2021年北京市平谷区中考数学一模试卷

这是一份2021年北京市平谷区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）技术融合打破时空限制，2020服贸会全面上“云”，据悉本届服贸会共有境内外5372家企业搭建了线上电子展台，共举办32场纯线上会议和173场线上直播会议，线上发布项目1870个，发起在线洽谈550000次，将550000用科学记数法表示为（ ）
A．55×104B．5.5×105C．5.5×106D．0.55×106
3．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90°B．∠2＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝30°
4．（2分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数a，b满足a+b＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．c＝0B．b＜0C．c＞0D．c＜0
7．（2分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
8．（2分）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（ ）
①该函数的定义域为x≠﹣2；
②该函数与x轴没有交点；
③该函数与y轴交于点；
④若（x1，y1），（x2，y2）是该函数上两点，当x1＜x2时，一定有y1＞y2．
A．①②③④B．①③C．①②③D．②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
11．（2分）写出一个比大且比小的整数 ．
12．（2分）计算1﹣＝ ．
13．（2分）如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（2分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 ．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABO的面积与△CDO的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．
16．（2分）某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在 日开始进行．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（）﹣1+||+3tan30°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）先化简，再求值：x2+2x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（x+1）+2（x﹣3）的值．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解．
21．（5分）已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
22．（5分）已知：直线l1：y＝kx+b过点A（﹣1，0），且与双曲线l2：y＝相交于点B（m，2）．
（1）求m值及直线l1的解析式；
（2）画出l1，l2的图象，结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集．
23．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．
24．（6分）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cs∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
25．（6分）“十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现38微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．下面对2013﹣2020年北京市的空气质量有关数据进行收集、整理、描述和分析，给出了部分信息：
a.2013﹣2020年北京市空气质量指数为优良级别天数变化：
b．收集了2021年3月北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米）：79 79 80 81 83 79 83 83 81 83 84 84 84 84 86 84．并整理如表：
C.2021年3月北京市每日的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如下：
（1）2020年北京市空气质量优良天数比2013年增加了 天；
（2）m的值为 ；n的值为 ；
（3）2021年3月北京市16个城区的PM2.5浓度值的中位数是 ；
（4）依据2021年3月北京市每日的PM2.5的浓度情况统计图，若三月上旬（1﹣15日）北京市的PM2.5的浓度平均值为，方差为S12，三月下旬（16﹣31日）北京市的PM2.5的浓度平均值为，方差为S22，则 ，S12 S22（填“＞”，“＝”或“＜”）．
26．（6分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．
28．（7分）已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．
（1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中， 与点O为一对友好点；
（2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值；
（3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围．
2021年北京市平谷区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、主视图是矩形，故此选项不合题意；
C、主视图是圆，故此选项不合题意；
D、主视图是矩形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）技术融合打破时空限制，2020服贸会全面上“云”，据悉本届服贸会共有境内外5372家企业搭建了线上电子展台，共举办32场纯线上会议和173场线上直播会议，线上发布项目1870个，发起在线洽谈550000次，将550000用科学记数法表示为（ ）
A．55×104B．5.5×105C．5.5×106D．0.55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将550000用科学记数法表示是5.5×105．
故选：B．
3．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90°B．∠2＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝30°
【分析】根据垂直得出∠ADC＝∠BDC＝90°，再根据直角三角形的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故本选项不符合题意；
B．∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，故本选项不符合题意；
C．∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4，故本选项不符合题意；
D．根据已知条件不能推出∠1＝30°，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2分）2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2分）正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）180°＝120°×n，解得，n＝6，
故选：B．
6．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数a，b满足a+b＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．c＝0B．b＜0C．c＞0D．c＜0
【分析】只需确定原点位置即可．
【解答】解：∵a+b＝0．
∴a，b互为相反数．
所以原点是a，b对应点的中点．
∴点C在原点左侧．
∴b＞0，c＜0．
故选：D．
7．（2分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故选：A．
