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2020年广东省广州市黄埔区中考一模数学试卷
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这是一份2020年广东省广州市黄埔区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是
A. a>bB. a=bC. a0
2. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于
A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换
3. 某公司全体职工的月工资如下：
月工资元18000120008000600040002500200015001200人数1总经理2副总经理34102022126
该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115，公司的普通员工最关注的数据是
A. 平均数B. 平均数和众数
C. 平均数和中位数D. 中位数和众数
4. 下列计算正确的是
A. a2+2a2=3a4B. 2a23=6a6
C. a+b2=a2+b2D. a+2a−2=a2−4
5. 如图，AB∥CD，点 E 在 AD 上，AB=AE，若 ∠B=70∘，则 ∠D 的度数为
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘
6. 不等式组 x−1>3,2−2x<4 的解集是
A. x>−1B. x>4C. −1
7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D，E 都是圆上的点，则 ∠C+∠D 等于
A. 60∘B. 75∘C. 80∘D. 90∘
8. 若函数 y=x2−2x−m 与 x 轴没有交点，则一次函数 y=m+1x+m−1 的图象不经过第 象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
9. 如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，DE 平分 ∠BDC，交 BC 于 E，DE 的垂直平分线分别交 AB，BD，DE，DC 于点 F，G，H，L，交 BC 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论错误的是
A. ∠LKB=22.5∘B. GE∥AB
C. S△BGE:S△BDC=1:4D. tan∠BGF=CKLC
10. 在同一直角坐标系中，二次函数 y=ax2a>0 与反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象上有三个不同的点 Ax1,m，Bx2,m，Cx3,m，其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为
A. mB. mC. a⋅m2D. km
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x−1x=0 的解为 ．
12. 如图，AB∥CD，∠ABD 的平分线与 ∠CDB 的平分线交于点 E，则 ∠1+∠2 的度数为 ．
13. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 DC 的中点，若 OE=3，则菱形的周长为 ．
14. 关于 x 的一元二次方程 x2−2x−m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是 ．
15. 若函数 y=x2+bx−5 的对称轴为直线 x=2，则关于 x 的方程 x2+bx−5=2x−13 的解为 ．
16. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，过点 O 作 OC⊥OA，OC 交于 AB 于 P，且 CP=CB，已知 ∠BAO=25∘，OA=2．下列结论：
① BC 是 ⊙O 的切线；
② ∠AQB=65∘；
③ △CBP 与 △ABQ 相似；
④ AQB 的长为 239π．
正确的是 （写出正确结论的序号）．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：6x+1=3x+1+4．
18. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别交于点 E，F．求证：△AOE≌△COF．
19. 已知 T=a2a−b−b2−2abb−a .
（1）化简 T；
（2）若点 Ma,b 在一次函数 y=x+3 的图象上，求 T 的值.
20. 为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“中华植物园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率是多少?
21. 某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元）0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元?
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B0,4 ，等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把 △OAB 沿 y 轴向上平移 a 个单位长度，对应得到 △OʹAʹBʹ ．当这个函数的图象经过 △OʹAʹBʹ 一边的中点时，求 a 的值．
23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CB 与 ⊙O 相切于点 B，AB=25，BC=2．
（1）尺规作图，在 ⊙O 上找一点 D，CD=CB．
（2）在（1）所作的图形中，求证：CD 与 ⊙O 相切；
（3）在（1）所作的图形中，点 E 是线段 OB 上一点（与端点 O，B 不重合），连接 ED，EC，当 CE+DE 的值最小时，求 CEDE 的值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=6．若不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当 ∠OAD=30∘ 时，求点 C 的坐标；
（2）设 AD 的中点为 M，连接 OM，MC，当四边形 OMCD 的面积为 212 时，求 OA 的长；
（3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cs∠OAD 的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，AD⊥y 轴于点 E（点 A 在点 D 的左侧），BC 与 y 轴交于点 F，经过 E，D 两点的函数 y=−12x2+mx+1x≥0 的图象记为 G1，函数 y=−12x2−mx−1x<0 的图象记为 G2，其中 m 是常数，图象 G1，G2 合起来得到的图 象记为 G．设矩形 ABCD 的周长为 L．
（1）当点 A 的横坐标为 −1 时，求 m 的值；
（2）求 L 与 m 之间的函数关系式；
（3）当 G2 与矩形 ABCD 恰好有二个公共点时，求 L 的值；
（4）设 G 在 −4≤x≤2 上最高点的纵坐标为 y0，当 32≤y0≤9 时，直接写出 L 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. B
7. D
8. A
9. C
10. D
第二部分
11. x=1
12. 90∘
13. 24
14. 0
15. x1=2，x2=4
16. ①，②，④
第三部分
17.
