2020年广东省广州市白云区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省广州市白云区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −9 的倒数是
A. 19B. −19C. 9D. −9

2. 如图所示的几何体左视图是
A. B.
C. D.

3. 一组数据：3，4，5，6，6．这组数据的众数是
A. 3B. 4C. 5D. 6

4. 一个角是 60∘，则它的余角度数为
A. 30∘B. 40∘C. 90∘D. 120∘

5. 下列运算正确的是
A. 4a−a=4B. a2⋅a3=a5
C. a33=a6D. a15÷a3=a5a≠0

6. 已知一个正多边形的每个外角都等于 72∘，则这个正多边形是
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形

7. 如图，已知等边 △ABC 的内切圆 ⊙O 半径为 3，则 AB 的长为
A. 33B. 35C. 63D. 65

8. 用一条 7 米长的铝材（厚度忽略不计）制成一个面积为 3 平方米的矩形窗框，设窗框一边长为 x 米，下列方程正确的是
A. x7−x=3B. x7−2x=3
C. x3.5+x=3D. x3.5−x=3

9. 下列命题中，是假命题的是
A. 直线 y=x−5 不经过第二象限
B. 垂直于弦的直径平分弦
C. 抛物线 y=x2−3x−4 与 x 轴有两个交点
D. 对角线相等的四边形是矩形

10. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 → 密文（加密），接收方由密文 → 明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（见如图），如字母 Q 与数字序号 0 对应，当明文中的字母对应的序号为 a 时，将 a+7 除以 26 后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X”对应密文“W”．按上述规定，将密文“TKGDFY”解密成明文后是
A. DAISHUB. TUXINGC. BAIYUND. SHUXUE

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 比较大小：2 −3（填写“>”，“<”，“=”）．

12. 代数式 2xx−3 有意义时，x 应满足的条件为 ．

13. 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 ∠BAD=83∘，则 ∠BCD 的度数是 ∘．

14. 从 1∼5 这五个整数中随机抽取两个连续整数，恰好抽中数字 4 的概率是 ．

15. 已知 △ABC 为等腰直角三角形，斜边 AB=2，将 △ABC 浇轴 AB 旋转一周，可得到一个立体图形，则该立体图形的表面积是 （结果保留 π）．

16. 如图，△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=12BC=a，点 D 在边 AC 上运动（不与点 A，C 重合），以 BD 为边作正方形 BDEF，使点 A 在正方形 BDEF 内，连接 EC，则下列结论：
① △BCD≌△ECD；
②当 CD=2AD 时，∠ADE=30∘；
③点 F 到直线 AB 的距离为 a；
④ △CDE 面积的最大值是 38a2．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式：23x+6>1−x，并在数轴上表示解集．

18. 如图，点 A，B，C，D 在一条直线上，AB=DC，AF∥DE，AF=DE．求证：EB=FC．

19. 已知 A=4a4a2−b2−12a+b4a2≠b2．
（1）化简 A；
（2）若 a 的 2 倍比 b 小 5，求 A 的值．

20. 新冠肺炎疫情发生后，为支援疫情防控，某企业研发 14 条口罩生产线，生产普通防护口罩和普通 N95 口罩，现日总产量达 170 万只．已知每条生产线可日产普通防护口罩 15 万只或普通 N95 口罩 5 万只．
（1）将 170 万用科学记数法表示为 ；
（2）这 14 条生产线中，生产普通防护口罩和普通 N95 口罩的生产线分别有多少条?

21. 为了解“停课不停学”期间，学生对线上学习方式的偏好情况，某校随机拍取 40 名学生进行问卷调查，其统计结果如表：
最喜欢的线上学习方式没人最多选一种人数直播10录播a资源包5线上答疑8合计40
（1）a= ；
（2）若将选取各种“最喜欢的线上学习方式”的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“直播对应扇形的圆心角度数；
（3）根据调查结果估计该校 10000 名学生中，最喜欢“线上答疑”的学生人数；
（4）在最喜欢“资源包”的学生中，有 2 名男生，3 名女生．现从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生介绍学习经验，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．

22. 如图，已知在 △ABC 中，AB=AC．
（1）试用直尺和圆规在 AC 上找一点 D，使 AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接 BD，若 BD=BC，求 ∠A 的度数．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P−3,1，点 A 的坐标为 0,−3，BD⊥y 轴于点 E，反比例函数 y=m+2x 的图象经过点 P．
（1）求 m 的值；
（2）若将矩形 ABCD 向下平移 n 个单位，使点 B 落在反比例函数 y=m+2x 的图象上，求 n 的值；
（3）求 cs∠PAD 的值．

