，

，

，

，

故答案为：．

13．（4分）在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么　　．

【解答】解：作轴于点，如右图所示，

点，

，，，

，

，

即，

故答案为：．

14．（4分）如果港口的南偏东方向有一座小岛，那么从小岛观察港口的方向是　北偏西　．

【解答】解：如图，，

从小岛观察港口的方向是北偏西．

故答案为：北偏西．

15．（4分）正六边形的边心距与半径的比值为　　．

【解答】解：设正六边形的半径是，则外接圆的半径，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，则可知正六边形的边心距与半径的比值为．

16．（4分）如图，在中，，点在边上，且，那么　　．

【解答】解：，，

，

．

故答案为：．

17．（4分）如图，在中，，，，点在边上，的半径为1．如果与边和边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．

【解答】解：在中，，，，

，

当与相切时，设切点为，如图，

连接，

则，

，

，

，

，

，

，

，

线段长的取值范围是，

故答案为：．

18．（4分）如图，在中，，，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在射线上的点处，点落在点处，射线与边相交于点，那么　　．

【解答】解：如图，过点作于点，

将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在射线上的点处，

，

，

，

，

，

，

设，则，

，

解得，

，，

，

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

【解答】解：原式

．

20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为的中点，联结并延长，交边于点．设，．

（1）填空：向量　　；

（2）填空：向量　　，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．

（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【解答】解：（1），，．

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

．

故答案为：．

（2），

，

，

，

．

在向量和方向上的分向量分别为和．

故答案为：．

21．（10分）如图，是的外接圆，长为4，，联结并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点．求：

（1）边的长；

（2）的半径．

【解答】解：（1）点为的中点，为直径，

，

，

即垂直平分，

；

（2）连接，如图，

，

为等边三角形，

，

，

，

在中，，

，

，

即的半径为．

22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点处，离地面的铅锤高度为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）．

（1）求路段的长（结果保留根号）；

（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段的长（结果保留根号）．

【解答】解：（1）由题意，，

，

，

（米．

（2）如图，过点作于，于．

由题意，，

设米，则米，

，

四边形是矩形，

米，米，米，

在中，，

，

解得，

（米，（米，

（米．

23．（12分）如图，点为边上一点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且．

（1）求证：；

（2）如果，求证：．

【解答】证明：（1），

，

设，

，，

，，

，

又，

，

，

，

，

；

方法，

，

又，

，

，

，

，

；

（2），，

，

，，

，

，

，

．

24．（12分）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点，使点关于坐标原点的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点叫做这条抛物线的回归点．

（1）已知点在抛物线上，且点的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；

（2）已知点为回归抛物线的顶点，如果点是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与轴交于点．联结并延长，交该抛物线于点，点是射线上一点，如果，求点的坐标．

【解答】解：（1）抛物线是回归抛物线，

理由如下：点在抛物线上，

，

点，

点关于坐标原点的对称点，

当时，，

点在抛物线上，

抛物线是回归抛物线；

（2）点为回归抛物线的顶点，

点，

点关于原点的对称点，

点是这条抛物线的回归点，

，

，

抛物线解析式为：；

（3）抛物线，

对称点为，

点，点，

直线解析式为，

联立方程组，

，，

点，

在和中，，，

，

，

，

，

，

．

25．（14分）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），联结，过点作，交的延长线于点，联结，与对角线、边分别交于点、．设，．

（1）求证：，并求的正切值；

（2）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；

（3）联结，当与相似时，求的值．

【解答】解：（1），，

，

在与中，

，

，

，

，

（2）由（1）可知，

四边形是矩形，

，

，

，

，

可得：；

（3），，，，

，

，

，

若与相似，则有两种情况，

第一种：

，

，

，

即，

解得：，

第二种：

，

，

，

即，

解得：．

综上所述，的值为或1.5．

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日期：2021/12/13 14:08:14；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125