6x+1=3x+3+4.6x−3x=3+4−1.3x=6.x=2.
18. 如图．
∵ 平行四边形 ABCD，
∴AB∥CD，OA=OC．
∴∠1=∠2．
在 △AOE 和 △COF 中，
∠1=∠2,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COFASA．
19. （1） T=a2a−b−2ab−b2a−b=a2−2ab−b2a−b=a2−2ab+b2a−b=a−b2a−b=a−b.
（2） ∵ 点 Ma,b 在一次函数 y=x+3 的图象上，
∴b=a+3，即 a−b−=−3 .
∴T=−3．
20. （1） 40
（2） 15%
（3） ∵C− 德文化的人数是 40−12−8−10−6=4（人），
∴ 条形统计图如下：
（4） 设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲、乙、丙、丁，画树状图得：
或列表得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况，
∴ 甲同学被选中的概率是：612=12．
21. （1） 设一次函数解析式为：y=kx+b．
当 x=2，y=120；
当 x=4，y=140．
∴2k+b=120,4k+b=140, 解得：k=10,b=100,
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=10x+100．
（2） 设应降价 x 元．依题意，得
60−40−x10x+100=2090.
化简
x2−10x+9=0
解得
x=1 或 x=9.∵
要让顾客得到最大的实惠，
∴x=9．
答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元．
22. （1） ∵ 点 B0,4 ，等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴ 点 A 的坐标为 23,2 ，
∴2=k23 ，得 k=43 ，
即反比例函数的表达式是 y=43x ．
（2） 当反比例函数 y=43x 过边 AʹBʹ 的中点时，
∵ 边 AʹBʹ 的中点是 3,3+a ，
∴3+a=433 ，得 a=1 ，
当反比例函数 y=43x 过边 OʹAʹ 的中点时，
∵ 边 OʹAʹ 的中点是 3,1+a ，
∴1+a=433 ，得 a=3 ，
由上可得， a 的值是 1 或 3 ．
23. （1） 尺规作图，如图 1 所示：
（2） 如图 2，
连接 OD，OC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，CB 与 ⊙O 相切于点 B，
∴∠CBO=90∘，
在 △OCD 和 △OCB 中，
OD=OB,OC=OC,CD=CB.
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90∘．
∴CD 与 ⊙O 相切．
（3） 延长 CB 到 F 使得 BC=CF=2，则 C 与 F 关于 OB 对称，
连接 DF 与 OB 相交于点 E，此时 CE+DE=DF 值最小，
连接 OC，BD，两线相交于点 G，过 D 作 DH⊥OB 于 H，
则 OC⊥BD，OC=OB2+BC2=52+22=5+4=3．
∵S△OBC=12OB⋅BC=12OC⋅GB，
∴5×2=3⋅GB，
∴GB=235．
∴DB=2BG=435．
∵OD2−OH2=DH2=DB2−HB2，
∴52−5−HB2=4352−HB2．
∴HB=895．
∴DH=DB2−HB2=4352−8952=209．
∵DH⊥OB，∠CBO=90∘，
∴DH∥BF．
∴EFED=BFDH=2209=910．
∵EC=EF，
∴CEDE=EFDE=910．
24. （1） 如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E．
∵ 矩形 ABCD 中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO=90∘．
又 ∵∠OAD+∠ADO=90∘，
∴∠CDE=∠OAD=30∘．
∴ 在 Rt△CED 中，CE=12CD=2，DE=CD2−CE2=42−22=23．
在 Rt△OAD 中，∠OAD=30∘，
∴OD=12AD=3．
∴OE=OD+DE=3+23．
∴ 点 C 的坐标为 2,3+23．
（2） 如图 2．
∵M 为 AD 的中点，
∴DM=3，S△DCM=12×DM×DC=12×3×4=6．
∵ 当四边形 OMCD 的面积为 212 时，
∴S△ODM=212−6=92．
∴S△OAD=2S△ODM=9．
设 OA=x，OD=y，则 x2+y2=36,12xy=9.
