2021年北京市平谷区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市平谷区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列几何体中，主视图为三角形的是
A. B.
C. D.

2. 技术融合打破时空限制，2020 服贸会全面上“云”，据悉本届服贸会共有境内外 5372 家企业搭建了线上电子展台，共举办 32 场纯线上会议和 173 场线上直播会议，线上发布项目 1870 个，发起在线洽谈 550000 次，将 550000 用科学记数法表示为
A. 55×104B. 5.5×105C. 5.5×106D. 0.55×106

3. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D，则下列结论不一定成立的是
A. ∠1+∠2=90∘B. ∠2=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=30∘

4. 2021 年 3 月 20 日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 正多边形每个内角都是 120∘，则它的边数为
A. 5B. 6C. 7D. 8

6. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 a，b 满足 a+b=0，则下列结论正确的是
A. c=0B. b<0C. c>0D. c<0

7. 不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，恰好是红球的概率为
A. 13B. 12C. 23D. 1

8. 学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数 y=1x+2 的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是
①该函数的定义域为 x≠−2；
②该函数与 x 轴没有交点；
③该函数与 y 轴交于点 0,12；
④若 x1,y1，x2,y2 是该函数上两点，当 x1y2．
A. ①②③④B. ①③C. ①②③D. ②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若代数式 x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：ax2−ay2= ．

11. 写出一个比 2 大且比 10 小的整数 ．

12. 化简 1−1a+1= ．

13. 如图，在 △ABC 和 △ADC 中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明 △ABC≌△ADC，这个条件可以是 （写出一个即可）．

14. 《孙子算经》记载：今有 3 人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一辆车，最终剩余 9 人无车可乘．问共有多少人?多少辆车?若设有 x 辆车，有 y 人，则可列方程组为 ．

15. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则 △ABO 的面积与 △CDO 的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO（填“>”，“=”或“<”）．

16. 某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于 0 摄氏度，且昼夜温差不大于 10 摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在 日开始进行．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−1+12+∣3−2∣−3tan30∘．

18. 解不等式组：3x+1>2x,x+32≥x.

19. 先化简，再求值：x2+2x−1=0，求代数式 x−1x+1+2x−3 的值．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+k+1x+k=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的 k 值代入，并求此时方程的解．

21. 已知：如图，∠MAN=α0∘<α<45∘．
求作：△ABC，使得 ∠ABC=2∠BAC，
作法：①在射线 AN 上取点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆，交射线 AM 于点 C；
②连接 CO；
③以点 C 为圆心，CO 长为半径画弧，交射线 AN 于点 B；连接 CB 线段 △ABC 就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵ 点 C，A 在 ⊙O 上．
∴∠COB=2∠CAB （填推理依据）．
∵CB=CO
∴∠CBA= ．
∴∠CBA=2∠CAB．

22. 已知：直线 l1:y=kx+b 过点 A−1,0，且与双曲线 l2:y=2x 相交于点 Bm,2．
（1）求 m 值及直线 l1 的解析式；
（2）画出 l1，l2 的图象，结合图象直接写出不等式 kx+b>2x 的解集．

23. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，D 是 AC 的中点，连接 BD，过点 C 作 CE∥BD，过点 B 作 BE∥AC 两直线相交于点 E．
（1）求证：四边形 DBEC 是菱形；
（2）若 ∠A=30∘，BC=2，求四边形 DBEC 的面积．

24. 如图，点 E 是 ⊙O 中弦 AB 的中点，过点 E 作 ⊙O 的直径 CD，P 是 ⊙O 上一点，过点 P 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于 F，与 CD 的延长线交于点 G，连接 CP 与 AB 交于点 M．
（1）求证：FM=FP；
（2）若点 P 是 FG 的中点，cs∠F=35，⊙O 半径长为 3，求 EM 长．