24. 某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决．
（1）【数学理解】
点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，则 PA:PB 的值为 ．
（2）【拓展延伸】
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，点 C6,0，点 Q 在 x 轴上，且 QO:OC=1:2，则点 Q 的坐标为 ；
（2）经小组探究发现，如图，延长线段 DE 到点 F，使 EF=13DE，以点 F 为圆心，2EF 长为半径作圆，则对于 OF 上任一点 T，都有 TD=2TE，请你证明这个结论．
（3）【问题解决】
如图，某人乘船以 25 千米/时的速度沿一笔直的河 l 从码头 G 到码头 M，再立即坐车沿一笔直公路以 75 千米/时的速度回到住处 H，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河 l 边上确定码头 M 的位置（请画出示意图并简要说明理由）．

25. 已知抛物线 G:y=x2−2tx+3 （ t 为常数）的顶点为 P．
（1）求点 P 的坐标；（用含 t 的式子表示）
（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象 H，点 Am,n1 在图象 H 上，点 Bm,n2 在抛物线 G 上，对于任意的实数 m，都有点 A，B 关于点 m,m 对称．
①当 t=1 时，求图象 H 对应函数的解析式；
②当 1≤m≤t+1 时，都有 n1>n2 成立，结合图象，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】−9 的倒数是 −19．
2. B【解析】图中几何体的左视图如下图所示：
3. D【解析】在这组数据中 6 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 6．
4. A【解析】它的余角度数为：90∘−60∘=30∘．
5. B
【解析】A．4a−a=3a，故本选项不合题意；
B．a2⋅a3=a5，故本选项符合题意；
C．a33=a9，故本选项不合题意；
D．a15÷a3=a12，故本选项不合题意．
6. A【解析】这个正多边形的边数：360∘÷72∘=5．
7. C【解析】连接 AO，BO，AO 的延长线交 BC 于 H，如图．
∵△ABC 为等边三角形，等边 △ABC 内切圆为 ⊙O，
∴AH 平分 ∠BAC，BO 平分 ∠ABC，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠CAB=∠ABC=60∘，AH⊥BC，
∴∠OBH=30∘，CH=BH=12AB．
在 Rt△BOH 中，
∵tan∠OBC=OHBH=tan30∘，OH=3，
∴BH=333=33．
∴AB=2BH=63．
8. D【解析】设窗框一边长为 x 米，则相邻一边的长为 3.5−x 米，
依题意，得：x3.5−x=3．
9. D【解析】A、直线 y=x−5 经过第一、三、四象限，不经过第二象限，本选项说法是真命题；
B、垂直于弦的直径平分弦，本选项说法是真命题；
C、 Δ=−32−4×1×−4=25>0，
∴ 抛物线 y=x2−3x−4 与 x 轴有两个交点，是真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题；
故选：D．
10. C
【解析】T 对应的数字是 4，
∴ 明文的序号为：26×1+4−7=23，
23 对应的字母是 B；
K 对应的数字是 17，
∴ 明文的序号为：26×0+17−7=10，
10 对应的字母为：A；
G 对应的数字为：14，
∴ 明文的序号为：26×0+14−7=7，
7 对应的字母为：I，
D 对应的数字为：12，
∴ 明文的序号为：26×0+12−7=5，
5 对应的字母为：Y；
F 对应的数字为：13，
∴ 明文的序号为：26×0+13−7=6，
6 对应的字母为：U；
Y 对应的数字为：5，
∴ 明文的序号为：26×1+5−7=24，
24 对应的字母为：N；
∴ 密文“TKGDFY”解密成明文后是“BAIYUN”．
第二部分
11. >
【解析】由题意，得 2>−3．
12. x>3
【解析】由 2xx−3 有意义可知 x−3≠0，x−3≥0，
∴x≠3，x≥3，
∴x>3．
13. 97
【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∵∠BAD=83∘，
∴∠BCD=180∘−∠BAD=180∘−83∘=97∘．
14. 12
【解析】根据题意画树状图如下：
则所有等可能的情况有 4 种，其中恰好抽中数字 4 的情况有 2 种．
∴ 恰好抽中数字 4 的概率是 24=12．
15. 22π
【解析】作 CF⊥AB，
由题意知，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=2，
∴AC=BC=22=2，CF=12AB=1，