∴x2+y2=2xy=36，即 x=y．
将 x=y 代入 x2+y2=36 得 x2=18，解得 x1=32，x2=−32（负值舍去）．
∴OA=32．
（3） OC 的最大值为 8．
如图 31，M 为 AD 的中点，
∴OM=12AD=3，CM=CD2+DM2=42+32=5．
∵OM+CM≥OC，
∴OC≤8．
如图 32，当 O，M，C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8．
连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ON⊥AD，垂足为 N．
∵∠CDM=∠ONM=90∘，∠CMD=∠OMN，
∴△CMD∽△OMN．
∴CDON=DMMN=CMOM，即 4ON=3MN=53，解得 MN=95，ON=125．
∴AN=AM−MN=3−95=65．
在 Rt△OAN 中，OA=ON2+AN2=1252+652=655．
∴cs∠OAD=ANOA=65÷655=55．
25. （1） 如图 1，
∵G1:y=−12x2+mx+1x≥0 的图象经过 E，D 两点，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，
G2:y=−12x2−mx−1x<0 的图象必过 B，F 两点.
∴ 点 A，E，D 的纵坐标是 1，
∵ 点 A 的横坐标为 −1，E0,1，
∴A−1,1，D1,1，
把 D1,1 代入 y=−12x2+mx+1 中，得到 1=−12+m+1，
∴m=12．
（2） ∵ 抛物线 G1 的对称轴 x=−m2×−12=mm>0，
∴AE=ED=2m，
∵ 矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，
∴AD=BC=4m，AB=CD=2，
∴L=2AD+AB=8m+4m>0．
（3） 把 G2 配成顶点式 y=−12x2−mx−1=−12x2+2mx+m2−m2−1=−12x+m2+12m2−1，
当 G2 与矩形 ABCD 恰好有两个公共点，则抛物线 G2 的顶点 M−m,12m2−1 在线段 AE 上（如图 2 ），
∴12m2−1=1，
∴m1=2 或 m2=−2（负值舍去），
∴L=8×2+4=20．
（4） 12≤L≤40．
【解析】方法一：
当 x=−4 时，G2:y=−12×−42−m×−4−1=4m−9，
当 x=2 时，G1:y=−12×22+2m+1=2m−1．
4m−9=2m−1 解得 m=4．
依题意，m>0．
当 0当 m≥4 时，G 的最高点在 G2 上．
把 G1 配成顶点式 y=−12x2+mx+1=−12x2−2mx+m2−m2+1=−12x−m2+12m2+1
∴G1 的顶点 N 为 m,12m2+1，
G1 的对称轴与 x 轴的交点为 Hm,0，
①当 0即 y0=12m2+1，
由 32≤y0≤9，得 32≤12m2+1≤9，
1≤m2≤16，
1≤∣m∣≤4，
1≤m≤4，
∴1≤m≤2．
②当 2≤m<4 时，G 在 −4≤x≤2 上最高点是抛物线 G1 的横坐轴是 2 的这个点（如图 4），
令 x=2 时，y=−12×22+2m+1=2m−1，即 y0=2m−1．
由 32≤y0≤9，
得 32≤2m−1≤9，
52≤2m≤10，
54≤m≤5，
∴2≤m<4
③当 m≥4 时，G 在 −4≤x≤2 上最高点是抛物线 G2 的横坐轴是 −4 的这个点（ M ）（如图 5），
令 x=−4 时，
G2:y=−12×−42−m×−4−1=4m−9，
由 32≤y0≤9，
得 32≤4m−9≤9．
解得 218≤m≤92，
∴4≤m≤92．
综上所述①②③，得 1≤m≤92，
当 m=1 时，L=8m+4=8×1+4=12，
当 m=92 时，L=8m+4=8×92+4=40．
∴12≤L≤40．
方法二：
G1 的最高点的最高点的纵坐标为 12m2+1，G2 的最高点的纵坐标为 12m2−1，
显然 12m2+1>12m2−1；
∴（1）0 G1 有最高点，同时是 G 的最高点，此时，y0=12m2+1
（2）m>2
当 x=2 时，G1 有最高点，最高点的纵坐标为 y1=−12×22+2m+1=2m−1；
此时，G2 的最高点分两种情况．
①当 −4≤−m<0 时（结合 m>2），即 2②当 −m<−4 时（结合 m>2），即 m>4 时，G2 在 x=−4 处最高，最高点的纵坐标为 y3=−12×−42+4m−1=4m−9，
∴ 当 2 ∴y1≥y2，
∴y0=y1=2m−1，
当 m>4 时，y1−y3=2m−1−4m−9=−2m−4<0，即 y1 ∴y0=y3=4m−9．
综上所述，y0=12m2+1, 04
其图象如图 6 所示：
当 y0=32 时，m=1，
当 y0=9 时，m=4.5，
由图象可知，y0 随 m 的增大而增大，
∴ 当 32≤y0≤9 时，1≤m≤4.5，
∴12≤L≤40．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是
A. a>bB. a=bC. a
2. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于
A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换
3. 某公司全体职工的月工资如下：
月工资元18000120008000600040002500200015001200人数1总经理2副总经理34102022126
该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115，公司的普通员工最关注的数据是
A. 平均数B. 平均数和众数
C. 平均数和中位数D. 中位数和众数
4. 下列计算正确的是
A. a2+2a2=3a4B. 2a23=6a6
C. a+b2=a2+b2D. a+2a−2=a2−4
5. 如图，AB∥CD，点 E 在 AD 上，AB=AE，若 ∠B=70∘，则 ∠D 的度数为
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘
6. 不等式组 x−1>3,2−2x<4 的解集是
A. x>−1B. x>4C. −1