25. “十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020 年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现 38 微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．下面对 2013−2020 年北京市的空气质量有关数据进行收集、整理、描述和分析，给出了部分信息：
a. 2013−2020 年北京市空气质量指数为优良级别天数变化；
b.收集了 2021 年 3 月北京市 16 个城区的 PM2.5 的浓度均值（单位：微克/立方米），79 79 80 81 83 79 83 83 81 83 84 84 84 84 86 84 并整理如下表：
PM2.5的浓度798081838486区的个数m12n51
c. 2021 年 3 月北京市每日的 PM2.5 的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如下：
（1）2020 年北京市空气质量优良天数比 2013 年增加了 天；
（2）m 的值为 ；n 的值为 ；
（3）2021 年 3 月北京市 16 个城区的 PM2.5 浓度值的中位数是 ；
（4）依据 2021 年 3 月北京市每日的 PM2.5 的浓度情况统计图，若三月上旬（1−15 日）北京市的 PM2.5 的浓度平均值为 x1，方差为 S12，三月下旬（16−31 日）北京市的 PM2.5 的浓度平均值为 x2，方差为 S22，则 x1 x2，S12 S22（填“>”“=”或“<”）．

26. 已知关于 x 的二次函数 y=x2−2mx−3．
（1）当抛物线过点 2,−3 时，求抛物线的表达式，并求它与 y 轴的交点坐标；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含 m 的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点 Aa,a 和 Bb,−b，当 a<0，b>0 时，总有 a+b>0，求 m 的取值范围．

27. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，D 是直线 AB 上一点（点 D 不与点 A，B 重合），连接 DC 并延长到 E，使得 CE=CD，过点 E 作 EF⊥BC，交直线 BC 于点 F．
（1）如图 1，当点 D 为线段 AB 的上任意一点时，用等式表示线段 EF，CF，AC 的数量关系，并证明；
（2）如图 2，当点 D 为线段 BA 的延长线上一点时，依题意补全图 2，猜想线段 EF，CF，AC 的数量关系是否发生改变，并证明；

