2023年北京市平谷区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市平谷区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面几何体中，是圆柱的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为了确保我国粮食种植的稳定性，国家提出了“严防死守亿亩耕地的红线目标”，经过了多年的努力和坚守，我国耕地面积止住了下跌趋势，而且还实现了增长到年，全国耕地保有量回升至亿亩以上，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  实数在数轴上的对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”，“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  摄氏温度与华氏温度是表示温度的两种方法，它们的关系如下：

若设摄氏温度为，华氏温度为，与之间满足如下我们学习过的一种函数关系，则与满足的函数关系为(    )

A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  分解因式：______．

11.  方程的解为______ ．

12.  写出一个比大比小的无理数______ ．

13.  在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ______ ．

14.  为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数量如表：

根据以上数据，这名中学生收集废旧电池的平均数为______ ．

15.  如图，在中，，，是的角平分线，则：______．

16.  某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送、两种货物各箱到展馆，货运公司调派甲货车运送种货物，乙货车运送种货物，种货物每箱千克，种货物每箱千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重千克，则甲、乙两车各有______ 箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称______ 次就能把乙车上装错的货物区分出来．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
已知：如图，为锐角三角形．
求作：以为一边作，使，．
作法：作边的垂直平分线；
作边的垂直平分线，与直线交于点；
以为圆心，为半径作；
连接并延长，交于点，连接；即为所求作的三角形．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点．
．
点、、都在上．
为的直径．
______
，
______ 填推理依据．
即为所求作的三角形．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是中点点是中点连接、、，平分．
求证：四边形是菱形；
连接，与交于点，连接若，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
求该函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，求的取值范围．

23.  本小题分
明明学完了统计部分的相关知识后，对数据的统计产生了浓厚的兴趣，他从网上查阅了年月号至号、两个城市的日最高气温数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
、两个城市月号至号的日最高气温数据的折线图．
、两个城市月号至号的日最高气温数据的平均数中位数众数、极差：

根据以上信息，回答下列问题：
求表中、、的值；
记城市月号至号的日最高气温的方差为，城市月号至号的日最高气温的方差为，则 ______ 填“”“”或“”；
如果你是明明，请根据以上统计数据，对、两个城市月号至号的日最高气温情况做简单的分析至少从两个方面做出分析

24.  本小题分
如图，是的直径，、是上的两点，且，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，求的长．

25.  本小题分
如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度单位：与距离喷射口的水平距离单位：近似满足函数关系．

谷粒距离喷射口的水平距离单位：与竖直高度单位：的几组数据如下：

根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车箱的中心点若货车车箱的中心点距地面米，则货车车箱的中心点应距离喷射口几米？
谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为：
：
：
则、对应的抛物线分别为：______ ；：______ 写或即可．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上
求抛物线的对称轴用含的式子表示；
若，求的取值范围；
若点在抛物线上，若存在，使成立，求的取值范围．

27.  本小题分
在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接．
依题意补全图形；
求证：；
判断、、的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，我们将点的横纵坐标交换位置得到点给出如下定义：对于平面上的点，若满足，则称点为点的“对炫点”．

已知点，
下列各点：，，中为点的“对炫点”的是______ ；
点是直线上一点，若点是点的对炫点，求出点的坐标；
设点是第一象限内一点，点是直线上一点，至少存在一个点，使得点的对炫点也是点的对炫点，求、的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是圆柱，故此选项符合题意；
B、是圆锥，故此选项不符合题意；
C、是三棱锥，故此选项不符合题意；
D、是球体，故此选项不符合题意；
故选：．
根据圆柱体的特征判断即可．
本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
由题意得，由直角三角形的性质，即可求出的度数．
本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得，
，
，
，
，，，，
的值可以是．
故选：．
首先根据图示，可得，据此求出的取值范围，然后根据实数满足，判断出的值可以是哪个即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以两次记录的数字之和为的概率为，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围．
【解答】
解：方程有两个不相同的实数根，
，
解得，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：

该图形对称轴的条数为．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可知，当摄氏温度每增加，华氏温度增加，
与满足的函数关系为一次函数，
故选：．
根据表中数据即可得出结论．
本题考查一次函数的应用，关键是观察表中数据和掌握一次函数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：要使在实数范围内有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：当分母时，分式有意义．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：去分母得，
去括号得：，
解得：，
检验：当时，，
则原方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

12.【答案】 

【解析】解：写出一个比大比小的无理数．
故答案为：答案不唯一
根据，，所以写出一个比大比小的无理数可以是．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的含义和应用，注意答案不唯一．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象过点，
．
点在反比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出值，再结合点在反比例函数图象上，由此即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：这名中学生收集废旧电池的平均数为，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

15.【答案】： 

【解析】解：作于．

平分，，，
，
，，
，
，
：：．
故答案为：．
作于证明即可解决问题．
本题考查角平分线的性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】   