7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D，E 都是圆上的点，则 ∠C+∠D 等于
A. 60∘B. 75∘C. 80∘D. 90∘
8. 若函数 y=x2−2x−m 与 x 轴没有交点，则一次函数 y=m+1x+m−1 的图象不经过第 象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
9. 如图，在正方形 ABCD 中，连接 BD，DE 平分 ∠BDC，交 BC 于 E，DE 的垂直平分线分别交 AB，BD，DE，DC 于点 F，G，H，L，交 BC 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论错误的是
A. ∠LKB=22.5∘B. GE∥AB
C. S△BGE:S△BDC=1:4D. tan∠BGF=CKLC
10. 在同一直角坐标系中，二次函数 y=ax2a>0 与反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象上有三个不同的点 Ax1,m，Bx2,m，Cx3,m，其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为
A. mB. mC. a⋅m2D. km
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x−1x=0 的解为 ．
12. 如图，AB∥CD，∠ABD 的平分线与 ∠CDB 的平分线交于点 E，则 ∠1+∠2 的度数为 ．
13. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 DC 的中点，若 OE=3，则菱形的周长为 ．
14. 关于 x 的一元二次方程 x2−2x−m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数值是 ．
15. 若函数 y=x2+bx−5 的对称轴为直线 x=2，则关于 x 的方程 x2+bx−5=2x−13 的解为 ．
16. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，过点 O 作 OC⊥OA，OC 交于 AB 于 P，且 CP=CB，已知 ∠BAO=25∘，OA=2．下列结论：
① BC 是 ⊙O 的切线；
② ∠AQB=65∘；
③ △CBP 与 △ABQ 相似；
④ AQB 的长为 239π．
正确的是 （写出正确结论的序号）．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：6x+1=3x+1+4．
18. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别交于点 E，F．求证：△AOE≌△COF．
19. 已知 T=a2a−b−b2−2abb−a .
（1）化简 T；
（2）若点 Ma,b 在一次函数 y=x+3 的图象上，求 T 的值.
20. 为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“中华植物园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率是多少?
21. 某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降价 x（元）0
（2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元?
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B0,4 ，等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把 △OAB 沿 y 轴向上平移 a 个单位长度，对应得到 △OʹAʹBʹ ．当这个函数的图象经过 △OʹAʹBʹ 一边的中点时，求 a 的值．
23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CB 与 ⊙O 相切于点 B，AB=25，BC=2．
（1）尺规作图，在 ⊙O 上找一点 D，CD=CB．
（2）在（1）所作的图形中，求证：CD 与 ⊙O 相切；
（3）在（1）所作的图形中，点 E 是线段 OB 上一点（与端点 O，B 不重合），连接 ED，EC，当 CE+DE 的值最小时，求 CEDE 的值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=6．若不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当 ∠OAD=30∘ 时，求点 C 的坐标；
（2）设 AD 的中点为 M，连接 OM，MC，当四边形 OMCD 的面积为 212 时，求 OA 的长；
（3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cs∠OAD 的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，AD⊥y 轴于点 E（点 A 在点 D 的左侧），BC 与 y 轴交于点 F，经过 E，D 两点的函数 y=−12x2+mx+1x≥0 的图象记为 G1，函数 y=−12x2−mx−1x<0 的图象记为 G2，其中 m 是常数，图象 G1，G2 合起来得到的图 象记为 G．设矩形 ABCD 的周长为 L．
（1）当点 A 的横坐标为 −1 时，求 m 的值；
（2）求 L 与 m 之间的函数关系式；
（3）当 G2 与矩形 ABCD 恰好有二个公共点时，求 L 的值；
（4）设 G 在 −4≤x≤2 上最高点的纵坐标为 y0，当 32≤y0≤9 时，直接写出 L 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. B
7. D
8. A
9. C
10. D
第二部分
11. x=1
12. 90∘
13. 24
14. 0
15. x1=2，x2=4
16. ①，②，④
第三部分
17.