28. 已知点 P，Q 分别为图形 M 和图形 N 上的任意点，若存在点 P，Q 使得 PQ=1，我们就称图形 M，N 为友好图形，P，Q 为关于图形 M，N 的一对友好点．
（1）已知点 A1,0，B0,12，C−1,1 中， 与点 O 为一对友好点；
（2）已知 ⊙O 半径 r=1，若直线 y=x+b 与 ⊙O 有且只有一对友好点，求 b 的值；
（3）已知点 Dm,2，⊙D 半径 r=1，若直线 y=x+m 与 ⊙D 是友好图形，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】A．主视图是三角形，故此选项正确；
B．主视图是矩形，故此选项错误；
C．主视图是圆，故此选项错误；
D．主视图是矩形，故此选项错误．
2. B
3. D【解析】∵∠ACB=90∘，CD⊥AB，
∴∠3+∠4=90∘，∠ADC=∠BDC=90∘，
∴∠2+∠4=90∘．
A．∵∠3+∠4=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，故A成立，不选A；
B．∵∠3+∠4=90∘，∠2+∠4=90∘，
∴∠2=∠3，故B成立，不选B；
C．∵∠2+∠4=90∘，∠1+∠2=90∘，
∴∠1=∠4，故C成立，不选C；
D．∵∠3+∠4=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，∠1=90∘−∠2 不一定等于 30∘，故D不一定成立．
4. B
5. B
【解析】设所求正多边形边数为 n，
∵ 正 n 边形的每个内角都等于 120∘，
∴ 正 n 边形的每个外角都等于 180∘−120∘=60∘．
又 ∵ 多边形的外角和为 360∘，
即 60∘⋅n=360∘，
∴n=6．
6. D【解析】∵a+b=0，
∴ 原点在 a，b 的中间，
如图，
由图可得：a<0，c<0，b>0．
7. A【解析】∵ 袋子中共有 3 个小球，其中红球有 1 个，
∴ 摸出一个球是红球概率是 13．
8. C【解析】y=1x+2 中分母不为零，故 x≠−2，①正确；
由图象可知该函数与 x 轴没有交点，②正确；
令 x=0，y=12，
∴ 该函数与 y 轴交于点 0,12，③正确；
当 x1,y1，x2,y2 是该函数上两侧的两点时，x1第二部分
9. x≥2
【解析】∵ 代数式 x−2 有意义，
∴x−2≥0，
∴x≥2．
故答案为 x≥2．
10. ax+ya−y
【解析】ax2−ay2=ax2−y2=ax+yx−y.
故答案为 ax+yx−y．
11. 2 或 3
【解析】∵1<2<2，3<10<4，
∴ 比 2 大且比 10 小的整数是 2 或 3．
12. aa+1
【解析】1−1a+1=a+1−1a+1=aa+1.
13. ∠BAC=∠DAC（答案不唯一）
【解析】在 △ABC 与 △ADC 中，
∠ABC=∠ADC=90∘，AC=AC，
若 ∠BAC=∠DAC，
则由 AAS 可得 △ABC≌△ADC．
14. 3x−2=y,2x+9=y
15. =
【解析】由图易有：S△ABO=S△ABC−S△AOC，S△CDO=S△ACD−S△AOC，
∵△ABC 和 △ADC 同底等高，
∴S△ABC=S△ADC，
∴S△ABO=S△CDO．
16. 3 或 12 日（任写一个即可）
【解析】由图可知，3 日、 4 日、 5 日最低温度分别是 1 摄氏度、 2 摄氏度、 0 摄氏度，且昼夜温差分别是 8−1=7 摄氏度，4−2=2 摄氏度，9−0=9 摄氏度，最低温度不低于 0 摄氏度，且昼夜温差不大于 10 摄氏度，可以药剂喷洒，12 日、 13 日、 14 日、最低温度分别是 6 摄氏度、 7 摄氏度、 8 摄氏度，且昼夜温差分别是 12−6=6 摄氏度，16−7=9 摄氏度，14−8=6 摄氏度，最低温度不低于 0 摄氏度，且昼夜温差不大于 10 摄氏度，可以药剂喷洒．
故答案为：3 或 12．
第三部分
17. 12−1+12+∣3−2∣−3tan30∘=2+23+2−3−3×33=4.
18.
3x+1>2x, ⋯⋯①x+32≥x. ⋯⋯②
由①得
x>−1.
由②得
x≤3.∴−1．
19. 原式=x2−1+2x−6=x2+2x−7,
∵x2+2x−1=0，
∴x2+2x=1，
原式=1−7=6．
20. （1） Δ=k+12−4k=k2+2k+1−4k=k2−2k+1=k−12,
∵k−12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 当 k=0 时，方程为
x2+x=0.xx+1=0.x=0 或 x+1=0.
解得
x1=0,x2=−1.
21. （1）
（2） 一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半；∠COB
22. （1） ∵y=2x 相交于点 Bm,2，
∴2=2m，
∴m=1；
∵ 直线 l1:y=kx+b 过点 A−1,0 、点 B1,2，
∴0=−k+b,2=k+b, 解得 b=1,k=1,
∴ 直线 l1 的解析式为 y=x+1．
（2） 由 y=x+1,y=2x 得 x=−2,y=−1 或 x=1,y=2,