以 CF 为半径的圆的周长 =2π×1=2π，
得到的几何体表面积为：12×2πAC+BC=12×2π×22=22π．
16. ②③④
【解析】如图所示，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，过点 E 作 EG⊥CA 延长线于点 G．
∵ 四边形 BDEF 为正方形，
∴BD=DE=EF=BF，∠FBD=∠BDE=∠BFE=90∘，
在 △BCD 与 △ECD 中有 BD=ED，CD=CD，
而无法得到 BC=EC 或 ∠EDC=∠BDC，
∴△BCD 与 △ECD 不一定全等，故①错误；
∵∠BAC=90∘，AB=12BC=a，
sin∠ACB=ABBC=12BCBC=12，即 ∠ACB=30∘，
tan∠ACB=tan30∘=ABAC=aAC=33，
∴AC=3a，又 CD=2AD，
∴AD=13AD+CD=13AC=33a，
∴tan∠ADB=ABAD=a33a=3，
∴∠ADB=60∘，又 ∠BDE=∠ADB+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=90∘−∠ADB=90∘−60∘=30∘，故②正确；
∵FH⊥AB，
∴∠FHB=90∘，∠HFB+∠HBF=90∘，
又 ∠FBD=∠HBF+∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠HFB，
在 △FHB 与 △BAD 中有：
∠HFB=∠ABD,∠FHB=∠BAD=90∘,BF=DB,
∴△FHB≌△BADAAS，
∴FH=BA=a，
∴F 到直线 AB 的距离为 FH=a，故③正确；
∵EG⊥CA，∠EGD=90∘，
∴S△CDE=12CD×EG，
∵∠BDE=∠ADB+∠GDE=90∘，∠GED+∠GDE=90∘，
∴∠GED=∠ADB，
在 △EGD 与 △DAB 中有：
∠GED=∠ADB,∠EGD=∠DAB=90∘,DE=BD
∴△EGD≌△DABAAS，
∴EG=AD，
∴AC=AD+CD=EG+CD=BC2−AB2=2a2−a2=3a，
∴AD=EG=3a−CD，
设 CD=x，则 AD=EG=3a−x，
S△CDE=12x3a−x=−12x2+32ax=−12x2−3ax=−12x−32a2+38a2.
∴ 关于 x 的二次函数图象开口向下，
当 x=CD=32a，时 S△CDE 取最大值为 38a2．
∴△CDE 面积最大值是 38a2，故④正确．
∴ 其中正确的结论是②③④．
第三部分
17. 移项，得
23x+x>1−6.
合并同类项，得
53x>−5.
系数化为 1，得
x>−3.
此不等式的解集在数轴上表示如下：
18. ∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+CB，即 AC=DB，
∵AF∥DE，
∴∠A=∠D，
∵△ACF 和 △DBE 中，
AF=DE，∠A=∠D，AC=DB，
∴△ACF≌△DBESAS，
∴EB=FC．
19. （1） A=4a4a2−b2−12a+b=4a2a+b2a−b−2a−b2a+b2a−b=4a−2a−b2a+b2a−b=4a−2a+b2a+b2a−b=2a+b2a+b2a−b=12a−b.
（2） 依题意，得 2a−b=−5，代入 A=12a−b，
得 A=1−5=−15．
20. （1） 1.7×106
（2） 设这 14 条生产线中有普通防护口罩生产线 x 条，普通 N95 口罩的生产线 y 条．
根据题意得：
x+y=14,15x+5y=170,
解得：
x=10,y=4.
答：这 14 条生产线中有普通防护口罩生产线 10 条，普通 N95 口罩的生产线 4 条．
21. （1） 17
【解析】a=40−10+5+8=17．
（2） “直播”所占扇形圆心角度数为：1040×360∘=90∘．
答：“直播”所占扇形圆心角度数为：90∘．
（3） 最喜欢“线上答疑”的学生人数：840×1000=200．
答：估计该校最喜难“线上答疑”的学生人数为 200 人．
（4） 设最喜欢“资源包”的学生中，将男生记为 A1，A2，女生记为 B1，B2，B3．
由树状图可知，共有 20 种等可能的结果，其中恰好一男一女的有 A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,B1，A2,B2，A2,B3，B1,A1，B1,A2，B2,A1，B2,A2，B3,A1，B3,A2，共 12 种．
∴ 恰好抽得一男一女的概率为：1220=35．
22. （1） 如图所示：
（2） 设 ∠A=x，
∵AD=BD，
∴∠DBA=∠A=x，
在 △ABD 中，
∠BDC=∠A+∠DBA=2x，
又 ∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x，
又 ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x，
在 △ABC 中，
∠A+∠ABC+∠C=180∘，
∴x+2x+2x=180∘，
∴x=36∘．
