广东省广州市番禺区2022年九年级中考数学一模试题及答案

 九年级中考数学一模试题

一、单选题

1．实数2022的相反数是（　　）

A．2022 B．-2022 C． D．

2．如图，，，则∠2的度数为（　　）．

A．100° B．110° C．120° D．150°

3．下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） 

A． B． C． D．

4．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为（　　） 

A．   B． C． D．

5．下列运算正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

6．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数是（　　）．

A．100° B．90° C．120° D．80°

7．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，随机取出两个球，取出1个黑球1个白球的概率是（　　）．

A． B． C． D．

8．已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ，若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是（　　）

A． B．

C． D．

9．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米

10．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题

11．分解因式： 　           　

12．分式方程的解为　     　．

13．点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)　                                　.     

14．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为　     　．

15．已知一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则　     　（填“”或“”或“”）．

16．如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为　     　．

三、解答题

17．解不等式组：

18．如图，已知 ， ， 与 相交于点O，求证： .

19．先化简，再求值：，其中．

20．第24届冬季奥林匹克运动会于2月20日在北京圆满闭幕，这是新冠肺炎疫情发生以来首次如期举办的全球综合性体育盛会，中国队取得奖牌榜历史最好成绩．某中学开展以“我最喜欢的冬奥会项目”为主题的调查活动，围绕“在冰壶、花样滑冰、自由式滑雪、短道速滑四种奥运项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占参加问卷调查人数的20%．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生有多少名？

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢自由式滑雪的学生约有多少名？

21．如图，在中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过点C．

（1）求k的值及直线OB的函数表达式；

（2）试探究此反比例函数的图象是否经过的中心．

22．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且．

（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若，且，．判断的形状，并说明理由，再求出其面积．

23．如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（），，垂足为E，以OE为半径的分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．

（1）求证：BC是的切线；

（2）若G是OF的中点，，．

①求HE的长；

②求AD的长．

24．在 中， ，将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A，C的对应点分别为点 ， . 

（1）如图1，当点 落在 的延长线上时，求 的长； 

（2）如图2，当点 落在 的延长线上时，连接 ，交 于点M，求 的长； 

（3）如图3，连接 ，直线 交 于点D，点E为 的中点，连接 .在旋转过程中， 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由. 

25．如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 . 

（1）填空： 　     　；  

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若 ，求点P的坐标；  

（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时，直接写出 的长.  

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】(x+y)(x-y)

12．【答案】x=6

13．【答案】如－1等（答案不唯一，负数即可）

14．【答案】2π

15．【答案】<

16．【答案】

17．【答案】解：解不等式得．

解不等式得．

∴原不等式组的解集是．

18．【答案】证明：

∵ ，

∴ （AAS），

∴ ，

∴ .