∴ 直线 l1 与双曲线 l2:y=2x 相交于点 B1,2 、点 C−2,−1，
可得图象如图所示：
由图象可得不等式 x+1>2x 的解集为：−21．
23. （1） ∵ 过点 C 作 CE∥BD，过点 B 作 BE∥AC，
∴ 四边形 BECD 是平行四边形，
在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=90∘，D 是 AC 中点，
∴BD=DC，
∴ 四边形 BECD 是菱形．
（2） 连接 DE 交 BC 于 F，
四边形 BECD 是菱形；
∴∠DFC=90∘，CF=BF，
∴DF∥AB，
∵∠A=30∘，BC=2，
∴∠CDF=30∘，CF=1，
∴DC=2，DF=3，
∴DE=23，
∴S菱形DBEC=12⋅2⋅23=23．
24. （1） 连接 OP．
∵CD 为 ⊙O 直径，E 为弦 AB 的中点，
∴∠1=90∘，
∴∠2+∠C=90∘．
∵PF 是 ⊙O 的切线，
∴∠OPF=90∘．
∴∠3+∠4=90∘ .
∵OC=OP，
∴∠C=∠3．
∴∠4=∠2．
∵∠2=∠5，
∴∠5=∠4，
∴FM=FP．
（2） 连接 DE．
∵∠1=90∘，
∴∠G+∠F=90∘．
∵∠6+∠G=90∘，
∴∠6=∠F，
∴cs∠6=cs∠F=35，
在 Rt△OPG 中，
∵OP=3，
cs∠6=35，
∴OG=5，
∴PG=4，
∴PF=PG=4，
∴GF=8，
∴cs∠F=EF8=35，
∴EF=245，
∴EM=245−4=45．
25. （1） 100
【解析】由图可知 2020 年北京市空气质量优良天数 276 天，2013 年北京市空气质量优良天数为 176 天．
∴2020 年北京市空气质量优良天数比 2013 年增加：276−176=100（天）．
（2） 3；4
【解析】由 2021 年 3 月北京市 16 个城区 PM2.5 的浓度均值可知 79 出现了 3 次，83 出现了 4 次，
∴m=3，n=4；
故答案为：3；4．
（3） 83
【解析】将 16 个城区的 PM2.5 的浓度均值按照从小到大排列可得：
79 79 79 80 81 81 83 83 83 83 84 84 84 84 84 86
则中位数 =83+832=83；
故答案为：83．
（4） >；>
【解析】∵ 前 15 天大部分分布在 100 到 200 之间，后 15 天多分布在 0 到 100 之间，
∴x1>x2，
∵ 前 15 天数据比较分散，后 15 天数据比较集中，
∴S12>S22，
故答案为：>；>．
26. （1） ∵ 抛物线过点 2,−3，
∴−3=4−4m−3，
解得：m=1，
∴ 抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，
当 x=0 时，y=−3，
∴ 与 y 轴的交点坐标为 0,−3．
（2） ∵y=x2−2mx−3，
∴y=x−m2−m2+3，
∴x=m 时，y=−m2+3，
故对称轴为 x=m．
（3） 由函数表达式 y=x2−2mx−3 可知函数开口向上，
∵a+b>0，
∴∣b∣>∣a∣，a>−b，
∴m−a>b−m，
即 2m>a+b>0．
27. （1） 结论：AC=EF+FC．
证明：过 D 作 DH⊥CB 于 H，
∵EF⊥CF 于 F，
∴∠EFC=∠DHC=90∘，
∵∠FCE=∠DCH，EC=DC，
∴△FEC≌△HDCAAS，
∴CH=FC，DH=EF，
∵∠DHB=90∘，∠B=45∘，
∴DH=HB=EF，
∴AC=BC=CH+BH=FC+EF．
（2） 依题意补全图形．
结论：EF=FC+AC．
证明：过 D 作 DH⊥CB 交 CB 的延长线于 H，
∵EF⊥CF 于 F，
∴∠EFC=∠DHC=90∘，
∵∠FCE=∠DCH，EC=DC，
∴△FEC≌△HDCAAS，
∴CH=FC，DH=EF，
∵∠DHB=90∘，∠B=45∘，
∴DH=HB=EF，
∴EF=CH+BC=FC+AC．
28. （1） A
【解析】∵A1,0，B0,12，C−1,1，
∴OA=1−02+0−02=1，
OB=12−02+0−02=12，
OC=−1−02+1−02=2，
∴ 符合新定义的点是 1,0．
（2） 如图，
直线 y=x+b 与圆 O 相切是时，直线与圆有一个公共点，此时 OG=OD=1，
根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，
根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着 OD 或 OG 向外平移一个单位长即可，
分别到达 E 或 H 点，此时 OE=2 或 OH=2，
根据平移的性质，OE=EF=2 或 OH=HM=2，
根据勾股定理，得 OM=OF=22，
∴b=22 或 b=−22．
（3） 如图，
根据题意，得 2=x+m，x=2−m，
∴ 点 F 的坐标为 2−m,2．
由（2）可知 DE=2=EF，
∴DF=22，
当 m>0 时，得 m+m−2=22，解得：m=322；
同理可得，当 m<0 时，得 −m+2−m=22，解得：m=−22．
综上所述，满足条件的 m 的取值范围是 −22≤m≤322．