8．（2分）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（ ）
①该函数的定义域为x≠﹣2；
②该函数与x轴没有交点；
③该函数与y轴交于点；
④若（x1，y1），（x2，y2）是该函数上两点，当x1＜x2时，一定有y1＞y2．
A．①②③④B．①③C．①②③D．②③④
【分析】根据函数的图象以及函数的关系式综合进行判断即可．
【解答】解：由分母不为0可得，x≠﹣2，即该函数的定义域为x≠﹣2，故①正确；
由函数的图象可得，图象与x轴无交点，故②正确；
当x＝0时，y＝，故该函数与y轴交于点，故③正确；
由函数的图象可知，当x1＜﹣2＜x2时，有y1＜y2，故④不正确；
因此正确的结论有：①②③，
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据式子有意义的条件为a≥0得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为x≥2．
10．（2分）分解因式：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
11．（2分）写出一个比大且比小的整数 2或3 ．
【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中间的整数即可．
【解答】解：∵＞1，＞3，
∴＜2＜3＜，
即比大且比小的整数有两个是2和3．
故答案为：2或3．
12．（2分）计算1﹣＝ ．
【分析】先通分，化为同分母的分式再加减，
【解答】解：原式＝﹣
＝
故答案为：
13．（2分）如图，在△ABC和△ADC中，AB⊥BC，AD⊥DC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC） （写出一个即可）．
【分析】利用已知条件得到∠B＝∠D＝90°，加上AC为公共边，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AC＝AC，
∴当添加CB＝CD或AB＝AD时，则可根据“HL”判断△ABC≌△ADC；
当添加∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC时，则可根据“AAS”判断△ABC≌△ADC．
故答案为CB＝CD（或AB＝AD或∠ACB＝∠ACD或∠BAC＝∠DAC）．
14．（2分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 ．
【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故答案为：．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABO的面积与△CDO的面积的大小关系为：S△ABO ＝ S△CDO（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】根据题意和图形，可以分别计算出△ABC和△ACD的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，由图可得，
S△ABC＝S△BEC﹣S△ABE＝＝6a2，
S△DCA＝＝6a2，
∴S△ABC＝S△DCA，
∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO，S△DCA＝S△CDO+S△ACO，
∴S△ABO＝S△CDO，
故答案为：＝．
16．（2分）某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在 3或12 日开始进行．
【分析】根据“最低温度不低于0摄氏度，昼夜温差不大于10摄氏度，需要连续三天完成”对没每天进行分析即可得到结论．
【解答】解：根据图象知：1日、2日、6日、7日最低温度低于0摄氏度，
9日、11日、15日昼夜温差大于10摄氏度，
连续三天符合以上两条的有3日、4日、5日和12日、13日、14日，
故药剂喷洒可以安排在3日或12日开始进行，
故答案为：3或12．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（）﹣1+||+3tan30°．
【分析】负指数幂（a≠0）；二次根式的化简（a≥0，b≥0）；负数的绝对值等于它的相反数；tan30°＝．先求出每一部分的值，最后算加减即可．
【解答】解：原式＝+2+2﹣+3×
＝2+2+2﹣+
＝4．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x+1＞2x，得：x＞﹣1，
解不等式≥x，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
19．（5分）先化简，再求值：x2+2x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（x+1）+2（x﹣3）的值．
【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项即可化简原式，继而根据已知等式得出x2+2x＝1，代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+2x﹣6
＝x2+2x﹣7，
∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
则原式＝1﹣7＝﹣6．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解．
【分析】（1）计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）令k＝0得到方程为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵△＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根
（2）解：当k＝0时，方程为x2+x＝0，
解方程得x1＝0，x2＝﹣1．
21．（5分）已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）．
求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC，
作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，交射线AM于点C；
②连接CO；
③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（ 一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半 ）（填推理依据）．
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝ ∠COB ．
∴∠CBA＝2∠CAB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB，再利用等腰三角形的性质得到∠CBA＝∠COB，于是有∠CBA＝2∠CAB．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）证明：
∵点C、A在⊙O上．
∴∠COB＝2∠CAB（一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半），
∵CB＝CO，
∴∠CBA＝∠COB．
∴∠CBA＝2∠CAB．
故答案为：一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半，∠COB．
22．（5分）已知：直线l1：y＝kx+b过点A（﹣1，0），且与双曲线l2：y＝相交于点B（m，2）．
（1）求m值及直线l1的解析式；
（2）画出l1，l2的图象，结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据函数表达式画出函数图象，观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式的：2＝，解得m＝1，
故点B的坐标为（1，2），
∵y＝kx+b（k≠0）过点A（﹣1，0）和B（1，2），
∴，解得，
∴y＝x+1；
（2）函数大致图象如下：
从图象看，kx+b＞的解集为x＞1或﹣2＜x＜0．
23．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，由面积关系可求解．
【解答】证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形DBEC是菱形；
（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，