23. （1） 把点 P−3,1 代入 y=m+2x，得 1=m+2−3，
解得 m=−5．
（2） ∵P−3,1，A0,−3，BD⊥y 轴于点 E，
∴E0,1，PE=3，EA=1−−3=4，
由勾股定理，得 PA=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴PB=PA=5，
∴ 点 B 的横坐标为 −3+5=2，
由 m=−5，知反比例函数的解析式为 y=m+2x=−3x，
当 x=2 时，y=−32，
∴ 下移的距离 n=1−−32=52．
（3） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴PD=PA=5，∠PAD=∠PDA，
∴ 点 D 的横坐标为：−3−5=−8，
∴D−8,1，
∵A0,−3，E0,1，
∴DE=8，EA=4，
由勾股定理，得 DA=45，
∴cs∠PAD=cs∠PDA=DEDA=845=255．
24. （1） 1
【解析】∵ 点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，
∴PA=PB，
∴PA:PB=1．
（2） （1）−3,0 或 3,0；
（2）如图，连接 TF．
∵EF=13DE，DF=EF+DE，
∴DF=4EF，
∵⊙F 的半径为 2EF，
∴TF=2EF，
∴EFTF=12．
∴TFDF=2EF4EF=12，
∴EFTF=TFDF．
∵∠EFT=∠TFD，
∴△EFT∽△TFD，
∴ETTD=TFDF=12．
∴TD=2TE．
【解析】（1）∵C6,0，
∴OC=6．
∵QO:OC=1:2，
∴QO=12．
∴ 点 Q 的坐标为 −3,0 或 3,0．
（3） 如图，在线段 GH 上作点 I，使 GI=14GH．
在线段 HG 的延长线上作点 J，使 JG=12GH．
以 IJ 的中点 K 为圆心，KJ 为半径作 ⊙K，
则 ⊙K 与河边 l 的交点为所求点 M 的位置．
简要理由：
由于水路速度为陆路速度的 13，且时间相等，
∴ 水路的距离必为陆路距离的 13，
即需 GMHM=13，连接 KM，同（3）可证，
∵GI=14GH，JG=12GH，
∴JG=2GI，
∴KIKG=3，
∴KMKG=3，同理可得 KHKM=3，
∴KHKM=KMKG，
又 ∵∠MKG=∠HKM，△KMG∽△KHM，
由此，得 GMHM=KMKH=13．
25. （1） y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=x−t2−t2+3.
∴ 顶点 P 的坐标为 t,−t2+3．
（2） ①当 t=1 时，得 G 的解析式为：y=x2−2x+3，
点 Bm,n2 在 G 上，
∴n2=m2−2m+3，
∵ 点 Am,n1 与点 B 关于点 m,m 对称，则点 A，B 到点 m,m 的距离相等，此三点横坐标相同，有 n2−m=m−n1．
∴m2−2m+3−m=m−n1，
整理，得 n1=−m2+4m−3，
由于 m 为任意实数，令 m 为自变量 x，n1 为 y .
即可得 H 的解析式为：y=−x2+4x−3；
②关于抛物线 G 的性质：
点 Bm,n2 在 G 上，
∴n2=m2−2tm+3，
由 G:y=x2−2tx+3，知
抛物线 G 开口向上，对称轴为 x=t，顶点 Pt,−t2+3，且图象恒过点 0,3 .
∴ 当 t≤x≤t+1 时，图象 G 的 y 随着 x 的增大而增大.
当 x=t+1 时，y 取最大值 −t2+4；当 x=t 时，y 取最小值 −t2+3；最大值比最小值大 1 .
关于图象 H 的性质：
∵ 点 Am,n1 与点 B 关于点 m,m 对称，
有 n2−m=m−n1，
m2−2tm+3−m=m−n1，
整理，得 n1=−m2+2tm+2m−3．
∴ 图象 H 的解析式为：yH=−x2+2tx+2x−3 .
配方，得 yH=−x−t+12+t2+2t−2
∴ 图象 H 为一抛物线，开口向下，对称轴为 x=t+1，顶点 Pt+1,t2+2t−2，且图象恒过点 0,−3 .
∴ 当 t≤x≤t+1 时，图象 H 的 y 随着 x 的增大而增大.
当 x=t+1 时，y 取最大值 t2+2t−2；当 x=t 时，y 取最小值 y=t2+2t−3，即过 Qt,t2+2t−3；最大值比最小值大 1．
情况 1：当 P，Q 两点重合，即两个函数恰好都经过 t,t，t+1,t+1 时，把 t,t 代入 y=x2−2tx+3 得 t=t2−2t⋅t+3，
解得，t=−1+132 或 t=−1−132．分别对应图 3，图 4 两种情形，
由图可知，当 m=t，或 m=t+1 时，A 与 B 重合，即有 n1=n2，不合题意，舍去；
情况 2：当点 P 在点 Q 下方，即 t>−1+132 时，大致图象如图 1，
当 t<−1−132 时，大致图象如图 2，
都有点 A 在点 B 的上方，即 n1>n2 成立，符合题意；
情况 3：当点 P 在点 Q 上方，即 −1−132当 t≤m≤t+1 时，
存在 A 在 B 的下方，即存在 n1综上所述，所求 t 的取值范围为：t>−1+132 或 t<−1−132．