6x+1=3x+3+4.6x−3x=3+4−1.3x=6.x=2.
18. 如图．
∵ 平行四边形 ABCD，
∴AB∥CD，OA=OC．
∴∠1=∠2．
在 △AOE 和 △COF 中，
∠1=∠2,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COFASA．
19. （1） T=a2a−b−2ab−b2a−b=a2−2ab−b2a−b=a2−2ab+b2a−b=a−b2a−b=a−b.
（2） ∵ 点 Ma,b 在一次函数 y=x+3 的图象上，
∴b=a+3，即 a−b−=−3 .
∴T=−3．
20. （1） 40
（2） 15%
（3） ∵C− 德文化的人数是 40−12−8−10−6=4（人），
∴ 条形统计图如下：
（4） 设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲、乙、丙、丁，画树状图得：
或列表得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况，
∴ 甲同学被选中的概率是：612=12．
21. （1） 设一次函数解析式为：y=kx+b．
当 x=2，y=120；
当 x=4，y=140．
∴2k+b=120,4k+b=140, 解得：k=10,b=100,
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=10x+100．
（2） 设应降价 x 元．依题意，得
60−40−x10x+100=2090.
化简
x2−10x+9=0
解得
x=1 或 x=9.∵
要让顾客得到最大的实惠，
∴x=9．
答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元．
22. （1） ∵ 点 B0,4 ，等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴ 点 A 的坐标为 23,2 ，
∴2=k23 ，得 k=43 ，
即反比例函数的表达式是 y=43x ．
（2） 当反比例函数 y=43x 过边 AʹBʹ 的中点时，
∵ 边 AʹBʹ 的中点是 3,3+a ，
∴3+a=433 ，得 a=1 ，
当反比例函数 y=43x 过边 OʹAʹ 的中点时，
∵ 边 OʹAʹ 的中点是 3,1+a ，
∴1+a=433 ，得 a=3 ，
由上可得， a 的值是 1 或 3 ．
23. （1） 尺规作图，如图 1 所示：
（2） 如图 2，
连接 OD，OC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，CB 与 ⊙O 相切于点 B，
∴∠CBO=90∘，
在 △OCD 和 △OCB 中，
OD=OB,OC=OC,CD=CB.
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90∘．
∴CD 与 ⊙O 相切．
（3） 延长 CB 到 F 使得 BC=CF=2，则 C 与 F 关于 OB 对称，
连接 DF 与 OB 相交于点 E，此时 CE+DE=DF 值最小，
连接 OC，BD，两线相交于点 G，过 D 作 DH⊥OB 于 H，
则 OC⊥BD，OC=OB2+BC2=52+22=5+4=3．
∵S△OBC=12OB⋅BC=12OC⋅GB，
∴5×2=3⋅GB，
∴GB=235．
∴DB=2BG=435．
∵OD2−OH2=DH2=DB2−HB2，
∴52−5−HB2=4352−HB2．
∴HB=895．
∴DH=DB2−HB2=4352−8952=209．
∵DH⊥OB，∠CBO=90∘，
∴DH∥BF．
∴EFED=BFDH=2209=910．
∵EC=EF，
∴CEDE=EFDE=910．
24. （1） 如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E．
∵ 矩形 ABCD 中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO=90∘．
又 ∵∠OAD+∠ADO=90∘，
∴∠CDE=∠OAD=30∘．
∴ 在 Rt△CED 中，CE=12CD=2，DE=CD2−CE2=42−22=23．
在 Rt△OAD 中，∠OAD=30∘，
∴OD=12AD=3．
∴OE=OD+DE=3+23．
∴ 点 C 的坐标为 2,3+23．
（2） 如图 2．
∵M 为 AD 的中点，
∴DM=3，S△DCM=12×DM×DC=12×3×4=6．
∵ 当四边形 OMCD 的面积为 212 时，
∴S△ODM=212−6=92．
∴S△OAD=2S△ODM=9．
设 OA=x，OD=y，则 x2+y2=36,12xy=9.