∴S△CDB＝S△ABC＝××2×2＝，
∵四边形BECD是菱形
∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝2．
24．（6分）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cs∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
【分析】（1）连接OP，根据垂径定理得到∠CEF＝90°，根据切线的性质得到∠OPF＝90°，根据同角的余角相等得到∠FMP＝∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点，
∴∠CEF＝90°，
∴∠C+∠CME＝90°，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPC＝90°，
∵OC＝OP，
∴∠C＝∠OPC，
∴∠FPM＝∠CME，
∵∠CME＝∠FMP，
∴∠FMP＝∠FPM，
∴FM＝FP；
（2）解：∵∠OEF＝90°，
∴∠G+∠F＝90°，
∵∠GOP+∠G＝90°，
∴∠GOP＝∠F，
∴cs∠GOP＝cs∠F＝，即＝，
∵OP＝3，
∴OG＝5，
∴PG＝＝4，
∵点P是FG的中点，
∴PF＝PG＝4，
∴GF＝8，
∵cs∠F＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴EM＝EF＝FM＝．
25．（6分）“十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现38微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．下面对2013﹣2020年北京市的空气质量有关数据进行收集、整理、描述和分析，给出了部分信息：
a.2013﹣2020年北京市空气质量指数为优良级别天数变化：
b．收集了2021年3月北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米）：79 79 80 81 83 79 83 83 81 83 84 84 84 84 86 84．并整理如表：
C.2021年3月北京市每日的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如下：
（1）2020年北京市空气质量优良天数比2013年增加了 100 天；
（2）m的值为 3 ；n的值为 4 ；
（3）2021年3月北京市16个城区的PM2.5浓度值的中位数是 83 ；
（4）依据2021年3月北京市每日的PM2.5的浓度情况统计图，若三月上旬（1﹣15日）北京市的PM2.5的浓度平均值为，方差为S12，三月下旬（16﹣31日）北京市的PM2.5的浓度平均值为，方差为S22，则 ＞ ，S12 ＞ S22（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】（1）从a图数据直接可以看出；
（2）从b中数据可以看出m和n的值；
（3）将该16个区域的PM2.5从小到大排列后为，因为数据为偶数，所以取中间两个数求平均数即可；
（4）从c图可以看出三月上旬PM2.5的浓度平均值大于三月下旬PM2.5的浓度平均值，从而得出方差之间的关系．
【解答】解：（1）已知2013年的优良天数为176，2020年的优良天数为276，
故2020年北京市空气质量优良天数比2013年增加了100天，
故答案为：100；
（2）从b中数据可知：
∵PM2.5＝79时有3个，
∴m＝3，
∵PM2.5＝83时有4个，
∴n＝4，
故答案为：3、4；
（3）将该16个区域的PM2.5从小到大排列后为：
79，79，79，80，81，81，83，83，83，83，84，84，84，84，84，86
中位数＝＝83，
故答案为：83；
（4）从c中图表可知：
三月上旬多在50～150之间，而三月下旬多在0～100之间，
故可直观推出＞，
f方差表示的是数据的离散趋势，离散越大，方差也越大，
从c图可看出三月上旬的变化幅度大，
故＞，
故答案为：＞．
26．（6分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点；
（2）利用对称轴公式求得即可；
（3）由题意可知|a|＜|b|，即可判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，即m＞0．
【解答】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣4m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线为：y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点（0，﹣3）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，
∴对称轴x＝﹣＝m；
（3）∵a+b＞0，
∴b＞﹣a，
∵a＜0，b＞0，
∴|a|＜|b|，
∵点A（a，a）和B（b，﹣b）是抛物线y＝x2﹣2mx﹣3上的两点，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴m＞0．
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．
【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；
（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．
【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，
理由如下：过D作DH⊥CB于H，
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△FEC和△HDC中，
，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH＝FC，DH＝EF，
∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，
∴DH＝HB＝EF，
∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；
（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，
理由如下：
过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△FEC和△HDC中，
，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH＝FC，DH＝EF，
∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，
∴DH＝HB＝EF，
∴EF＝CH+BC＝FC+AC．
28．（7分）已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．
（1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中， A 与点O为一对友好点；
（2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值；
（3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围．
【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论．
（2）如图1中，以O为圆心，2为半径作⊙O．当直线y＝x+b与大圆⊙D相切时，满足条件．
（3）当m＜0时，以D为圆心，2为半径作⊙D，当直线y＝x+m与大圆⊙D相切时，设切点为Q，交y轴于（0，m），连接DQ交y轴于K．构建方程，可得结论，m＞0时，同法可得．
【解答】解：（1）∵A（1，0），，C（﹣1，1），
∴OA＝1，OB＝，OC＝，
∴点A与O是一对友好点．
故答案为：A．
（2）如图1中，以O为圆心，2为半径作⊙O．
当直线y＝x+b与大圆⊙D相切时，满足条件，此时直线经过A（﹣，）或B（，﹣），
∴b＝2或﹣2．
（3）当m＜0时，以D为圆心，2为半径作⊙D，当直线y＝x+m与大圆⊙D相切时，设切点为Q，交y轴于（0，m），连接DQ交y轴于K．
则KE＝+m，
∵DK+KQ＝2，
∴﹣m﹣m＝2，
∴m＝﹣，
当m＞0时
此时有：m+m﹣＝，
∴m＝，
观察图像可知，满足条件的m的值为：．
PM2.5的浓度
79
80
81
83
84
86
区的个数
m
1
2
n
5
1
PM2.5的浓度
79
80
81
83
84
86
区的个数
m
1
2
n
5
1