19．【答案】解：原式=

=，

=，

当时，原式=．

20．【答案】（1）解：12÷20%=60名．

答：在这次调查中，参与问卷调查的学生有60名．

（2）解：60-16-24-12=8名．

补全条形统计图如下：

（3）解：24÷60=40%，40%×1200=480名．

答：该校最喜欢自由式滑雪的学生约有480名．

21．【答案】（1）解：将点C（1，2）代入，得k=2，

∴，

∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），C（1，2），

∴OABC，OA=BC=3，

∴点B的坐标为（4，2），

设直线OB的解析式为y=mx，得4m=2，

解得m=，

∴直线OB的解析式为y=x；

（2）解：∵O（0，0），B（4，2），

∴的中心的坐标为（2，1），

当x=2时，，

∴此反比例函数的图象经过的中心．

22．【答案】（1）解：如图，AF平分∠CAD；

（2）解：△BEF为等边三角形．

∵，且，

∴∠CAD=30°，∠BAC=15°，

∵AE=CE，，

∴BE=AE=AC，

∴∠ABE=∠BAC=15°，

∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°，

又∵AF平分∠CAD，AC=AD，

∴CF=DF，

又∵AE=EC，

∴EF=AD=AC，EFAD，

∴∠CEF=∠CAD=30°，

∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°，

又∵BE=EF=AC，

∴为等边三角形，

∴．

23．【答案】（1）证明：如下图所示，过点O作OM⊥BC于M．

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠CBD．

∴OB平分∠EBM．

∵OE⊥AB，OM⊥BC，

∴OE=OM．

∴点M在上．

∴BC是的切线．

（2）解：①如下图所示，连接HE．

∵G是OF的中点，OG=2，

∴OF=2OG=4．

∵OE，OH，OF都是的半径，

∴OE=OH=OF=4．

∴EG=OG+OE=6．

∵四边形ABCD是菱形，

∴．

∴∠OGH+∠OEB=180°．

∵OE⊥AB，

∴∠OEB=90°．

∴∠OGH=180°-∠OEB=90°．

∴．

∴．

②如下图所示，过点D作DN⊥BC于N，设AD=x．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=x，，即．

∴∠OBE=∠ODG，∠OEB=∠OGD．

∴．

∴．

∴BE=2DG．

∵DG=1，

∴BE=2．

∵DN⊥AB，OE⊥AB，

∴，即，．

∴四边形DNEG是平行四边形．

∴四边形DNEG是矩形．

∴NE=DG=1，DN=EG=6．

∴AN=AB-NE-BE=x-3．

∴．

解得．

∴．

24．【答案】（1）解：在 中， . 

根据旋转性质可知 ，即 为等腰三角形.

∵ ，即 ，

∴ ，

∴ .

（2）解：如图，作 交 于点D，作 交 于点E. 

由旋转可得 ， .

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， .

∵ ，即 ，

∴ .

在 中， ，

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ ，即 ，

∴

（3）解：如图，作 且交 延长线于点P，连接 . 

∵ ，

∴ ，

∵ ，即 ，

又∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ .

∴在 和 中   ，

∴ ，

∴ ，即点D为 中点.

∵点E为AC中点，

∴DE为 的中位线，

∴ ，

即要使DE最小， 最小即可.

根据图可知 ，即当点 三点共线时 最小，且最小值为 .

∴此时 ，即DE最小值为2

25．【答案】（1）-4

（2）解：由（1）可得抛物线解析式为： ，  

当x=0时，y=3，

∴A的坐标为（0，3），

当y=3时得 ，

解得x1=0，x2=4，

∴点B的坐标为（4，3），

∵ ，

∴顶点D的坐标为（2，-1），

设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G，

∴tan∠ACH= tan∠OAC= ，

根据勾股定理可得BC= ，CD= ，BD= ，

∴BD= ，

∴∠BCD=90°，

∴tan∠CBD= ，

∴∠ACH=∠CBM，

∵∠HCB=∠BCM=45°，

∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB，

即∠ACB=∠CMD，

Q在CD上方时：若 ，则Q与M点重合，

∵ 中，令y=0，解得：x=1或3，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），

即此时P的坐标为（3，0）；

Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N，

可得：AB=4，BC= ，AC= ，设CN=x，则BN= -x，

在△ABC中， ，

即 ，解得：x= ，

∴cos∠ACN= = ，

设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得：

，解得： ，

∴直线BD的表达式为y=2m-5，

令y=0，则x= ，即点M（ ，0），

设点Q坐标为（a，2a-5），

则QK=5-2a，CM= ，QM= ，

∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD，

∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM= ,

∴cos∠CQD=cos∠ACB= ,

∴QL= ，QM= ，CL= ，

在△CQM中， ，

即 ，解得：KQ= ，

∴CK= ,

∴Q（ ， ），

设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，

，解得： ，

则CQ表达式为： ，联立：

，解得 ，

即点P坐标为（ ， ），

综上：点P的坐标为（3，0）或（ ， ）；

（3）解：设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′， 

∴R（3，1），设C′（p，q），

由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，

直线BD表达式为：y=2x-5，

直线BC的表达式为：y=x-1，

令-3x+3=2x-5，解得：x= ，则y= ，

∴点N′（ ， ），

∵点C和C′关于直线BD对称，

∴CR=C′R= BD= ，CN′=C′N′= ，

则有 ， ，

即 ，

①-②得： ③，代入①，

解得： 或0（舍），代入③中，得： ，

解得： ，即点C′（ ， ），

∵N′（ ， ），

求得直线C′N′的表达式为： ，

∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，

∴点F（7，0），

又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，

可得∠BCF=45°=∠BCG，

∴∠FCG=90°，

∴CG=CF=6,

∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），

∴AG的长为 .