∴x2+y2=2xy=36，即 x=y．
将 x=y 代入 x2+y2=36 得 x2=18，解得 x1=32，x2=−32（负值舍去）．
∴OA=32．
（3） OC 的最大值为 8．
如图 31，M 为 AD 的中点，
∴OM=12AD=3，CM=CD2+DM2=42+32=5．
∵OM+CM≥OC，
∴OC≤8．
如图 32，当 O，M，C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8．
连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ON⊥AD，垂足为 N．
∵∠CDM=∠ONM=90∘，∠CMD=∠OMN，
∴△CMD∽△OMN．
∴CDON=DMMN=CMOM，即 4ON=3MN=53，解得 MN=95，ON=125．
∴AN=AM−MN=3−95=65．
在 Rt△OAN 中，OA=ON2+AN2=1252+652=655．
∴cs∠OAD=ANOA=65÷655=55．
25. （1） 如图 1，
∵G1:y=−12x2+mx+1x≥0 的图象经过 E，D 两点，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，
G2:y=−12x2−mx−1x<0 的图象必过 B，F 两点.
∴ 点 A，E，D 的纵坐标是 1，
∵ 点 A 的横坐标为 −1，E0,1，
∴A−1,1，D1,1，
把 D1,1 代入 y=−12x2+mx+1 中，得到 1=−12+m+1，
∴m=12．
（2） ∵ 抛物线 G1 的对称轴 x=−m2×−12=mm>0，
∴AE=ED=2m，
∵ 矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，
∴AD=BC=4m，AB=CD=2，
∴L=2AD+AB=8m+4m>0．
（3） 把 G2 配成顶点式 y=−12x2−mx−1=−12x2+2mx+m2−m2−1=−12x+m2+12m2−1，
当 G2 与矩形 ABCD 恰好有两个公共点，则抛物线 G2 的顶点 M−m,12m2−1 在线段 AE 上（如图 2 ），
∴12m2−1=1，
∴m1=2 或 m2=−2（负值舍去），
∴L=8×2+4=20．
（4） 12≤L≤40．
【解析】方法一：
当 x=−4 时，G2:y=−12×−42−m×−4−1=4m−9，
当 x=2 时，G1:y=−12×22+2m+1=2m−1．
4m−9=2m−1 解得 m=4．
依题意，m>0．
当 0
把 G1 配成顶点式 y=−12x2+mx+1=−12x2−2mx+m2−m2+1=−12x−m2+12m2+1
∴G1 的顶点 N 为 m,12m2+1，
G1 的对称轴与 x 轴的交点为 Hm,0，
①当 0
由 32≤y0≤9，得 32≤12m2+1≤9，
1≤m2≤16，
1≤∣m∣≤4，
1≤m≤4，
∴1≤m≤2．
②当 2≤m<4 时，G 在 −4≤x≤2 上最高点是抛物线 G1 的横坐轴是 2 的这个点（如图 4），
令 x=2 时，y=−12×22+2m+1=2m−1，即 y0=2m−1．
由 32≤y0≤9，
得 32≤2m−1≤9，
52≤2m≤10，
54≤m≤5，
∴2≤m<4
③当 m≥4 时，G 在 −4≤x≤2 上最高点是抛物线 G2 的横坐轴是 −4 的这个点（ M ）（如图 5），
令 x=−4 时，
G2:y=−12×−42−m×−4−1=4m−9，
由 32≤y0≤9，
得 32≤4m−9≤9．
解得 218≤m≤92，
∴4≤m≤92．
综上所述①②③，得 1≤m≤92，
当 m=1 时，L=8m+4=8×1+4=12，
当 m=92 时，L=8m+4=8×92+4=40．
∴12≤L≤40．
方法二：
G1 的最高点的最高点的纵坐标为 12m2+1，G2 的最高点的纵坐标为 12m2−1，
显然 12m2+1>12m2−1；
∴（1）0
（2）m>2
当 x=2 时，G1 有最高点，最高点的纵坐标为 y1=−12×22+2m+1=2m−1；
此时，G2 的最高点分两种情况．
①当 −4≤−m<0 时（结合 m>2），即 2
∴ 当 2
∴y0=y1=2m−1，
当 m>4 时，y1−y3=2m−1−4m−9=−2m−4<0，即 y1
综上所述，y0=12m2+1, 0
其图象如图 6 所示：
当 y0=32 时，m=1，
当 y0=9 时，m=4.5，
由图象可知，y0 随 m 的增大而增大，
∴ 当 32≤y0≤9 时，1≤m≤4.5，
∴12≤L≤40．
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