【解析】解：设甲车装种货物箱，种货物箱，则乙车装种货物箱，种货物箱，
，
解得：，
甲车装了箱和箱，乙车装了箱和箱，
发现乙车装了箱货物，根据的秤，我们可以每箱一称重，如果发现重量是，则没有货物，如果是，则有一箱是货物，如果是，则有两箱是货物，假设最后两组才每组有一个是货物的情况，则需要个一组称次，然后找到两个含有箱货物的组，再个称一次，如果是，则另外个有一个是货物，只需要在另外个中再称重一次就可找到，所以共需要最多次．
故答案为：，．
根据题干可得已知条件，种货物有箱，种货物有箱，甲车一共装了箱，甲车比乙车重，则可设甲车装种货物箱，种货物箱，则乙车装种货物箱，种货物箱，列二元一次方程组解答即可；
发现乙车装了箱货物，根据的秤，我们可以每箱一称重，如果发现重量是，则没有货物，如果是，则有一箱是货物，如果是，则有两箱是货物，假设最后两组才每组有一个是货物的情况，则需要个一组称次，然后找到两个含有箱货物的组，再个称一次，如果是，则另外个有一个是货物，只需要在另外个中再称重一次就可找到，所以共需要最多次．
本题考查了二元一次方程组的应用，通过找到等量关系，来设未知数和列方程组，求解后得到结果．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，
，
当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】  等弧所对的圆周角相等 

【解析】解：如图：

证明：是的垂直平分线，是的垂直平分线，与交于点．
．
点、、都在上．
为的直径．
．
，
等弧所对的圆周角相等．
即为所求作的三角形，
故答案为：，等弧所对的圆周角相等．
根据题中步骤作图；
根据题中步骤及圆周角定理证明．
本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
是中点，是中点，
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，

四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
，为中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，
即的长为． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，得，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再解直角三角形得，，然后由三角形中位线定理得，，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：将，代入解得，
，
，
；
由得，
解不等式，
得，
即．
时结论成立． 

【解析】通过待定系数法将，代入解析式求解．
根据已知条件得到不等式，解不等式即可得到结论．
本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：城市月号至号的日最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别是和，故，
城市月号至号的日最高气温出现次数最多的是，故众数；
城市月号至号的最高气温的极差为：；
由题意可知，城市月号至号的最高气温在和之间波动，波动幅度较大，城市月号至号的最高气温在和之间波动，波动幅度较小，所以；
故答案为：；
城市月日至日日平均气温的平均值更高，极差较大，温度波动较大，不稳定，城市月日至日日平均气温的平均值较小，极差小，温度变化较稳定．答案不唯一．
分别根据中位数、众数以及极差的定义解答即可；
根据两个城市月号至号的日最高气温的波动情况判断即可；
根据平均数、极差等统计量解答即可．
本题考查了众数、中位数、极差、方差和算术平均数，根据折线图来判断方差的大小是关键．
 

24.【答案】证明：连结．

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，

四边形内接于，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，，根据圆周角定理得到，证明，根据平行线的性质得到结论；
求出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查的是切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：由表可知，抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得或舍去，
货车车箱的中心点应距离喷射口米；
由函数图象可知，、对应的抛物线分别为、，
故答案为：，．
先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式，然后把代入解析式求出即可；
通过函数图象可知抛物线的对称轴在对称轴的右侧，结合函数解析式即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，求出函数解析式是解题关键．
 

26.【答案】解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线；
点，在抛物线上，且，
，
；
点在抛物线上，存在，使成立，
，
由，得，
由，得，
． 

【解析】利用对称轴公式求得即可；
由，得到，解不等式即可；
由题意可知，，解不等式组即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：补全图形如图所示：

证明：，
，
，
，
，
；
解：结论：．

理由：延长到使，连接、．
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
垂直平分，
，
在中，，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据等角的余角相等证明即可；
结论：证明，在中，，由此可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

28.【答案】、 

【解析】解：已知点，将横纵坐标交换得到点，
，，
点的“对炫点”是，，
故答案为：，．
设点的坐标为，
将其横纵坐标交换得到，
由题意得，，
，
解得，，
点的坐标为或
如图，点的所有“对炫点”在以为圆心，半径为的圆上，
点的所有“对炫点”在与直线距离为且互相平行的，两条直线之间．

与轴夹角为，与直线垂直，，
．
在中，根据勾股定理得：
，即．
，
当时，符合题意，即：
；解得：，
点是第一象限内的点，
，，
，．
计算点距离，比照“定义”即可得出答案．根据定义计算．
分别按对炫点的“定义”求出、的对炫点，画出图形，依题意找出满足条件的情形．
本题通过新定义的方式，考查了一次函数的相关知识以及学生对平面直角坐标系的深层理解，要求学生能将图形关系向数量关系转化．